Bac Première : Centres étrangers G1 2026 (spécialité)

Q1.D'après l'arbre (P(A)=0{,}4 ; P_A(B)=0{,}2 ; P_{\overline{A}}(B)=0{,}7), calculer P(\overline{A}\cap B).

\begin{aligned}P(\overline{A}\cap B) &= P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B) \\ &= 0{,}6\times0{,}7 \\ &= 0{,}42\end{aligned} Réponse B.

Q2.150 élèves suivant la spécialité représentent \dfrac{3}{5} des élèves de première. Quel est l'effectif total ?

\begin{aligned}\dfrac35\times x = 150 &\iff x = 150\times\dfrac53 \\ &\iff x = 250\end{aligned} Réponse C.

Q3.Calculer A/B + 1 pour A=\dfrac{1}{3} et B=\dfrac{5}{6}.

\begin{aligned}\dfrac{A}{B}+1 &= \dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{5}{6}}+1 \\ &= \dfrac13\times\dfrac65+1 \\ &= \dfrac25+1 \\ &= \dfrac75\end{aligned} Réponse A.

Q4.Identifier la droite d'équation y = \dfrac{1}{3} x + 1 parmi les graphiques proposés.

Cette droite passe par (0;1) et par (3;2) (coefficient directeur \frac13) : il s'agit du graphique correspondant à ces deux points. Réponse C.

Q5.Développer (x^{3} - 1)^{2}.

\begin{aligned}(x^{3}-1)^{2} &= (x^{3})^{2}-2\times x^{3}\times1+1^{2} \\ &= x^{6}-2x^{3}+1\end{aligned} Réponse B.

Q6.Quelle est l'évolution globale d'une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 50 % ?

Coefficient multiplicateur global : \begin{aligned}1{,}2\times0{,}5 &= 0{,}6 \\ &= 1-0{,}4\end{aligned} soit une baisse de 40 %. Réponse C.

Q7.D'après le tableau du sondage, quelle est la probabilité de suivre la spécialité sachant plus de 16 ans ?

Le tableau complété donne 6 élèves de plus de 16 ans suivant la spécialité, sur 10 élèves de plus de 16 ans au total : \dfrac{6}{10}=\dfrac35. Réponse D.

Q8.Isoler y dans x = 5/(2 + y).

\begin{aligned}x = \dfrac{5}{2+y} &\iff x(2+y) = 5 \\ &\iff 2+y = \dfrac5x \\ &\iff y = \dfrac5x-2 \end{aligned} Réponse D.

A.1.aCalculer u_{1}.

u_0=1 et la hauteur augmente de 0,4 m par an : u_1 = 1+0{,}4 = 1,4 m.

A.1.bQuelle sera la hauteur de l'arbre deux ans après sa plantation ?

u_2 = u_1+0{,}4 = 1{,}4+0{,}4 = 1,8 m.

A.2Quelle est la nature de la suite (u_{n}) ? Justifier.

La hausse de 0,4 m par an se traduit par u_{n+1}=u_n+0{,}4 : (u_n) est arithmétique de raison 0,4, de premier terme u_0=1.

A.3Exprimer u_{n} en fonction de n.

(u_n) étant arithmétique : \begin{aligned}u_n &= u_0+n\times0{,}4 \\ &= 0{,}4n+1\end{aligned}.

A.4Au bout de combien d'années le mûrier atteindra-t-il 9 mètres ?

\begin{aligned}u_n = 9 &\iff 0{,}4n+1 = 9 \\ &\iff 0{,}4n = 8 \\ &\iff n = 20 \end{aligned} C'est 20 ans après sa plantation que l'arbre atteindra 9 mètres.

B.1Quelle est la nature de la suite (v_{n}) ? Justifier.

Le nombre de nouvelles branches double chaque année : v_{n+1}=2\times v_n : (v_n) est géométrique de raison 2, de premier terme v_0=2.

B.2.aMontrer que, trois ans après la plantation, l'arbre possède 30 branches en tout.

Un an après, 4 nouvelles branches sont apparues, pour un total de 6 branches.
Deux ans après, il apparaît 4\times2=8 nouvelles branches, pour un total de 6+8=14 branches.
Trois ans après, il apparaît 8\times2=16 nouvelles branches, pour un total de 14+16= 30 branches, ce qui correspond bien à la valeur annoncée.

B.2.bInterpréter la valeur 4094 affichée par le programme Python.

La variable v stocke les termes successifs de (v_n) (nouvelles branches), et total le nombre total de branches, actualisé à chaque tour de boucle. La boucle s'exécutant 10 fois : 4094 est le nombre total de branches du mûrier, 10 ans après sa plantation.

1.aCalculer les coordonnées des vecteurs AB et AC. (A(-1;5), B(3;5), C(4;0))

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3-(-1) \\ 5-5 \\ \end{pmatrix} = \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4 \\ 0 \\ \end{pmatrix} ; \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}4-(-1) \\ 0-5 \\ \end{pmatrix} = \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}5 \\ -5 \\ \end{pmatrix}.

1.bEn déduire la valeur du produit scalaire AB \cdot AC.

Le repère étant orthonormé : {\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 4\times5+0\times(-5) =} 20.

2.aMontrer que AC = 5\sqrt{2}.

AC = \sqrt{5^{2}+(-5)^{2}} = \sqrt{25+25} = \sqrt{50} = \sqrt{25\times2} = 5\sqrt2.

2.bÉcrire l'expression du produit scalaire AB \cdot AC en fonction de l'angle BAC (on admet AB = 4).

\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &= AB\times AC\times\cos(\widehat{BAC}) \\ &= 4\times5\sqrt2\times\cos(\widehat{BAC}) \\ &= 20\sqrt2\,\cos(\widehat{BAC})\end{aligned}

2.cEn déduire une mesure, en radian, de l'angle BAC.

En combinant les deux expressions du produit scalaire : \begin{aligned}20 = 20\sqrt2\,\cos(\widehat{BAC}) &\iff \cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{1}{\sqrt2} \\ &\iff \cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{\sqrt2}{2}\end{aligned}
On reconnaît un cosinus usuel : {\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{4}} radian.

1.aDonner f(1).

La courbe \mathcal{C}_f passe par A(1;20) : f(1)=20.

1.bDéterminer f'(1).

f'(1) est le coefficient directeur de la tangente T_A, c'est-à-dire de la droite (AB) : f'(1) = \dfrac{10-20}{3-1} = \dfrac{-10}{2} = -5.

1.cJustifier que la tangente TA a pour équation y = -5x + 25.

L'équation de la tangente en x=1 est y=f'(1)(x-1)+f(1) = -5(x-1)+20 = -5x+5+20 = -5x+25.

2.aDémontrer que f'(x) = (2x - 3)(2x + 3)/x^{2} pour f(x) = (4x^{2} + 7x + 9)/x.

Par la formule de dérivation d'un quotient : f'(x) = \dfrac{(8x+7)x-(4x^{2}+7x+9)\times1}{x^{2}} = \dfrac{8x^{2}+7x-4x^{2}-7x-9}{x^{2}} = \dfrac{4x^{2}-9}{x^{2}}.
\begin{aligned}4x^{2}-9 &= (2x)^{2}-3^{2} \\ &= (2x-3)(2x+3)\end{aligned} donc f'(x)= \dfrac{(2x-3)(2x+3)}{x^{2}}.

2.bÉtudier le signe de f'(x) sur ]0 ; +\infty[.

x^{2}>0 sur ]0;+\infty[. 2x+3>0 toujours sur cet intervalle. 2x-3>0 \iff x>\frac32. Donc f'(x)<0 sur \left]0;\frac32\right[ et f'(x)>0 sur \left]\frac32;+\infty\right[.

2.cEn déduire les variations de f sur ]0 ; +\infty[.

f est décroissante sur \left]0;\frac32\right] et croissante sur \left[\frac32;+\infty\right[.

3.Existe-t-il une tangente à Cf parallèle à la droite y = 3x + 5 ?

Deux droites sont parallèles ssi elles ont le même coefficient directeur : on cherche x_0 tel que f'(x_0)=3.
\begin{aligned}\dfrac{4x^{2}-9}{x^{2}} = 3 &\iff 4x^{2}-9 = 3x^{2} \\ &\iff x^{2}-9 = 0 \\ &\iff (x-3)(x+3) = 0 \\ &\iff x = 3 \end{aligned} ou x=-3.
Seule x_0=3 appartient à ]0;+\infty[ : oui, il existe une unique tangente à \mathcal{C}_f parallèle à y=3x+5, c'est la tangente au point d'abscisse 3.