Bac Terminale Spé Maths : Asie 2021, Sujet 2

1.QCM. Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = (x^2-2x-1)e^x. Quelle est la limite de f en -\infty ?

En développant, {f(x) = x^2e^x - 2xe^x - e^x}.
Par croissances comparées, \lim\limits_{x\to-\infty} x^2e^x = 0 et \lim\limits_{x\to-\infty} xe^x = 0 ; de plus \lim\limits_{x\to-\infty} e^x = 0.
Par somme de limites, \lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = 0.

2.QCM. Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = \dfrac{3}{5+e^x}. Que peut-on dire des asymptotes à sa courbe représentative ?

Quand x\to-\infty, e^x\to0 donc f(x)\to\dfrac{3}{5} : la droite d'équation y=\dfrac{3}{5} est asymptote horizontale en -\infty.
Quand x\to+\infty, e^x\to+\infty donc {f(x)\to0} : l'axe des abscisses (droite d'équation y=0) est asymptote horizontale en +\infty.
La courbe admet deux asymptotes horizontales (une pour chaque limite infinie).

3.QCM. La courbe ci-dessous (non reproduite ici) représente la dérivée seconde f'' d'une fonction f deux fois dérivable sur [-3{,}5~;~6], et s'annule en changeant de signe en -3, 2 et 5. Que peut-on en conclure sur f ?

Un point d'inflexion de la courbe de f correspond à une valeur où f'' s'annule en changeant de signe.
Comme f'' s'annule en changeant de signe exactement trois fois (en -3, 2 et 5), la courbe de f admet exactement trois points d'inflexion.

4.QCM. On considère la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par {u_n = n^2-17n+20}. Que peut-on affirmer sur cette suite ?

On met l'expression sous forme canonique : \begin{aligned}u_n &= \left(n-\dfrac{17}{2}\right)^2 - \dfrac{289}{4} + 20 \\ &= \left(n-\dfrac{17}{2}\right)^2 - \dfrac{209}{4}\end{aligned}
Un carré étant toujours positif ou nul, on a pour tout entier naturel n : {u_n \geqslant -\dfrac{209}{4}}.
La suite (u_n) est donc minorée (par -\dfrac{209}{4}).

5.QCM. On considère la suite (u_n) définie par u_0=2 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=0{,}75u_n+5. On exécute en Python une fonction qui initialise u=2 et n=0, puis répète tant que {u<45} : u \leftarrow 0{,}75u+5 et n \leftarrow n+1, avant de renvoyer n. Que renvoie cette fonction ?

Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_n \leqslant 20.
Initialisation : \begin{aligned}u_0 &= 2 \\ &\leqslant 20\end{aligned} La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons que pour un entier n, u_n\leqslant20. Alors \begin{aligned}0{,}75u_n &\leqslant 0{,}75\times20 \\ &= 15\end{aligned} donc 0{,}75u_n+5 \leqslant 20, c'est-à-dire u_{n+1}\leqslant20 : la propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : pour tout entier naturel n, u_n\leqslant20, donc la condition {u<45} est toujours vérifiée : la boucle ne s'arrête jamais.
Aucune des trois réponses proposées n'est correcte : le programme ne s'arrête pas (boucle infinie).

1.On considère un pavé droit ABCDEFGH avec AB = AD = 1 et AE = 2. I est le milieu de [AE], K le milieu de [DC], et L le point défini par \overrightarrow{DL}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AI}. On se place dans le repère orthonormé (A~;~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD},~\overrightarrow{AI}), dans lequel L\left(0~;~1~;~\dfrac{3}{2}\right). Donner les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AK} et \overrightarrow{AL}.

Dans ce repère, C(1~;~1~;~0) et D(0~;~1~;~0) (ABCD est un rectangle de côtés AB et AD). K, milieu de [DC], a donc pour coordonnées K\left(\dfrac{1}{2}~;~1~;~0\right).
On en déduit \overrightarrow{AK}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}.
D'après l'énoncé, \overrightarrow{AL}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ \dfrac{3}{2}\end{pmatrix} (coordonnées de L, puisque A est l'origine du repère).

2.aDémontrer que le vecteur \vec{n} de coordonnées (6~;~-3~;~2) est un vecteur normal au plan (AKL).

\begin{aligned}\vec{n}\cdot\overrightarrow{AK} &= 6\times\dfrac{1}{2} + (-3)\times1 + 2\times0 \\ &= 3-3+0 \\ &= 0\end{aligned}
\begin{aligned}\vec{n}\cdot\overrightarrow{AL} &= 6\times0 + (-3)\times1 + 2\times\dfrac{3}{2} \\ &= 0-3+3 \\ &= 0\end{aligned}
\vec{n} est orthogonal à \overrightarrow{AK} et à \overrightarrow{AL}, deux vecteurs non colinéaires du plan (AKL) : \vec{n} est donc un vecteur normal au plan (AKL).

2.bEn déduire une équation cartésienne du plan (AKL).

Le plan (AKL) admet \vec{n}(6~;~-3~;~2) pour vecteur normal, donc une équation de la forme 6x-3y+2z+d=0, avec {d\in\mathbb{R}}.
Comme A(0~;~0~;~0) appartient au plan : 6\times0-3\times0+2\times0+d=0, soit d=0.
Une équation cartésienne du plan (AKL) est 6x-3y+2z=0.

2.cDéterminer un système d'équations paramétriques de la droite \Delta passant par D et perpendiculaire au plan (AKL).

La droite \Delta passe par D(0~;~1~;~0) et admet \vec{n}(6~;~-3~;~2) pour vecteur directeur (puisqu'elle est perpendiculaire au plan (AKL), donc dirigée par sa normale).
Un système d'équations paramétriques de \Delta est : \begin{cases}x=6t\\y=1-3t\\z=2t\end{cases}, avec t\in\mathbb{R}.

2.dEn déduire que le point N de coordonnées \left(\dfrac{18}{49}~;~\dfrac{40}{49}~;~\dfrac{6}{49}\right) est le projeté orthogonal du point D sur le plan (AKL).

Le projeté orthogonal de D sur le plan (AKL) est le point d'intersection de la droite \Delta (perpendiculaire au plan et passant par D) avec ce plan.
On remplace les coordonnées paramétriques de \Delta dans l'équation du plan : 6\times6t - 3\times(1-3t) + 2\times2t = 0.
Soit \begin{aligned}36t - 3 + 9t + 4t = 0 &\iff 49t = 3 \\ &\iff t = \dfrac{3}{49} \end{aligned}
En reportant dans le système paramétrique : \begin{aligned}x &= 6\times\dfrac{3}{49} \\ &= \dfrac{18}{49}\end{aligned} \begin{aligned}y &= 1-3\times\dfrac{3}{49} \\ &= \dfrac{49-9}{49} \\ &= \dfrac{40}{49}\end{aligned} \begin{aligned}z &= 2\times\dfrac{3}{49} \\ &= \dfrac{6}{49}\end{aligned}
Le point d'intersection a bien pour coordonnées \left(\dfrac{18}{49}~;~\dfrac{40}{49}~;~\dfrac{6}{49}\right) : c'est donc le point N, projeté orthogonal de D sur le plan (AKL).

3.aOn rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par \mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times(\text{aire de la base})\times\text{hauteur}. Calculer le volume du tétraèdre ADKL en utilisant le triangle ADK comme base.

Le triangle ADK est rectangle en D, car (DA) et (DC) sont deux arêtes perpendiculaires du pavé et K appartient à (DC).
On a AD = 1 et DK = \dfrac{1}{2} (K milieu de [DC] avec DC = AB = 1), donc l'aire du triangle ADK est \begin{aligned}\mathcal{A}(\text{ADK}) &= \dfrac{\text{AD}\times\text{DK}}{2} \\ &= \dfrac{1\times\frac{1}{2}}{2} \\ &= \dfrac{1}{4}\end{aligned}
La hauteur du tétraèdre relative à cette base est DL, avec DL =\dfrac{3}{2}\timesAI =\dfrac{3}{2} (d'après la définition de L, et AI = 1 la norme du troisième vecteur de base).
\begin{aligned}\mathcal{V}(\text{ADKL}) &= \dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{4}\times\dfrac{3}{2} \\ &= \dfrac{1}{8}\end{aligned} (unité de volume).

3.bCalculer la distance du point D au plan (AKL).

La distance de D au plan (AKL) est la longueur DN, où N est le projeté orthogonal de D sur ce plan.
\overrightarrow{DN}\begin{pmatrix}\dfrac{18}{49} \\ \dfrac{40}{49}-1 \\ \dfrac{6}{49}\end{pmatrix}, soit \overrightarrow{DN}\begin{pmatrix}\dfrac{18}{49} \\ -\dfrac{9}{49} \\ \dfrac{6}{49}\end{pmatrix}.
\text{DN}^2 = \left(\dfrac{18}{49}\right)^2+\left(\dfrac{-9}{49}\right)^2+\left(\dfrac{6}{49}\right)^2 = \dfrac{324+81+36}{49^2} = \dfrac{441}{2401} = \left(\dfrac{21}{49}\right)^2.
Donc \text{DN} = \dfrac{21}{49} = \dfrac{3}{7}.

3.cEn déduire l'aire du triangle AKL.

En prenant cette fois le triangle AKL comme base du tétraèdre, la hauteur associée est DN, donc {\mathcal{V}(\text{ADKL}) = \dfrac{1}{3}\times\mathcal{A}(\text{AKL})\times\text{DN}}.
D'après les questions précédentes, {\dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{3}\times\mathcal{A}(\text{AKL})\times\dfrac{3}{7}}, soit \dfrac{1}{8}=\dfrac{\mathcal{A}(\text{AKL})}{7}.
\mathcal{A}(\text{AKL}) = \dfrac{7}{8} (unité d'aire).

1.Une application génère un ticket sur une grille 3\times3 où trois cases contiennent chacune un cœur, disposées au hasard. Justifier qu'il existe exactement 84 façons différentes de placer ces trois cœurs sur la grille.

Placer trois cœurs sur la grille revient à choisir 3 cases parmi les 9 de la grille, sans tenir compte de l'ordre : le nombre de façons est donc \binom{9}{3}.
\begin{aligned}\binom{9}{3} &= \dfrac{9!}{3!\times6!} \\ &= \dfrac{9\times8\times7}{3\times2\times1} \\ &= \dfrac{504}{6} \\ &= 84\end{aligned}
Il y a bien 84 façons différentes de positionner les trois cœurs sur la grille.

2.Un ticket est gagnant si les trois cœurs sont alignés côte à côte sur une même ligne, une même colonne ou une même diagonale. Montrer que la probabilité qu'un ticket soit gagnant vaut \dfrac{2}{21}.

La grille compte 3 lignes, 3 colonnes et 2 diagonales, soit 8 alignements possibles de trois cases : il y a donc 8 grilles gagnantes parmi les 84 grilles possibles (équiprobables).
La probabilité qu'un ticket soit gagnant est \dfrac{8}{84} = \dfrac{2}{21} (en simplifiant par 4).
La probabilité qu'un ticket soit gagnant est donc bien égale à \dfrac{2}{21}.

3.À chaque ticket généré, le joueur verse 1 € ; si le ticket est gagnant, la société lui reverse 5 €. Le jeu est-il favorable au joueur ?

Soit X le gain algébrique du joueur pour un ticket. Un ticket gagnant rapporte 5-1=4 € (le joueur récupère les 5 € mais a déjà versé 1 €), un ticket perdant coûte 1 €.
P(X=4) = \dfrac{2}{21} et \begin{aligned}P(X=-1) &= 1-\dfrac{2}{21} \\ &= \dfrac{19}{21}\end{aligned}
\begin{aligned}E(X) &= 4\times\dfrac{2}{21} + (-1)\times\dfrac{19}{21} \\ &= \dfrac{8-19}{21} \\ &= -\dfrac{11}{21} \\ &\approx -0{,}524\end{aligned}
L'espérance de gain est négative : en moyenne, le joueur perd environ 0,52 € par ticket généré. Le jeu est donc défavorable au joueur.

4.aUn joueur génère 20 tickets de façon indépendante. Soit X le nombre de tickets gagnants parmi ces 20 tickets. Donner la loi de probabilité de X.

Chaque génération de ticket est une épreuve à deux issues (gagnant / perdant) de probabilité de succès {p=\dfrac{2}{21}}, répétée n=20 fois de façon indépendante.
X suit donc la loi binomiale de paramètres n=20 et {p=\dfrac{2}{21}}.

4.bCalculer la probabilité de l'évènement (X=5), arrondie à 10^{-3}.

P(X=5) = \dbinom{20}{5}\times\left(\dfrac{2}{21}\right)^5\times\left(\dfrac{19}{21}\right)^{15} \approx 0,027 (à 10^{-3} près).

4.cCalculer la probabilité de l'évènement (X\geqslant1), arrondie à 10^{-3}, puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

(X\geqslant1) est l'évènement contraire de (X=0), donc P(X\geqslant1) = 1-P(X=0) = 1-\left(\dfrac{19}{21}\right)^{20} \approx 1-0{,}135 \approx 0,865 (à 10^{-3} près).
Sur 20 tickets générés, le joueur a donc environ 86,5 % de chances d'obtenir au moins un ticket gagnant.

PartieI ; 1. On étudie la croissance d'un bambou Moso de taille maximale 20 mètres, selon le modèle de von Bertalanffy : la vitesse de croissance est proportionnelle à l'écart entre la taille du bambou et sa taille maximale. On note u_n la taille du bambou, en mètre, n jours après le début de l'observation, avec u_0=1 et u_{n+1}=u_n+0{,}05(20-u_n) pour tout entier naturel n. Vérifier que u_1=1{,}95.

u_1 = u_0 + 0{,}05\times(20-u_0) = 1+0{,}05\times19 = 1+0{,}95= 1,95.

PartieI ; 2.a Montrer que, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=0{,}95u_n+1.

Pour tout entier naturel n : u_{n+1} = u_n+0{,}05(20-u_n) = u_n+1-0{,}05u_n = (1-0{,}05)u_n+1 = 0{,}95u_n+1.

PartieI ; 2.b On pose, pour tout entier naturel n, v_n=20-u_n. Démontrer que la suite (v_n) est géométrique, en précisant son premier terme et sa raison.

Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}v_{n+1} &= 20-u_{n+1} \\ &= 20-(0{,}95u_n+1) \\ &= 19-0{,}95u_n\end{aligned}
Or 19 = 0{,}95\times20, donc \begin{aligned}v_{n+1} &= 0{,}95\times20-0{,}95u_n \\ &= 0{,}95(20-u_n) \\ &= 0{,}95v_n\end{aligned}
La suite (v_n) est donc géométrique de raison q=0{,}95 et de premier terme \begin{aligned}v_0 &= 20-u_0 \\ &= 20-1 \\ &= 19\end{aligned}

PartieI ; 2.c En déduire que, pour tout entier naturel n, u_n=20-19\times0{,}95^n.

D'après le cours sur les suites géométriques, pour tout entier naturel n : \begin{aligned}v_n &= v_0\times q^n \\ &= 19\times0{,}95^n\end{aligned}
Or v_n=20-u_n, donc u_n=20-v_n= 20-19\times0{,}95^n.

PartieI ; 3. Déterminer la limite de la suite (u_n).

On a {0<0{,}95<1}, donc \lim\limits_{n\to+\infty}0{,}95^n=0.
Par somme de limites : \lim\limits_{n\to+\infty}u_n = \lim\limits_{n\to+\infty}\left(20-19\times0{,}95^n\right) = 20.

PartieII ; 1. On modélise à présent la taille du bambou par une fonction du temps t (en jour), solution sur [0~;~+\infty[ de l'équation différentielle (E) : y'=0{,}05(20-y). On considère la fonction L définie sur [0~;~+\infty[ par L(t) = 20-19e^{-0{,}05t}. Vérifier que L est solution de (E) et que L(0)=1.

L est dérivable sur [0~;~+\infty[ comme somme de fonctions dérivables, et L'(t) = -19\times(-0{,}05)e^{-0{,}05t} = 0{,}95e^{-0{,}05t}.
D'autre part, \begin{aligned}0{,}05\big(20-L(t)\big) &= 0{,}05\times\left(20-\left(20-19e^{-0{,}05t}\right)\right) \\ &= 0{,}05\times19e^{-0{,}05t} \\ &= 0{,}95e^{-0{,}05t}\end{aligned}
On a bien L'(t) = 0{,}05(20-L(t)) pour tout t\geqslant0 : L est solution de (E).
De plus, L(0) = 20-19e^{0} = 20-19= 1.

PartieII ; 2.a On admet que L'(t) représente la vitesse de croissance du bambou à l'instant t. Comparer L'(0) et L'(5).

L'(0) = 0{,}95e^{0} = 0{,}95.
L'(5) = 0{,}95e^{-0{,}25} \approx 0{,}74.
On a donc L'(0) > L'(5) : la vitesse de croissance du bambou diminue entre le jour 0 et le jour 5.

PartieII ; 2.b Calculer la limite de L' en +\infty, et indiquer si ce résultat est cohérent avec la description du modèle de croissance.

Comme \lim\limits_{t\to+\infty}e^{-0{,}05t}=0, on a \lim\limits_{t\to+\infty}L'(t) = 0{,}95\times0= 0.
Ce résultat est cohérent avec le modèle décrit : la taille du bambou se rapproche de sa valeur maximale de 20 mètres, donc sa vitesse de croissance, proportionnelle à l'écart restant à combler, tend naturellement vers 0.

PartieI ; 1. Soit f la fonction définie sur ]1~;~+\infty[ par f(x)=x-\ln(x-1), et (u_n) la suite définie par u_0=10 et u_{n+1}=f(u_n) pour tout entier naturel n. On saisit dans une feuille de calcul, en cellule A2, la valeur 0, en B2 la valeur u_0=10, puis en A3 la formule =A2+1. Quelle formule saisir en cellule B3 pour calculer les valeurs approchées successives de (u_n) par recopie vers le bas ?

La cellule B3 doit calculer \begin{aligned}u_1 &= f(u_0) \\ &= u_0-\ln(u_0-1)\end{aligned} à partir de la valeur de u_0 en B2 : il faut donc saisir =\text{B2}-\ln(\text{B2}-1).

PartieI ; 2. Le calcul des premiers termes donne (arrondis) u_0=10, u_1\approx7{,}80, {u_2\approx5{,}89}, u_3\approx4{,}30, u_4\approx3{,}11, u_5\approx2{,}36, u_6\approx2{,}05, u_7\approx2{,}0013, u_8\approx2{,}0000009. À l'aide de ces valeurs, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite (u_n).

Les termes calculés décroissent et se rapprochent de plus en plus de 2 : on peut conjecturer que la suite (u_n) est décroissante et converge vers 2.

PartieII ; 1. Calculer \lim\limits_{x\to1}f(x) (on admet que \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty).

Quand x\to1 (avec x>1), x-1\to0^+, donc \ln(x-1)\to-\infty, donc {-\ln(x-1)\to+\infty}.
Par somme de limites, {\lim\limits_{x\to1}f(x) = \lim\limits_{x\to1}\big(x-\ln(x-1)\big) =} +\infty.
La droite d'équation x=1 est donc asymptote verticale à la courbe de f.

PartieII ; 2.a Montrer que, pour tout {x\in\,]1~;~+\infty[}, f'(x)=\dfrac{x-2}{x-1}.

f est dérivable sur ]1~;~+\infty[ comme somme de fonctions dérivables (la fonction x\mapsto x-1 ne s'annulant pas et étant strictement positive sur cet intervalle).
f'(x) = 1-\dfrac{1}{x-1} = \dfrac{x-1}{x-1}-\dfrac{1}{x-1} = \dfrac{x-2}{x-1}.

PartieII ; 2.b En déduire le tableau de variations de f sur ]1~;~+\infty[, complété par les limites.

Sur ]1~;~+\infty[, on a x>1 donc x-1>0 : le signe de f'(x) est donc celui du numérateur x-2.
x-2<0 sur ]1~;~2[, donc f'(x)<0 sur cet intervalle : f y est décroissante.
x-2>0 sur ]2~;~+\infty[, donc f'(x)>0 sur cet intervalle : f y est croissante.
f admet donc un minimum en x=2, avec \begin{aligned}f(2) &= 2-\ln(1) \\ &= 2-0 \\ &= 2\end{aligned}
Tableau de variations : f décroît de +\infty à 2 sur ]1~;~2], puis croît de 2 à +\infty sur [2~;~+\infty[ (avec \lim\limits_{x\to1}f(x)=+\infty et \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty).

PartieII ; 2.c Justifier que, pour tout x\geqslant2, f(x)\geqslant2.

D'après la question précédente, {f(2)=2} est le minimum de f sur tout l'intervalle ]1~;~+\infty[, donc en particulier sur [2~;~+\infty[ : pour tout x\geqslant2, f(x)\geqslant2.

PartieIII ; 1. En utilisant la partie II, démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_n\geqslant2.

Initialisation : \begin{aligned}u_0 &= 10 \\ &\geqslant 2\end{aligned} La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons que, pour un entier naturel n, u_n\geqslant2. D'après la question II.2.c, on a alors f(u_n)\geqslant2, c'est-à-dire u_{n+1}\geqslant2 : la propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : par principe de récurrence, pour tout entier naturel n, u_n\geqslant2.

PartieIII ; 2. Montrer que la suite (u_n) est décroissante.

Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= f(u_n)-u_n \\ &= \big(u_n-\ln(u_n-1)\big)-u_n \\ &= -\ln(u_n-1)\end{aligned}
D'après la question précédente, u_n\geqslant2, donc u_n-1\geqslant1, donc \begin{aligned}\ln(u_n-1) &\geqslant \ln(1) \\ &= 0\end{aligned} donc -\ln(u_n-1)\leqslant0.
Ainsi, pour tout entier naturel n, {u_{n+1}-u_n\leqslant0} : la suite (u_n) est décroissante.

PartieIII ; 3. En déduire que la suite (u_n) converge. On note \ell sa limite.

La suite (u_n) est décroissante (question précédente) et minorée par 2 (partie III, question 1) : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite \ell vérifiant \ell\geqslant2.

PartieIII ; 4. On admet que \ell vérifie f(\ell)=\ell. Déterminer la valeur de \ell.

\begin{aligned}f(\ell) = \ell &\iff \ell-\ln(\ell-1) = \ell \\ &\iff \ln(\ell-1) = 0 \\ &\iff \ell-1 = 1 \\ &\iff \ell = 2 \end{aligned} (la fonction logarithme népérien étant strictement croissante).
La suite (u_n) converge donc vers \ell=2.