Bac Terminale Spé Maths : Centres étrangers 2021, Sujet 2

1.QCM. On étudie g définie sur ]0~;~+\infty[ par g(x) = x^2 + 2x - \dfrac{3}{x}. Parmi les quatre équations proposées, laquelle est celle de la tangente à la courbe de g au point d'abscisse 1 ?

g est dérivable sur ]0~;~+\infty[ et pour tout x de cet intervalle : g'(x) = 2x + 2 + \dfrac{3}{x^2}.
On calcule g'(1) = 2 + 2 + 3 = 7 et \begin{aligned}g(1) &= 1 + 2 - 3 \\ &= 0\end{aligned}
Une équation de la tangente au point d'abscisse 1 est y = g'(1)(x-1) + g(1) = 7(x-1), soit y = 7x - 7.
Donc, la réponse est a. y = 7(x-1).

2.QCM. On considère la suite (v_n) définie sur \mathbb{N} par v_n = \dfrac{3n}{n+2}. Quelle est la limite de v_n quand n tend vers +\infty ?

Pour n \geqslant 1, on peut écrire \begin{aligned}v_n &= \dfrac{3n}{n\left(1+\frac{2}{n}\right)} \\ &= \dfrac{3}{1+\frac{2}{n}}\end{aligned}
Comme \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2}{n} = 0, le dénominateur tend vers 1, donc \lim\limits_{n\to+\infty}v_n = 3.
Donc, la réponse est b. \lim\limits_{n\to+\infty}v_n = 3.

3.QCM. Une urne contient 6 boules noires et 4 boules rouges. On effectue 10 tirages successifs avec remise. Quelle est la probabilité, à 10^{-4} près, d'obtenir exactement 4 boules noires et 6 boules rouges ?

Si X désigne le nombre de boules noires obtenues sur les 10 tirages, chaque tirage est une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 0{,}6 (tirage avec remise), donc X suit la loi binomiale de paramètres n=10 et p=0{,}6.
On veut \begin{aligned}P(X=4) &= \dbinom{10}{4}\times0{,}6^{4}\times0{,}4^{6} \\ &\approx 0{,}11148\end{aligned} soit environ 0,1115 à 10^{-4} près.
Donc, la réponse est c. 0,1115.

4.QCM. On considère f définie sur \mathbb{R} par f(x) = 3\text{e}^x - x. Quelle est la limite de f en +\infty ?

Pour x \ne 0, on factorise : {f(x) = x\left(3\dfrac{\text{e}^x}{x} - 1\right)}.
Or \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty (croissance comparée), donc {\lim\limits_{x\to+\infty}\left(3\dfrac{\text{e}^x}{x}-1\right) = +\infty}.
Par produit de limites (avec {\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty}), on obtient {\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = +\infty}.
Donc, la réponse est b. {\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = +\infty}.

5.QCM. Un code secret comporte 8 caractères, chacun étant une lettre ou un chiffre parmi 36 signes possibles. Un logiciel teste environ 100 millions de codes par seconde. En combien de temps, au maximum, peut-il trouver le code ?

Le nombre total de codes possibles est 36^{8} = 2\,821\,109\,907\,456.
Au rythme de 10^{8} codes par seconde, il faut au maximum {\dfrac{2\,821\,109\,907\,456}{10^{8}} \approx 28\,211} secondes, soit environ 470 minutes, soit environ 7,8 heures.
Donc, la réponse est b. environ 8 heures.

PartieA ; 1.a Une centrale solaire compte 10 560 panneaux au 1er janvier 2020. Chaque année, 2 % des panneaux se détériorent et sont retirés, tandis que 250 panneaux neufs sont installés. On modélise le nombre de panneaux par u_0 = 10\,560 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = 0{,}98u_n + 250, où u_n est le nombre de panneaux au 1er janvier de l'année 2020+n. Justifier ce choix de modélisation.

Retirer 2 % des panneaux revient à multiplier leur nombre par {1 - \dfrac{2}{100} = 0{,}98}.
En ajoutant ensuite les 250 panneaux neufs installés chaque année, on obtient bien la relation u_{n+1} = 0{,}98u_n + 250, ce qui justifie la modélisation.

PartieA ; 1.b À l'aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien d'années le nombre de panneaux dépassera strictement 12 000.

En saisissant u_0 = 10\,560 puis en appliquant successivement {u \mapsto 0{,}98u + 250}, on obtient u_1 \approx 10\,599, puis u_2, u_3, etc.
On trouve u_{67} \approx 11\,999 et u_{68} \approx 12\,009.
Donc, le nombre de panneaux dépassera 12 000 au bout de 68 ans, soit en 2088.

PartieA ; 1.c Compléter le programme Python suivant pour qu'il stocke dans la variable n le nombre d'années trouvé à la question précédente : u = 10560 / n = 0 / while ... : / u = ... / n = ...

PartieA ; 2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, {u_n \leqslant 12\,500}.

Initialisation : \begin{aligned}u_0 &= 10\,560 \\ &\leqslant 12\,500\end{aligned} la propriété est donc vraie au rang 0.
Hérédité : on suppose que pour un entier n donné, {u_n \leqslant 12\,500}. En multipliant par 0{,}98 (positif) : \begin{aligned}0{,}98u_n &\leqslant 0{,}98\times12\,500 \\ &= 12\,250\end{aligned} En ajoutant 250 aux deux membres : 0{,}98u_n + 250 \leqslant 12\,500, c'est-à-dire u_{n+1} \leqslant 12\,500 : la propriété est donc vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc par récurrence, pour tout entier naturel n, {u_n \leqslant 12\,500}.

PartieA ; 3. Démontrer que la suite (u_n) est croissante.

Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}u_{n+1} - u_n &= 0{,}98u_n + 250 - u_n \\ &= 250 - 0{,}02u_n\end{aligned}
D'après la question précédente, {u_n \leqslant 12\,500}, donc \begin{aligned}0{,}02u_n &\leqslant 0{,}02\times12\,500 \\ &= 250\end{aligned} c'est-à-dire 250 - 0{,}02u_n \geqslant 0.
On a donc u_{n+1} - u_n \geqslant 0 : la suite (u_n) est croissante.

PartieA ; 4. En déduire que la suite (u_n) converge (sans calculer sa limite).

La suite (u_n) est croissante et majorée par 12 500 : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite \ell vérifiant \ell \leqslant 12\,500.

PartieA ; 5.a On pose v_n = u_n - 12\,500 pour tout entier naturel n. Démontrer que (v_n) est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.

Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}v_{n+1} &= u_{n+1} - 12\,500 \\ &= 0{,}98u_n + 250 - 12\,500 \\ &= 0{,}98u_n - 12\,250\end{aligned}
Or 0{,}98\times12\,500 = 12\,250, donc \begin{aligned}v_{n+1} &= 0{,}98u_n - 0{,}98\times12\,500 \\ &= 0{,}98(u_n - 12\,500) \\ &= 0{,}98v_n\end{aligned}
Cette relation étant vraie pour tout n, (v_n) est géométrique de raison 0{,}98, de premier terme \begin{aligned}v_0 &= u_0 - 12\,500 \\ &= 10\,560 - 12\,500 \\ &= -1\,940\end{aligned}

PartieA ; 5.b Exprimer v_n en fonction de n.

(v_n) étant géométrique de premier terme -1\,940 et de raison 0{,}98, on a pour tout entier naturel n : {v_n = -1\,940\times0{,}98^{n}}.

PartieA ; 5.c En déduire l'expression de u_n en fonction de n.

Comme v_n = u_n - 12\,500, on a {u_n = v_n + 12\,500}, soit {u_n = 12\,500 - 1\,940\times0{,}98^{n}}.

PartieA ; 5.d Déterminer la limite de (u_n) et interpréter le résultat.

Comme {0 < 0{,}98 < 1}, on sait que \lim\limits_{n\to+\infty}0{,}98^{n} = 0, donc \lim\limits_{n\to+\infty}u_n = 12\,500.
Dans le contexte du modèle, le nombre de panneaux solaires de la centrale se stabilise autour de 12 500 à long terme.

PartieB ; 1. Une modélisation plus fine utilise la fonction f définie sur [0~;~+\infty[ par f(x) = 12\,500 - 500\text{e}^{-0,02x+1,4}, où x est le nombre d'années écoulées depuis le 1er janvier 2020. Étudier le sens de variation de f.

f est dérivable sur [0~;~+\infty[ comme somme de fonctions dérivables, et pour tout x de cet intervalle : f'(x) = -500\times(-0{,}02)\text{e}^{-0,02x+1,4} = 10\text{e}^{-0,02x+1,4}.
La fonction exponentielle étant strictement positive, f'(x) > 0 pour tout x : la fonction f est strictement croissante sur [0~;~+\infty[.

PartieB ; 2. Déterminer la limite de f en +\infty.

\lim\limits_{x\to+\infty}(-0{,}02x+1{,}4) = -\infty, donc par composition \lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-0,02x+1,4} = 0, d'où \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = 12\,500.

PartieB ; 3. À l'aide de ce modèle, déterminer au bout de combien d'années le nombre de panneaux dépassera 12 000.

On résout f(x) > 12\,000 \iff 12\,500 - 500\text{e}^{-0,02x+1,4} > 12\,000 \iff 500 > 500\text{e}^{-0,02x+1,4} \iff 1 > \text{e}^{-0,02x+1,4}.
Comme 1 = \text{e}^0 et que la fonction exponentielle est strictement croissante, cela équivaut à 0 > -0{,}02x + 1{,}4 \iff 0{,}02x > 1{,}4 \iff x > 70.
Donc, il faut attendre strictement plus de 70 ans, soit 71 ans, pour que le nombre de panneaux dépasse 12 000 selon ce modèle, ce qui correspond à l'année 2091.

PartieA (avec {a = \dfrac{2}{3}}) ; 1. ABCDEFGH est un cube. I est le centre de la face ADHE, J est le point du segment [CG] tel que \overrightarrow{CJ} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{CG}. Dans le repère \left(\text{A}~;~\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right), donner les coordonnées de F, I et J.

Le cube a pour arête 1 dans ce repère, donc F, sommet opposé à D sur la face supérieure du carré ABFE, a pour coordonnées F(1~;~0~;~1).
I est le centre de la face ADHE, donc le milieu de [AH] (et aussi de [DE]) : I\left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right).
Comme \overrightarrow{CJ} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{CG} avec C(1~;~1~;~0) et G(1~;~1~;~1), on a J\left(1~;~1~;~\dfrac{2}{3}\right).

PartieA ; 2. On note (d) la droite passant par I et parallèle à (FJ). Déterminer une représentation paramétrique de (d).

\overrightarrow{FJ}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -\frac{1}{3}\end{pmatrix} (obtenu par J - F).
(d) passe par I\left(0~;~\frac{1}{2}~;~\frac{1}{2}\right) et admet \overrightarrow{FJ} pour vecteur directeur, donc une représentation paramétrique de (d) est : x = 0, y = \dfrac{1}{2} + t, z = \dfrac{1}{2} - \dfrac{t}{3}, avec t \in \mathbb{R}.

PartieA ; 3.a K est le point d'intersection de (d) et de (AE). Montrer que K a pour coordonnées \left(0~;~0~;~\dfrac{2}{3}\right).

La droite (AE) est l'axe des cotes (points d'ordonnée nulle). On cherche donc le point de (d) tel que y = 0 : \begin{aligned}\dfrac{1}{2} + t = 0 &\iff t = -\dfrac{1}{2} \end{aligned}
La cote correspondante vaut \begin{aligned}z &= \dfrac{1}{2} - \dfrac{-\frac{1}{2}}{3} \\ &= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} \\ &= \dfrac{4}{6} \\ &= \dfrac{2}{3}\end{aligned}
On obtient bien K\left(0~;~0~;~\dfrac{2}{3}\right).

PartieA ; 3.b Déterminer les coordonnées du point L, intersection de (d) et de (DH).

Tous les points de (DH) ont pour ordonnée 1. On cherche donc le point de (d) tel que y = 1 : \begin{aligned}\dfrac{1}{2} + t = 1 &\iff t = \dfrac{1}{2} \end{aligned}
La cote correspondante vaut \begin{aligned}z &= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2\times3} \\ &= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{6} \\ &= \dfrac{1}{3}\end{aligned}
Donc, la réponse est L\left(0~;~1~;~\dfrac{1}{3}\right).

PartieA ; 4.a Démontrer que le quadrilatère FJLK est un parallélogramme.

Le milieu de [FL] a pour coordonnées \left(\dfrac{1+0}{2}~;~\dfrac{0+1}{2}~;~\dfrac{1+\frac{1}{3}}{2}\right) = \left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{2}{3}\right).
Le milieu de [JK] a pour coordonnées \left(\dfrac{1+0}{2}~;~\dfrac{1+0}{2}~;~\dfrac{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{2}\right) = \left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{2}{3}\right).
Les diagonales [FL] et [JK] ont le même milieu : FJLK est donc un parallélogramme.

PartieA ; 4.b Démontrer que le quadrilatère FJLK est un losange.

\overrightarrow{FL}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ -\frac{2}{3}\end{pmatrix} et \overrightarrow{JK}\begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}.
\begin{aligned}\overrightarrow{FL}\cdot\overrightarrow{JK} &= (-1)\times(-1) + 1\times(-1) + \left(-\dfrac{2}{3}\right)\times0 \\ &= 1 - 1 + 0 \\ &= 0\end{aligned}
Les diagonales du parallélogramme FJLK sont donc perpendiculaires : FJLK est un losange.

PartieA ; 4.c Le quadrilatère FJLK est-il un carré ?

\overrightarrow{KF}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ \frac{1}{3}\end{pmatrix} et \overrightarrow{FJ}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -\frac{1}{3}\end{pmatrix}.
\begin{aligned}\overrightarrow{KF}\cdot\overrightarrow{FJ} &= 0 + 0 - \dfrac{1}{9} \\ &= -\dfrac{1}{9} \ne 0\end{aligned}
Les côtés consécutifs [KF] et [FJ] ne sont donc pas perpendiculaires : le losange FJLK n'est pas un rectangle, donc, la réponse est non, FJLK n'est pas un carré.

PartieB (cas général) ; 1. On admet désormais que K\left(0~;~0~;~1-\dfrac{a}{2}\right) et L\left(0~;~1~;~\dfrac{a}{2}\right), avec a \in [0~;~1]. Déterminer les coordonnées de J en fonction de a.

G a pour coordonnées (1~;~1~;~1), donc \overrightarrow{CG}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, d'où \overrightarrow{CJ} = a\overrightarrow{CG}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ a\end{pmatrix}.
Comme C(1~;~1~;~0), on en déduit J(1~;~1~;~a).

PartieB ; 2. Montrer que FJLK est un parallélogramme, quelle que soit la valeur de a.

\overrightarrow{FJ}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ a-1\end{pmatrix} et \overrightarrow{KL}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ a-1\end{pmatrix} (en calculant \dfrac{a}{2} - \left(1-\dfrac{a}{2}\right) = a - 1).
\overrightarrow{FJ} = \overrightarrow{KL} : FJLK est donc un parallélogramme pour toute valeur de a.

PartieB ; 3. Existe-t-il des valeurs de a pour lesquelles FJLK est un losange ?

\overrightarrow{FL}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ \frac{a}{2}-1\end{pmatrix} et \overrightarrow{JK}\begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ 1-\frac{3a}{2}\end{pmatrix}.
\begin{aligned}\overrightarrow{FL}\cdot\overrightarrow{JK} &= 1 - 1 + \left(\dfrac{a}{2}-1\right)\left(1-\dfrac{3a}{2}\right) \\ &= \left(\dfrac{a}{2}-1\right)\left(1-\dfrac{3a}{2}\right)\end{aligned}
Ce produit s'annule si et seulement si \dfrac{a}{2} = 1 (soit a=2) ou 1 = \dfrac{3a}{2} (soit {a = \dfrac{2}{3}}).
Seule la valeur {a = \dfrac{2}{3}} appartient à l'intervalle [0~;~1] : dans ce cas, les diagonales du parallélogramme FJLK sont perpendiculaires, donc, la réponse est oui, uniquement pour {a = \dfrac{2}{3}}, FJLK est un losange.

PartieB ; 4. Existe-t-il des valeurs de a pour lesquelles FJLK est un carré ?

D'après la question précédente, la seule valeur de a rendant FJLK losange est {a = \dfrac{2}{3}}, cas déjà étudié en partie A où l'on a montré que ce losange n'était pas un carré : donc, la réponse est non, il n'existe aucune valeur de a pour laquelle FJLK est un carré.

PartieA ; 1. Dans une population, une maladie touche 5 % des individus. On teste un échantillon de n personnes (n \geqslant 20, tirage assimilé à un tirage avec remise) en mélangeant leur sang : si le mélange est positif, chaque personne est ensuite testée individuellement. Soit X_n le nombre total d'analyses effectuées. Montrer que X_n ne peut prendre que les valeurs 1 et n+1.

Si le test global est négatif, une seule analyse a été réalisée : X_n = 1.
Si le test global est positif, il faut ajouter les n analyses individuelles à l'analyse globale déjà faite : X_n = n + 1.
X_n ne peut donc prendre que les valeurs 1 et n+1.

PartieA ; 2. Prouver que P(X_n=1) = 0{,}95^{n}, puis donner la loi de X_n.

\{X_n = 1\} correspond à l'événement « les n personnes sont toutes saines », chaque personne étant saine avec une probabilité 1 - 0{,}05 = 0{,}95, indépendamment des autres (tirage avec remise).
Donc P(X_n = 1) = 0{,}95^{n}, puis {P(X_n = n+1) = 1 - 0{,}95^{n}} (événement contraire).
La loi de X_n est donc donnée par : P(X_n = 1) = 0{,}95^{n} et {P(X_n = n+1) = 1 - 0{,}95^{n}}.

PartieA ; 3. Que représente E(X_n) dans le contexte de l'expérience ? Montrer que E(X_n) = n+1-n\times0{,}95^{n}.

Par définition de l'espérance : E(X_n) = 1\times0{,}95^{n} + (n+1)\times(1-0{,}95^{n}).
En développant : \begin{aligned}E(X_n) &= 0{,}95^{n} + (n+1) - (n+1)\times0{,}95^{n} \\ &= (n+1) + 0{,}95^{n}\big(1-(n+1)\big) \\ &= (n+1) - n\times0{,}95^{n}\end{aligned}
Dans le contexte de l'expérience, E(X_n) représente le nombre moyen d'analyses à réaliser pour un échantillon de n personnes.

PartieB ; 1. On étudie f définie sur [20~;~+\infty[ par f(x) = \ln(x) + x\ln(0{,}95). Montrer que f est décroissante sur cet intervalle.

f est dérivable sur [20~;~+\infty[ comme somme de fonctions dérivables, et f'(x) = \dfrac{1}{x} + \ln(0{,}95).
Pour x \geqslant 20, on a \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{20}, donc f'(x) \leqslant \dfrac{1}{20} + \ln(0{,}95) \approx -0{,}001 < 0.
Donc, f'(x) \leqslant 0 sur [20~;~+\infty[ : la fonction f est décroissante sur cet intervalle.

PartieB ; 2. Sachant que \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0, montrer que \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = -\infty.

Pour x \ne 0, on factorise : {f(x) = x\left(\dfrac{\ln x}{x} + \ln(0{,}95)\right)}.
Comme \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0, on a \lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{\ln x}{x}+\ln(0{,}95)\right) = \ln(0{,}95) < 0.
Par produit de limites, avec {\lim\limits_{x\to+\infty}x = +\infty}, on obtient \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = -\infty.

PartieB ; 3. Montrer que l'équation {f(x)=0} admet une unique solution \alpha sur [20~;~+\infty[, puis donner un encadrement de \alpha à 0{,}1 près.

f est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur [20~;~+\infty[, de \begin{aligned}f(20) &= \ln(20) + 20\ln(0{,}95) \\ &\approx 1{,}97\end{aligned} jusqu'à -\infty.
Comme 0 appartient à l'intervalle {\,]-\infty~;~f(20)]}, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation {f(x)=0} admet une unique solution \alpha sur [20~;~+\infty[.
À la calculatrice, f(87{,}0) \approx 0{,}0034 > 0 et f(87{,}1) \approx -0{,}0006 < 0, donc, la réponse est {87{,}0 < \alpha < 87{,}1}.

PartieB ; 4. En déduire le signe de f sur [20~;~+\infty[.

D'après la décroissance de f et la question précédente : f(x) > 0 sur [20~;~\alpha[ et f(x) < 0 sur ]\alpha~;~+\infty[.

PartieC : La première méthode (test groupé) réduit le nombre d'analyses par rapport au test systématique dès que E(X_n) < n. En utilisant la partie B, montrer que la première méthode est avantageuse pour des échantillons d'au maximum 87 personnes.

E(X_n) < n \iff n+1-n\times0{,}95^{n} < n \iff 1 < n\times0{,}95^{n}.
En passant au logarithme népérien (fonction strictement croissante) : {0 < \ln(n) + n\ln(0{,}95)}, soit f(n) > 0.
D'après la partie B, f est strictement positive sur [20~;~\alpha[ avec \alpha \in\,]87{,}0~;~87{,}1[, donc f(n) > 0 pour tout entier n de 20 à 87.
Donc, la première méthode diminue effectivement le nombre d'analyses pour des échantillons allant jusqu'à 87 personnes maximum.

PartieA ; 1. On considère f définie sur \mathbb{R} par f(x) = \text{e}^x + ax + b\text{e}^{-x}, où a et b sont deux réels à déterminer. Le graphique fourni représente la courbe de f et sa tangente (T) au point d'abscisse 0. Par lecture graphique, donner des valeurs approchées de f(0) et f'(0).

Par lecture graphique, on observe f(0) \approx 3 et f'(0) \approx -2 (coefficient directeur de la tangente (T)).

PartieA ; 2. Exprimer f(0) en fonction de b, et en déduire la valeur de b.

f(0) = \text{e}^0 + a\times0 + b\text{e}^0 = 1 + b. Comme f(0) \approx 3, on résout \begin{aligned}1+b = 3 &\iff b = 2 \end{aligned}

PartieA ; 3.a On admet que f est dérivable sur \mathbb{R}. Donner l'expression de f'(x) pour tout réel x.

Pour tout réel x : f'(x) = \text{e}^x + a - b\text{e}^{-x} = \text{e}^x + a - 2\text{e}^{-x} (avec b=2).

PartieA ; 3.b Exprimer f'(0) en fonction de a.

f'(0) = \text{e}^0 + a - 2\text{e}^0 = 1 + a - 2 = a - 1.

PartieA ; 3.c En déduire la valeur de a, puis l'expression complète de f(x).

Comme f'(0) \approx -2, on résout \begin{aligned}a - 1 = -2 &\iff a = -1 \end{aligned}
On obtient donc, pour tout réel x : f(x) = \text{e}^x - x + 2\text{e}^{-x}.

PartieA ; 4.a On considère l'équation différentielle (E) : y' + y = 2\text{e}^x - x - 1. Vérifier que la fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x) = \text{e}^x - x + 2\text{e}^{-x} est solution de (E).

g est dérivable sur \mathbb{R} comme somme de fonctions dérivables, et g'(x) = \text{e}^x - 1 - 2\text{e}^{-x}.
On calcule g'(x) + g(x) = \left(\text{e}^x-1-2\text{e}^{-x}\right) + \left(\text{e}^x-x+2\text{e}^{-x}\right) = 2\text{e}^x - x - 1.
Cette égalité correspond exactement au second membre de (E) : g est donc bien solution de l'équation différentielle (E).

PartieA ; 4.b Résoudre l'équation différentielle y' + y = 0.

C'est une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre de la forme y' = -y : ses solutions sont les fonctions x \longmapsto K\text{e}^{-x}, avec K \in \mathbb{R}.

PartieA ; 4.c En déduire l'ensemble des solutions de l'équation (E).

Une solution particulière de (E) est g, et les solutions de l'équation homogène associée sont les K\text{e}^{-x} : donc, les solutions de (E) sont exactement les fonctions x \longmapsto \text{e}^x - x + 2\text{e}^{-x} + K\text{e}^{-x}, avec K \in \mathbb{R}.

PartieB ; 1. Vérifier que, pour tout réel x, \text{e}^{2x} - \text{e}^x - 2 = (\text{e}^x-2)(\text{e}^x+1).

En posant X = \text{e}^x, on étudie le trinôme X^2 - X - 2, qui admet deux racines évidentes : X=2 et X=-1 (car {2\times(-1)=-2} et 2+(-1)=1).
On peut donc factoriser : {X^2 - X - 2 = (X-2)(X+1)}, soit en revenant à {X=\text{e}^x} : \text{e}^{2x}-\text{e}^x-2 = (\text{e}^x-2)(\text{e}^x+1) pour tout réel x.

PartieB ; 2. En déduire une expression factorisée de g'(x).

On a g'(x) = \text{e}^x - 1 - 2\text{e}^{-x}. En multipliant et divisant par \text{e}^x : g'(x) = \text{e}^{-x}\left(\text{e}^{2x} - \text{e}^{x} - 2\right).
D'après la question précédente : g'(x) = \text{e}^{-x}(\text{e}^x-2)(\text{e}^x+1).

PartieB ; 3. En admettant que \text{e}^x - 2 > 0 pour tout x de [1~;~+\infty[, étudier le sens de variation de g sur [1~;~+\infty[.

Pour tout x \geqslant 1 : \text{e}^{-x} > 0, \text{e}^x - 2 > 0 (admis) et \text{e}^x + 1 > 0 : le produit de ces trois facteurs strictement positifs donne g'(x) > 0.
Donc, la réponse est : la fonction g est strictement croissante sur [1~;~+\infty[.