Bac Terminale Spé Maths : Polynésie française 2021

1.On modélise l'évolution d'une population animale par la suite (u_n) définie par {u_0 = 10\,000} et, pour tout entier naturel n, {u_{n+1} = 0{,}95u_n + 200}. Calculer u_1, puis vérifier que u_2 = 9\,415.

\begin{aligned}u_1 &= 0{,}95\times u_0+200 \\ &= 0{,}95\times10\,000+200 \\ &= 9\,500+200 \\ &= 9\,700\end{aligned}
\begin{aligned}u_2 &= 0{,}95\times u_1+200 \\ &= 0{,}95\times9\,700+200 \\ &= 9\,215+200 \\ &= 9\,415\end{aligned}

2.aDémontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_n > 4\,000.

Initialisation : u_0=10\,000>4\,000, la propriété est donc vraie au rang 0.
Hérédité : supposons que, pour un entier naturel n, on ait {u_n>4\,000}. Comme 0{,}95>0, on peut multiplier les deux membres par 0{,}95 sans changer le sens de l'inégalité : {0{,}95u_n>0{,}95\times4\,000=3\,800}.
En ajoutant 200 aux deux membres : 0{,}95u_n+200 > 3\,800+200=4\,000, c'est-à-dire u_{n+1}>4\,000 : la propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, {u_n>4\,000}.

2.bOn admet que la suite (u_n) est décroissante. Justifier qu'elle est convergente.

La suite (u_n) est décroissante et minorée par 4\,000 (question précédente) : elle est donc convergente, vers une limite \ell\geqslant4\,000.

3.aOn pose, pour tout entier naturel n, v_n = u_n - 4\,000. Calculer v_0.

\begin{aligned}v_0 &= u_0-4\,000 \\ &= 10\,000-4\,000 \\ &= 6\,000\end{aligned}

3.bDémontrer que la suite (v_n) est géométrique de raison 0{,}95.

Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}v_{n+1} &= u_{n+1}-4\,000 \\ &= 0{,}95u_n+200-4\,000 \\ &= 0{,}95u_n-3\,800\end{aligned}
Or 3\,800 = 0{,}95\times4\,000, donc \begin{aligned}v_{n+1} &= 0{,}95u_n-0{,}95\times4\,000 \\ &= 0{,}95\left(u_n-4\,000\right) \\ &= 0{,}95v_n\end{aligned}
L'égalité v_{n+1}=0{,}95v_n étant vraie pour tout entier naturel n, la suite (v_n) est géométrique de raison 0{,}95 et de premier terme v_0=6\,000.

3.cEn déduire que, pour tout entier naturel n, u_n = 4\,000 + 6\,000\times0{,}95^n.

La suite (v_n) est géométrique de raison 0{,}95 et de premier terme v_0=6\,000, donc, pour tout entier naturel n : \begin{aligned}v_n &= v_0\times0{,}95^n \\ &= 6\,000\times0{,}95^n\end{aligned}
Or v_n=u_n-4\,000, donc \begin{aligned}u_n &= v_n+4\,000 \\ &= 6\,000\times0{,}95^n+4\,000\end{aligned}

3.dQuelle est la limite de la suite (u_n) ? Justifier la réponse.

Comme {0<0{,}95<1}, on sait que \displaystyle\lim_{n\to+\infty}0{,}95^{n}=0, donc par produit \displaystyle\lim_{n\to+\infty}6\,000\times0{,}95^{n}=0.
Donc, par somme de limites, \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n = 4\,000+0 = 4 000.

4.En 2020, cette espèce comptait 10 000 individus. On estime qu'à partir de 2021, la population diminue de 5 % chaque début d'année, mais que 200 individus sont réintroduits à la fin de chaque année à partir de 2021. Une responsable associative affirme que « l'espèce ne devrait pas disparaître, mais on ne pourra pas éviter que la population soit réduite de plus de moitié ». Cette affirmation est-elle justifiée ?

Le terme u_n modélise le nombre d'individus de cette population à l'année 2020+n. D'après la question précédente, la suite (u_n) tend vers 4\,000 (sans jamais l'atteindre, puisque {u_n>4\,000} pour tout n) : la population ne s'éteint donc jamais.
Par ailleurs, 4\,000 représente moins de la moitié de la population initiale de 10\,000 individus, et (u_n) étant décroissante, la population finira par passer sous ce seuil de 5\,000 individus.
L'affirmation de la responsable associative est donc exacte : l'espèce ne s'éteint pas, mais sa population finira par diminuer de plus de moitié.

Untest de dépistage est développé pour une maladie touchant 7 % de la population d'un pays. Parmi les personnes infectées, 20 % obtiennent un résultat négatif au test ; parmi les personnes saines, 1 % obtiennent un résultat positif. On choisit une personne au hasard et on note M l'évènement « la personne est infectée » et T l'évènement « le test est positif ». 1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

On a P(M)=0{,}07 et donc \begin{aligned}P\left(\overline{M}\right) &= 1-0{,}07 \\ &= 0{,}93\end{aligned}
Puisque 20 % des personnes infectées ont un résultat négatif : P_M\left(\overline{T}\right)=0{,}2, donc \begin{aligned}P_M(T) &= 1-0{,}2 \\ &= 0{,}8\end{aligned}
Puisque 1 % des personnes saines ont un résultat positif : P_{\overline{M}}(T)=0{,}01, donc \begin{aligned}P_{\overline{M}}\left(\overline{T}\right) &= 1-0{,}01 \\ &= 0{,}99\end{aligned}
L'arbre pondéré a donc pour première branche P(M)=0{,}07 et P\left(\overline{M}\right)=0{,}93, puis les branches secondaires {P_M(T)=0{,}8}, P_M\left(\overline{T}\right)=0{,}2, P_{\overline{M}}(T)=0{,}01 et P_{\overline{M}}\left(\overline{T}\right)=0{,}99.

2.aQuelle est la probabilité que la personne choisie soit infectée et ait un test positif ?

P(M\cap T) = P(M)\times P_M(T) = 0{,}07\times0{,}8 = 0,056.

2.bMontrer que la probabilité que le test soit positif vaut 0,0653.

On calcule d'abord \begin{aligned}P\left(\overline{M}\cap T\right) &= P\left(\overline{M}\right)\times P_{\overline{M}}(T) \\ &= 0{,}93\times0{,}01 \\ &= 0{,}0093\end{aligned}
Les évènements M et \overline{M} formant une partition de l'univers, d'après la formule des probabilités totales : \begin{aligned}P(T) &= P(M\cap T)+P\left(\overline{M}\cap T\right) \\ &= 0{,}056+0{,}0093 \\ &= 0{,}0653\end{aligned}

3.Sachant que le test de la personne choisie est positif, quelle est la probabilité qu'elle soit infectée ? On donnera le résultat arrondi à 10^{-2} près.

\begin{aligned}P_T(M) &= \dfrac{P(M\cap T)}{P(T)} \\ &= \dfrac{0{,}056}{0{,}0653} \\ &\approx 0{,}8576\end{aligned} soit environ 0,86 à 10^{-2} près.

4.aOn interroge dix personnes au hasard dans la population, ce que l'on assimile à un tirage avec remise du fait de la taille de la population. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de personnes ayant un test positif parmi les dix. Quelle est la loi suivie par X ? Préciser ses paramètres.

Le tirage avec remise revient à répéter dix fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues (test positif ou non) de probabilité de succès {P(T)=0{,}0653} : X suit donc la loi binomiale de paramètres n=10 et {p=0{,}0653}.

4.bDéterminer la probabilité que, parmi les dix personnes interrogées, exactement deux aient un test positif (résultat arrondi à 10^{-2} près).

\begin{aligned}P(X=2) &= \dbinom{10}{2}\times0{,}0653^{2}\times(1-0{,}0653)^{10-2} \\ &= 45\times0{,}0653^{2}\times0{,}9347^{8}\end{aligned}
À la calculatrice, P(X=2)\approx0{,}1118, soit environ 0,11 à 10^{-2} près.

5.Déterminer le nombre minimum de personnes à tester pour que la probabilité qu'au moins l'une d'entre elles ait un test positif dépasse 99 %.

Pour n personnes testées, en notant X_n le nombre de tests positifs, X_n suit la loi binomiale de paramètres n et {p=0{,}0653}, donc \begin{aligned}P(X_n=0) &= (1-0{,}0653)^{n} \\ &= 0{,}9347^{n}\end{aligned} d'où P(X_n\geqslant1) = 1-0{,}9347^{n}.
On cherche le plus petit entier n tel que 1-0{,}9347^{n}>0{,}99 \iff 0{,}9347^{n}<0{,}01.
En passant au logarithme népérien (la fonction \ln est strictement croissante, et \ln 0{,}9347<0, donc l'inégalité change de sens) : {n\ln 0{,}9347 < \ln 0{,}01 \iff n > \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}9347}}.
Or \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}9347} \approx 68{,}19.
Donc, la réponse est qu'il faut tester au minimum 69 personnes.

Onconsidère un cube ABCDEFGH d'arête 1, muni du repère orthonormé \left(A~;~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD},~\overrightarrow{AE}\right), et le point M défini par \overrightarrow{BM} = \dfrac13\overrightarrow{BH}. 1. Donner, par lecture graphique, les coordonnées des points B, D, E, G et H.

Dans ce repère : B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1) et H(0 ; 1 ; 1).

2.aQuelle est la nature du triangle EGD ? Justifier la réponse.

Les segments [EG], [GD] et [ED] sont chacun la diagonale d'une face carrée de côté 1 du cube, donc \begin{aligned}EG &= GD \\ &= ED \\ &= \sqrt2\end{aligned} (diagonale d'un carré de côté 1) : le triangle EGD est équilatéral, de côté \sqrt2.

2.bOn admet que l'aire d'un triangle équilatéral de côté c vaut \dfrac{\sqrt3}{4}c^{2}. Montrer que l'aire du triangle EGD est égale à \dfrac{\sqrt3}{2}.

Avec c=\sqrt2, l'aire du triangle EGD vaut \begin{aligned}\dfrac{\sqrt3}{4}\times\left(\sqrt2\right)^{2} &= \dfrac{\sqrt3}{4}\times2 \\ &= \dfrac{\sqrt3}{2}\end{aligned}

3.Démontrer que les coordonnées de M sont \left(\dfrac23~;~\dfrac13~;~\dfrac13\right).

\overrightarrow{BH}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} (coordonnées de H moins celles de B), donc \overrightarrow{BM} = \dfrac13\overrightarrow{BH}\begin{pmatrix}-\frac13 \\ \frac13 \\ \frac13\end{pmatrix}.
Comme \overrightarrow{BM}\begin{pmatrix}x_M-1 \\ y_M \\ z_M\end{pmatrix}, on obtient \begin{aligned}x_M &= 1-\dfrac13 \\ &= \dfrac23\end{aligned} y_M=\dfrac13 et z_M=\dfrac13.
Donc, la réponse est que M a pour coordonnées \left(\dfrac23~;~\dfrac13~;~\dfrac13\right).

4.aJustifier que le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} est normal au plan (EGD).

\overrightarrow{EG}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} (coordonnées de G moins celles de E), donc \begin{aligned}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{EG} &= -1+1+0 \\ &= 0\end{aligned}
\overrightarrow{ED}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} (coordonnées de D moins celles de E), donc \begin{aligned}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{ED} &= 0+1-1 \\ &= 0\end{aligned}
\overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (EGD) : c'est donc un vecteur normal à ce plan.

4.bEn déduire qu'une équation cartésienne du plan (EGD) est -x+y+z-1=0.

Un plan de vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} admet une équation de la forme {-x+y+z+d=0}, avec d réel à déterminer.
Le point E(0 ; 0 ; 1) appartient au plan (EGD), donc ses coordonnées vérifient cette équation : \begin{aligned}-0+0+1+d = 0 &\iff d = -1 \end{aligned}
Donc, la réponse est que le plan (EGD) a pour équation -x+y+z-1=0.

4.cSoit \mathcal{D} la droite orthogonale au plan (EGD) passant par M. Montrer qu'une représentation paramétrique de \mathcal{D} est {x=\dfrac23-t,\ y=\dfrac13+t,\ z=\dfrac13+t}, avec t\in\mathbb{R}.

La droite \mathcal{D} est orthogonale au plan (EGD), elle est donc dirigée par le vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} de ce plan ; elle passe de plus par M\left(\frac23~;~\frac13~;~\frac13\right).
Un point P(x~;~y~;~z) appartient à \mathcal{D} si, et seulement si, \overrightarrow{MP} = t\overrightarrow{n} pour un certain réel t, c'est-à-dire x-\dfrac23=-t, y-\dfrac13=t et z-\dfrac13=t.
Donc, la réponse est que \mathcal{D} admet pour représentation paramétrique x=\dfrac23-t, y=\dfrac13+t, z=\dfrac13+t, avec t\in\mathbb{R}.

5.aSoit K le pied de la hauteur issue de M dans la pyramide GEDM. Démontrer que les coordonnées de K sont \left(\dfrac13~;~\dfrac23~;~\dfrac23\right).

La droite \mathcal{D} passe par M et est perpendiculaire au plan (EGD) : c'est donc la hauteur de la pyramide GEDM issue de M, et son pied K est le point d'intersection de \mathcal{D} avec le plan (EGD).
Les coordonnées de K vérifient donc à la fois la représentation paramétrique de \mathcal{D} et l'équation du plan (EGD) : en substituant x=\frac23-t, y=\frac13+t, {z=\frac13+t} dans -x+y+z-1=0, on obtient \begin{aligned}-\left(\frac23-t\right)+\frac13+t+\frac13+t-1 = 0 &\iff 3t = 1 \\ &\iff t = \dfrac13 \end{aligned}
En remplaçant t par \dfrac13 : \begin{aligned}x &= \dfrac23-\dfrac13 \\ &= \dfrac13\end{aligned} \begin{aligned}y &= \dfrac13+\dfrac13 \\ &= \dfrac23\end{aligned} et \begin{aligned}z &= \dfrac13+\dfrac13 \\ &= \dfrac23\end{aligned}
Donc, la réponse est que K a pour coordonnées \left(\dfrac13~;~\dfrac23~;~\dfrac23\right).

5.bEn déduire le volume de la pyramide GEDM. On rappelle que le volume d'une pyramide est V=\dfrac{b\times h}{3}, où b est l'aire d'une base et h la hauteur associée.

\overrightarrow{KM}\begin{pmatrix}\frac13 \\ -\frac13 \\ -\frac13\end{pmatrix} (coordonnées de M moins celles de K), donc \begin{aligned}KM^{2} &= \dfrac19+\dfrac19+\dfrac19 \\ &= \dfrac13\end{aligned} d'où \begin{aligned}KM &= \sqrt{\dfrac13} \\ &= \dfrac{\sqrt3}{3}\end{aligned}
K est le pied de la hauteur issue de M pour la base EGD, donc \begin{aligned}h &= KM \\ &= \dfrac{\sqrt3}{3}\end{aligned} et \begin{aligned}b &= \mathcal{A}(\text{EGD}) \\ &= \dfrac{\sqrt3}{2}\end{aligned} (question 2.b).
Le volume de la pyramide GEDM vaut donc \begin{aligned}V &= \dfrac{\frac{\sqrt3}{2}\times\frac{\sqrt3}{3}}{3} \\ &= \dfrac{\frac{3}{6}}{3} \\ &= \dfrac16\end{aligned}
Donc, la réponse est que la pyramide GEDM a un volume égal à \dfrac16.

Exercice au choix : Fonction exponentielle et équation différentielle. On donne, dans un repère orthonormé, une portion de la courbe \mathcal{C} d'une fonction f définie sur \mathbb{R}, passant par A(0 ; 2), la droite (AB) avec B(2 ; 0) étant tangente à \mathcal{C} en A. Partie 1 ; 1. Donner, par lecture graphique, les valeurs de f(0) et f'(0).

Le point A(0 ; 2) appartient à la courbe \mathcal{C}, donc f(0)=2.
La droite (AB) étant tangente à \mathcal{C} en A, son coefficient directeur est égal au nombre dérivé f'(0) : f'(0) = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \dfrac{0-2}{2-0} = -1.

Partie1 ; 2. Donner, par lecture graphique, un intervalle sur lequel f semble convexe.

D'après l'allure de la courbe \mathcal{C}, la fonction f semble convexe sur l'intervalle [0~;~+\infty[.

Partie2 : On considère l'équation différentielle (E) : y' = -y + \text{e}^{-x}. On admet que la fonction g : x\longmapsto x\text{e}^{-x} est une solution particulière de (E). 1. Donner toutes les solutions sur \mathbb{R} de l'équation différentielle (H) : y'=-y.

Les solutions de l'équation (H) : y'=-y (de la forme y'=ay avec a=-1) sont les fonctions x\longmapsto K\text{e}^{-x}, où K décrit \mathbb{R}.

Partie2 ; 2. En déduire toutes les solutions sur \mathbb{R} de l'équation différentielle (E).

La solution générale de (E) s'obtient en ajoutant à la solution particulière g une solution quelconque de l'équation homogène (H) : les solutions de (E) sont donc les fonctions {x\longmapsto x\text{e}^{-x}+K\text{e}^{-x} = (x+K)\text{e}^{-x}}, avec K\in\mathbb{R}.

Partie2 ; 3. Sachant que f est la solution particulière de (E) vérifiant f(0)=2, déterminer l'expression de f(x).

D'après la question précédente, {f(x)=(x+K)\text{e}^{-x}} pour un certain réel K. Or f(0)=2, donc (0+K)\text{e}^{0} = K = 2.
Donc, la réponse est que {f(x) = (x+2)\text{e}^{-x}}.

Partie3 : On admet que, pour tout réel x, f(x)=(x+2)\text{e}^{-x}. 1.a Montrer que, pour tout x\in\mathbb{R}, f'(x) = (-x-1)\text{e}^{-x}.

Puisque f est solution de (E), on a f'(x) = -f(x)+\text{e}^{-x} = -(x+2)\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}(-x-2+1) = (-x-1)\text{e}^{-x}.

Partie3 ; 1.b Étudier le signe de f'(x) sur \mathbb{R} et dresser le tableau de variations de f (sans préciser les limites en -\infty et en +\infty, mais en calculant la valeur exacte de l'extremum).

Pour tout réel x, \text{e}^{-x}>0, donc f'(x) est du signe de -x-1 : {-x-1>0 \iff x<-1}, et \begin{aligned}-x-1 = 0 &\iff x = -1 \end{aligned}
La fonction f est donc strictement croissante sur ]-\infty~;~-1[ et strictement décroissante sur ]-1~;~+\infty[, avec un maximum en {x=-1} égal à {f(-1) = (-1+2)\text{e}^{-(-1)} = \text{e}}.
Donc, la réponse est que f admet un maximum exact égal à e, atteint en {x=-1}.

Partie3 ; 2.a Calculer, pour tout x\in\mathbb{R}, f''(x).

En dérivant f'(x) = -f(x)+\text{e}^{-x} : f''(x) = -f'(x)-\text{e}^{-x} = -(-x-1)\text{e}^{-x}-\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}(x+1-1) = x\text{e}^{-x}.

Partie3 ; 2.b Peut-on affirmer que f est convexe sur l'intervalle [0~;~+\infty[ ?

Sur [0~;~+\infty[, on a x\geqslant0 et \text{e}^{-x}>0, donc le produit f''(x)=x\text{e}^{-x}\geqslant0.
La dérivée seconde de f est positive sur [0~;~+\infty[, donc, la réponse est que f est bien convexe sur cet intervalle, ce qui confirme la conjecture graphique de la partie 1.

Exercice au choix : Fonction logarithme népérien et optimisation. Partie 1 : Soit f la fonction définie sur [1~;~4] par {f(x) = -30x+50+35\ln x}. 1.a Montrer que, pour tout {x\in[1~;~4]}, f'(x) = \dfrac{35-30x}{x}.

f est dérivable sur [1~;~4] comme somme de fonctions usuelles dérivables, et f'(x) = -30+\dfrac{35}{x} = \dfrac{-30x}{x}+\dfrac{35}{x} = \dfrac{35-30x}{x}.

Partie1 ; 1.b Étudier le signe de f'(x) sur [1~;~4].

Pour {x\in[1~;~4]}, on a x>0, donc f'(x) est du signe du numérateur {35-30x = 5(7-6x)}, c'est-à-dire du signe de {7-6x}.
7-6x>0 \iff x<\dfrac76 ; \begin{aligned}7-6x = 0 &\iff x = \dfrac76 \end{aligned} 7-6x<0 \iff x>\dfrac76.
Donc f'(x)>0 sur \left[1~;~\dfrac76\right[, f'\left(\dfrac76\right)=0 et f'(x)<0 sur \left]\dfrac76~;~4\right].

Partie1 ; 1.c En déduire les variations de f sur [1~;~4].

D'après le signe de f', la fonction f est strictement croissante sur \left[1~;~\dfrac76\right] puis strictement décroissante sur \left[\dfrac76~;~4\right].
Elle admet donc un maximum en x=\dfrac76 : \begin{aligned}f\left(\dfrac76\right) &= -30\times\dfrac76+50+35\ln\dfrac76 \\ &= -35+50+35\ln\dfrac76 \\ &= 15+35\ln\dfrac76 \\ &\approx 20{,}40\end{aligned}

Partie1 ; 2. Justifier que l'équation {f(x)=0} admet une unique solution \alpha sur [1~;~4], puis donner une valeur approchée de \alpha à 10^{-3} près.

Sur \left[\dfrac76~;~4\right], f est continue (car dérivable) et strictement décroissante, de f\left(\dfrac76\right)\approx20{,}40 à \begin{aligned}f(4) &= -120+50+35\ln4 \\ &= 35\ln4-70 \\ &\approx -21{,}48\end{aligned}
Comme 0 appartient à l'intervalle \left[f(4)~;~f\left(\frac76\right)\right], d'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire de la stricte monotonie), l'équation {f(x)=0} admet une unique solution \alpha dans \left[\dfrac76~;~4\right], donc dans [1~;~4] puisque f>0 sur \left[1~;~\frac76\right].
À la calculatrice, par balayages successifs : f(2{,}91)\approx0{,}085>0 et f(2{,}92)\approx-0{,}095<0, donc {2{,}91<\alpha<2{,}92} ; puis {f(2{,}914)\approx0{,}013>0} et f(2{,}915)\approx-0{,}005<0.
Donc, la réponse est que \alpha \approx 2,914 à 10^{-3} près.

Partie1 ; 3. Dresser le tableau de signe de f(x) pour {x\in[1~;~4]}.

Puisque f est croissante puis décroissante sur [1~;~4] avec {f(1)=20>0} et f(\alpha)=0, on a f(x)\geqslant0 sur [1~;~\alpha] et f(x)\leqslant0 sur [\alpha~;~4].

Partie2 : optimisation : Une entreprise commercialisant du jus de fruits modélise son bénéfice B(x), en milliers d'euros, pour x milliers de litres vendus ({x\in[1~;~4]}), par B(x) = -15x^{2}+15x+35x\ln x. 1. Calculer, au prix près, le bénéfice réalisé pour 2 500 litres vendus.

2 500 litres correspondent à x=2{,}5 (milliers de litres) : \begin{aligned}B(2{,}5) &= -15\times2{,}5^{2}+15\times2{,}5+35\times2{,}5\times\ln2{,}5 \\ &\approx 23{,}9254\end{aligned} (milliers d'euros).
Donc, la réponse est que le bénéfice réalisé est d'environ 23 925 €.

Partie2 ; 2. Montrer que, pour tout {x\in[1~;~4]}, B'(x)=f(x).

B est dérivable sur [1~;~4] comme somme et produit de fonctions dérivables, et B'(x) = -30x+15+35\ln x+35x\times\dfrac1x = -30x+15+35\ln x+35 = -30x+50+35\ln x = f(x).

Partie2 ; 3.a À l'aide de la partie 1, donner les variations de B sur [1~;~4].

D'après la partie 1, B'(x)=f(x)\geqslant0 sur [1~;~\alpha], donc B est croissante sur cet intervalle ; et B'(x)=f(x)\leqslant0 sur [\alpha~;~4], donc B est décroissante sur cet intervalle.
B admet donc un maximum sur [1~;~4], atteint en x=\alpha.

Partie2 ; 3.b En déduire, au litre près, la quantité de jus de fruits à vendre pour un bénéfice maximal.

Le bénéfice est maximal pour \begin{aligned}x &= \alpha \\ &\approx 2{,}914\end{aligned} (milliers de litres), soit \begin{aligned}B(\alpha) &\approx -15\times2{,}914^{2}+15\times2{,}914+35\times2{,}914\times\ln2{,}914 \\ &\approx 25{,}4201\end{aligned} (milliers d'euros).
Donc, la réponse est que l'entreprise doit vendre environ 2 914 litres de jus de fruits pour réaliser un bénéfice maximal d'environ 25 420 €.