Bac Terminale Spé Maths : Asie 2022, Sujet 2

1.aDans un repère orthonormé (O~;~\vec\imath,\vec\jmath,\vec k) de l'espace, on considère les points A(-3 ; 1 ; 3), B(2 ; 2 ; 3), C(1 ; 7 ; -1), D(-4 ; 6 ; -1) et K(-3 ; 14 ; 14). Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC} et \overrightarrow{AD}.

On calcule chaque vecteur en soustrayant les coordonnées de l'origine à celles de l'extrémité : \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2-(-3) \\ 2-1 \\ 3-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}.
De même, \overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}1-(-4) \\ 7-6 \\ -1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}.
Enfin, \overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}-4-(-3) \\ 6-1 \\ -1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ 5 \\ -4\end{pmatrix}.
Donc, la réponse est \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, \overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}5 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} et \overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}-1 \\ 5 \\ -4\end{pmatrix}.

1.bMontrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle.

D'après la question précédente, {\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}} : le quadrilatère ABCD est donc un parallélogramme.
Calculons le produit scalaire \begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} &= 5\times(-1)+1\times5+0\times(-4) \\ &= -5+5+0 \\ &= 0\end{aligned}
Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AD} sont donc orthogonaux : le parallélogramme ABCD possède deux côtés consécutifs perpendiculaires.
Donc, la réponse est que ABCD est un rectangle.

1.cCalculer l'aire du rectangle ABCD.

On calcule les longueurs des côtés à l'aide des normes des vecteurs : \begin{aligned}AB^2 &= 5^2+1^2+0^2 \\ &= 26\end{aligned} donc AB=\sqrt{26}.
De même, \begin{aligned}AD^2 &= (-1)^2+5^2+(-4)^2 \\ &= 1+25+16 \\ &= 42\end{aligned} donc AD=\sqrt{42}.
L'aire du rectangle ABCD vaut \begin{aligned}AB\times AD &= \sqrt{26}\times\sqrt{42} \\ &= \sqrt{26\times42} \\ &= \sqrt{1092}\end{aligned}
En factorisant, 1092 = 4\times273, donc \sqrt{1092} = 2\sqrt{273}.
Donc, la réponse est \mathcal{A}(\text{ABCD}) = 2\sqrt{273} (unité d'aire).

2.aJustifier que les points A, B et D définissent un plan.

D'après la question 1.a, les vecteurs \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} et \overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}-1 \\ 5 \\ -4\end{pmatrix} ne sont clairement pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles), donc les points A, B et D ne sont pas alignés. Donc, la réponse est qu'ils définissent bien un plan.

2.bMontrer que le vecteur \vec n(-2~;~10~;~13) est un vecteur normal au plan (ABD).

On calcule \begin{aligned}\vec n\cdot\overrightarrow{AB} &= -2\times5+10\times1+13\times0 \\ &= -10+10+0 \\ &= 0\end{aligned}
On calcule \begin{aligned}\vec n\cdot\overrightarrow{AD} &= -2\times(-1)+10\times5+13\times(-4) \\ &= 2+50-52 \\ &= 0\end{aligned}
Le vecteur \vec n est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABD), \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AD}.
Donc, la réponse est que \vec n est un vecteur normal au plan (ABD).

2.cEn déduire une équation cartésienne du plan (ABD).

Le plan (ABD) admet \vec n(-2~;~10~;~13) pour vecteur normal, donc il a une équation de la forme {-2x+10y+13z=d}, avec d\in\mathbb{R}.
Le point B(2~;~2~;~3) appartient au plan (ABD), donc ses coordonnées vérifient cette équation : {-2\times2+10\times2+13\times3=d}, soit -4+20+39=d, donc {d=55}.
Donc, la réponse est que le plan (ABD) a pour équation cartésienne {-2x+10y+13z=55}.

3.aDonner une représentation paramétrique de la droite \Delta orthogonale au plan (ABD) et qui passe par le point K(-3 ; 14 ; 14).

La droite \Delta, orthogonale au plan (ABD), admet le vecteur normal \vec n(-2~;~10~;~13) comme vecteur directeur, et elle passe par le point K.
Donc, la réponse est \Delta : \begin{cases}x=-2t-3\\y=10t+14\\z=13t+14\end{cases}, avec t\in\mathbb{R}.

3.bDéterminer les coordonnées du point I, projeté orthogonal du point K sur le plan (ABD).

Le point I, projeté orthogonal de K sur le plan (ABD), est l'unique point d'intersection de la droite \Delta (perpendiculaire au plan et passant par K) avec ce plan.
On remplace les coordonnées paramétriques de \Delta dans l'équation du plan (ABD) : -2(-2t-3)+10(10t+14)+13(13t+14)=55.
Cela donne {4t+6+100t+140+169t+182 = 55}, soit 273t+328=55, donc 273t=-273, d'où t=-1.
En reportant t=-1 dans le système paramétrique : \begin{aligned}x &= -2\times(-1)-3 \\ &= 2-3 \\ &= -1\end{aligned} \begin{aligned}y &= 10\times(-1)+14 \\ &= 4\end{aligned} et \begin{aligned}z &= 13\times(-1)+14 \\ &= 1\end{aligned}
Donc, la réponse est I(-1~;~4~;~1).

3.cMontrer que la hauteur de la pyramide KABCD de base ABCD et de sommet K vaut \sqrt{273}.

ABCD est un rectangle (question 1.b), donc le point D appartient bien au plan (ABD). La hauteur de la pyramide KABCD, relative à la base ABCD, est donc la longueur KI, où I est le projeté orthogonal de K sur ce plan.
\overrightarrow{KI}\begin{pmatrix}-1-(-3) \\ 4-14 \\ 1-14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ -10 \\ -13\end{pmatrix}, donc \begin{aligned}KI^2 &= 2^2+(-10)^2+(-13)^2 \\ &= 4+100+169 \\ &= 273\end{aligned}
Donc, la réponse est KI=\sqrt{273}.

4.Calculer le volume V de la pyramide KABCD. On rappelle que le volume V d'une pyramide est donné par la formule {V=\dfrac13\times\text{aire de la base}\times\text{hauteur}}.

On applique la formule avec l'aire de la base ABCD (question 1.c) et la hauteur KI (question 3.c) : \begin{aligned}V &= \dfrac13\times\mathcal{A}(\text{ABCD})\times KI \\ &= \dfrac13\times2\sqrt{273}\times\sqrt{273}\end{aligned}
Or \sqrt{273}\times\sqrt{273}=273, donc \begin{aligned}V &= \dfrac13\times2\times273 \\ &= \dfrac{546}{3} \\ &= 182\end{aligned}
Donc, la réponse est V=182 (unité de volume).

PartieA ; 1. Sur un graphique (non reproduit ici) sont tracées les courbes représentatives \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2 d'une fonction f et de sa dérivée f', toutes deux définies sur ]3~;~+\infty[ : \mathcal{C}_1 part de -\infty au voisinage de 3 et croît ensuite jusqu'à +\infty ; \mathcal{C}_2 part de valeurs élevées au voisinage de 3 et décroît en restant positive. Associer à chaque courbe la fonction qu'elle représente, en justifiant.

Si \mathcal{C}_1 représentait la dérivée f', celle-ci serait toujours négative puis positive selon la lecture du graphique ; or la fonction représentée par \mathcal{C}_2 n'est pas décroissante puis croissante : elle est toujours décroissante. Il y a donc une contradiction.
\mathcal{C}_2 reste positive sur tout l'intervalle ]3~;~+\infty[, ce qui est cohérent avec une fonction f strictement croissante sur cet intervalle (comme le montre \mathcal{C}_1) : une fonction croissante a une dérivée positive.
Donc, la réponse est que \mathcal{C}_2 représente la fonction dérivée f', et \mathcal{C}_1 représente la fonction f.

PartieA ; 2. Déterminer graphiquement la ou les solutions éventuelles de l'équation {f(x)=3}.

Par lecture graphique de la courbe \mathcal{C}_1, on lit approximativement f(5{,}6)\approx3. Donc, la réponse est que l'équation {f(x)=3} admet une solution proche de x=5{,}6.

PartieA ; 3. Indiquer, par lecture graphique, la convexité de la fonction f.

La courbe \mathcal{C}_1 « tourne le dos » à l'axe des abscisses de façon décroissante sur tout l'intervalle observé : elle est située sous chacune de ses tangentes. Donc, la réponse est que la fonction f semble concave sur ]3~;~+\infty[.

PartieB ; 1. Justifier que la quantité {\ln(x^2-x-6)} est bien définie pour les valeurs de x de l'intervalle I=\,]3~;~+\infty[.

Le trinôme x^2-x-6 a pour discriminant \begin{aligned}\Delta &= (-1)^2-4\times1\times(-6) \\ &= 1+24 \\ &= 25 \\ &= 5^2\end{aligned}
Ses racines sont donc \begin{aligned}x_1 &= \dfrac{1+5}{2} \\ &= 3\end{aligned} et \begin{aligned}x_2 &= \dfrac{1-5}{2} \\ &= -2\end{aligned}
Un trinôme du second degré est du signe de son coefficient dominant (ici positif, a=1) à l'extérieur de ses racines, et du signe opposé entre ses racines : x^2-x-6>0 pour {x\in\,]-\infty~;~-2[\,\cup\,]3~;~+\infty[}.
Donc, la réponse est que x^2-x-6>0 sur I=\,]3~;~+\infty[, et donc {\ln(x^2-x-6)} y est bien défini.

PartieB ; 2. On admet que {f(x)=\ln(x^2-x-6)} sur I. Calculer les limites de f aux deux bornes de I, puis en déduire une équation d'une asymptote à la courbe de f.

Limite en +\infty : pour x>3, on factorise x^2-x-6 = x^2\left(1-\dfrac1x-\dfrac{6}{x^2}\right). Comme \begin{aligned}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac1x &= \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{6}{x^2} \\ &= 0\end{aligned} on a \lim\limits_{x\to+\infty}\left(1-\dfrac1x-\dfrac{6}{x^2}\right)=1.
Comme \lim\limits_{x\to+\infty}x^2=+\infty, on obtient \lim\limits_{x\to+\infty}x^2-x-6=+\infty, puis par composition avec la fonction logarithme, \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.
Limite en 3 : en écrivant {x^2-x-6=(x+2)(x-3)}, on a \begin{aligned}\lim\limits_{x\to3^+}(x+2)(x-3) &= 5\times0^+ \\ &= 0^+\end{aligned} donc par composition avec la fonction logarithme, \lim\limits_{x\to3^+}f(x)=-\infty.
Donc, la réponse est que la droite d'équation x=3 est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

PartieB ; 3.a Calculer f'(x) pour tout x\in I.

La fonction x\mapsto x^2-x-6 est dérivable et strictement positive sur I (question B.1), donc f=\ln(x^2-x-6) est dérivable sur I comme composée de fonctions dérivables, et f'(x) = \dfrac{(x^2-x-6)'}{x^2-x-6} = \dfrac{2x-1}{x^2-x-6}.
Donc, la réponse est f'(x)=\dfrac{2x-1}{x^2-x-6}.

PartieB ; 3.b Étudier le sens de variation de f sur I, puis dresser son tableau de variations en y faisant figurer les limites aux bornes de I.

Sur I, le dénominateur x^2-x-6 est strictement positif (question B.1), donc f'(x) est du signe du numérateur 2x-1.
Pour tout x>3, on a {2x-1>2\times3-1=5>0}, donc f'(x)>0 sur tout l'intervalle I.
Donc, la réponse est que f est strictement croissante sur I, de -\infty (limite en 3) à +\infty (limite en +\infty).

PartieB ; 4.a Justifier que l'équation {f(x)=3} admet une unique solution \alpha sur l'intervalle ]5~;~6[.

La fonction f est continue (car dérivable) et strictement croissante sur I, donc en particulier sur [5~;~6].
f(5) = \ln(5^2-5-6) = \ln(14) \approx 2{,}64 < 3 et f(6) = \ln(6^2-6-6) = \ln(24) \approx 3{,}18 > 3.
Comme 3 est une valeur intermédiaire entre f(5) et f(6), d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation {f(x)=3} admet une unique solution \alpha sur ]5~;~6[.
Donc, la réponse est que l'équation {f(x)=3} admet bien une unique solution \alpha\in\,]5~;~6[.

PartieB ; 4.b Déterminer, à l'aide de la calculatrice, un encadrement de \alpha à 10^{-2} près.

La calculatrice donne {f(5{,}63)\approx2{,}999<3} et f(5{,}64)\approx3{,}004>3.
Donc, la réponse est {5{,}63<\alpha<5{,}64}.

PartieB ; 5.a Justifier que f''(x) = \dfrac{-2x^2+2x-13}{(x^2-x-6)^2}.

La fonction f'=\dfrac{2x-1}{x^2-x-6} est un quotient de fonctions dérivables sur I dont le dénominateur ne s'annule pas : elle est donc dérivable sur I, et pour tout x\in I, f''(x) = \dfrac{2\times(x^2-x-6)-(2x-1)\times(2x-1)}{(x^2-x-6)^2}.
On développe le numérateur : \begin{aligned}2(x^2-x-6)-(2x-1)^2 &= 2x^2-2x-12-(4x^2-4x+1) \\ &= 2x^2-2x-12-4x^2+4x-1 \\ &= -2x^2+2x-13\end{aligned}
Donc, la réponse est f''(x) = \dfrac{-2x^2+2x-13}{(x^2-x-6)^2}.

PartieB ; 5.b Étudier la convexité de f sur I.

Le dénominateur (x^2-x-6)^2 est strictement positif sur I, donc f''(x) est du signe du numérateur -2x^2+2x-13.
Le discriminant de ce trinôme vaut \Delta = 2^2-4\times(-2)\times(-13) = 4-104=-100<0 : il n'a donc pas de racine réelle et garde un signe constant, celui de son coefficient dominant a=-2<0 : il est donc strictement négatif pour tout réel x.
Donc, la réponse est que f''(x)<0 pour tout x\in I : la fonction f est concave sur I.

Partie1 ; 1. Julien doit prendre l'avion et a prévu de prendre le bus pour se rendre à l'aéroport. S'il prend le bus de 8 h, il est sûr d'arriver à temps ; sinon, il ne peut plus arriver à temps. On note B l'évènement « Julien réussit à prendre son bus », de probabilité P(B)=0{,}2, et V l'évènement « Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol ». Donner la valeur de P_B(V).

S'il réussit à prendre son bus, Julien est certain d'être à l'heure à l'aéroport pour son vol. Donc, la réponse est P_B(V)=1.

Partie1 ; 2. S'il manque son bus, Julien prend une compagnie de voitures privées, avec une probabilité 0{,}5 d'être à l'heure à l'aéroport. Représenter la situation par un arbre pondéré.

On représente un arbre à deux niveaux : le premier niveau donne les branches B (probabilité 0{,}2) et \overline{B} (probabilité {1-0{,}2=0{,}8}).
Depuis B partent les branches V (probabilité 1, puisque P_B(V)=1) et \overline V (probabilité 0).
Depuis \overline B partent les branches V (probabilité 0{,}5) et \overline V (probabilité 0{,}5).

Partie1 ; 3. Montrer que P(V)=0{,}6.

D'après la formule des probabilités totales, appliquée au système complet d'évènements \{B,\overline B\} : \begin{aligned}P(V) &= P(B\cap V)+P(\overline B\cap V) \\ &= P(B)\times P_B(V) + P(\overline B)\times P_{\overline B}(V)\end{aligned}
\begin{aligned}P(V) &= 0{,}2\times1+0{,}8\times0{,}5 \\ &= 0{,}2+0{,}4 \\ &= 0{,}6\end{aligned}
Donc, la réponse est P(V)=0{,}6.

Partie1 ; 4. Si Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol, quelle est la probabilité qu'il soit arrivé à l'aéroport en bus ?

On cherche \begin{aligned}P_V(B) &= \dfrac{P(V\cap B)}{P(V)} \\ &= \dfrac{P(B\cap V)}{P(V)} \\ &= \dfrac{0{,}2\times1}{0{,}6} \\ &= \dfrac{0{,}2}{0{,}6} \\ &= \dfrac13\end{aligned}
Donc, la réponse est P_V(B)=\dfrac13.

Partie2 ; 1. Une compagnie aérienne pratique le surbooking : chaque passager a 5 % de chance de ne pas se présenter à l'embarquement, indépendamment des autres. Pour un vol de 200 places où 206 billets ont été vendus, on note X la variable aléatoire comptant le nombre de passagers se présentant à l'embarquement. Justifier que X suit une loi binomiale, en précisant ses paramètres.

On répète 206 fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues : « le passager se présente » (probabilité 1-0{,}05=0{,}95) ou « le passager ne se présente pas » (probabilité 0{,}05). X compte le nombre de succès.
Donc, la réponse est que X suit la loi binomiale de paramètres n=206 et p=0{,}95.

Partie2 ; 2. En moyenne, combien de passagers vont-ils se présenter à l'embarquement ?

L'espérance d'une loi binomiale de paramètres n et p vaut n\times p, donc \begin{aligned}E(X) &= 206\times0{,}95 \\ &= 195{,}7\end{aligned}
Donc, la réponse est qu'en moyenne, environ 196 passagers se présentent à l'embarquement.

Partie2 ; 3. Calculer la probabilité que 201 passagers se présentent à l'embarquement, arrondie à 10^{-3} près.

P(X=201) = \dbinom{206}{201}\times0{,}95^{201}\times0{,}05^{5}.
Donc, la réponse est {P(X=201)\approx0{,}031} (à 10^{-3} près).

Partie2 ; 4. Calculer P(X\leqslant200), arrondi à 10^{-3} près, puis interpréter ce résultat.

La calculatrice donne {P(X\leqslant200)\approx0{,}948} (à 10^{-3} près).
Donc, la réponse est qu'il y a environ 94,8 % de chances qu'au plus 200 passagers se présentent, c'est-à-dire que tous les passagers présents puissent embarquer : il est donc très probable que l'avion ne soit pas en surcapacité.

Partie2 ; 5.a Chaque billet coûte 250 €. Si plus de 200 passagers se présentent, la compagnie doit rembourser le billet et payer une pénalité de 600 € à chaque passager lésé. On note Y le nombre de passagers qui ne peuvent pas embarquer bien qu'ayant acheté un billet ; sa loi de probabilité est donnée par {P(Y{=}0)=0{,}94775}, P(Y{=}1)=0{,}03063, {P(Y{=}2)=0{,}01441}, P(Y{=}3)=0{,}00539, {P(Y{=}4)=0{,}00151}, P(Y{=}5)=0{,}00028. Compléter la loi de probabilité en calculant P(Y=6).

Y ne peut prendre que les valeurs 0 à 6 (au maximum 206-200=6 passagers surnuméraires), et la somme de toutes les probabilités d'une loi vaut 1.
P(Y=6) = 1-\big(P(Y{=}0)+P(Y{=}1)+P(Y{=}2)+P(Y{=}3)+P(Y{=}4)+P(Y{=}5)\big).
\begin{aligned}P(Y=6) &= 1-(0{,}94775+0{,}03063+0{,}01441+0{,}00539+0{,}00151+0{,}00028) \\ &= 1-0{,}99997 \\ &= 0{,}00003\end{aligned}
Donc, la réponse est {P(Y=6)=0{,}00003}.

Partie2 ; 5.b Justifier que C=51\,500-850Y, où C est le chiffre d'affaires de la compagnie sur ce vol.

La compagnie encaisse d'abord la vente des 206 billets, soit {206\times250=51\,500} €.
Pour chacun des Y passagers ne pouvant pas embarquer, elle doit rembourser le billet (250 €) et verser une pénalité de 600 €, soit {250+600=850} € par passager lésé, donc un total de 850Y € à déduire.
Donc, la réponse est C = 51\,500-850Y.

Partie2 ; 5.c Donner la loi de probabilité de C sous forme d'un tableau, puis calculer l'espérance de C à l'euro près.

D'après la relation C=51\,500-850Y et la loi de Y, on obtient les valeurs suivantes : c_0=51\,500, c_1=50\,650, {c_2=49\,800}, c_3=48\,950, c_4=48\,100, {c_5=47\,250}, c_6=46\,400 (chacune avec la même probabilité que la valeur y_i correspondante de Y).
Par linéarité de l'espérance, {E(C) = 51\,500-850\times E(Y)}, ou directement E(C)=\sum_i c_i\times P(Y{=}y_i).
\begin{aligned}E(C) &\approx 51\,500\times0{,}94775+50\,650\times0{,}03063+49\,800\times0{,}01441+48\,950\times0{,}00539+48\,100\times0{,}00151+47\,250\times0{,}00028+46\,400\times0{,}00003 \\ &\approx 51\,429{,}25\end{aligned}
Donc, la réponse est E(C)\approx51\,429 € (à l'euro près).

Partie2 ; 5.d Comparer le chiffre d'affaires obtenu en vendant exactement 200 billets et le chiffre d'affaires moyen obtenu en pratiquant le surbooking.

En vendant exactement 200 billets (sans risque de pénalité), la compagnie réalise un chiffre d'affaires de {200\times250=50\,000} €.
En pratiquant le surbooking à 206 billets, elle peut espérer un chiffre d'affaires moyen de 51\,429 € (question précédente), soit 1\,429 € de plus.
Donc, la réponse est que le surbooking est en moyenne plus avantageux pour la compagnie que la vente de 200 billets seulement.

1.aOn étudie le développement d'une bactérie, qui a une probabilité 0{,}3 de mourir sans descendance et 0{,}7 de se diviser en deux bactéries filles, ces probabilités étant les mêmes à chaque génération. On note p_n la probabilité d'obtenir au plus n descendances pour une bactérie, avec {p_0=0{,}3} et p_{n+1}=0{,}3+0{,}7p_n^2 pour tout entier naturel n. Déterminer les valeurs exactes de p_1 et p_2, et interpréter ces valeurs dans le contexte de l'énoncé.

\begin{aligned}p_1 &= 0{,}3+0{,}7\times p_0^2 \\ &= 0{,}3+0{,}7\times0{,}3^2 \\ &= 0{,}3+0{,}7\times0{,}09 \\ &= 0{,}3+0{,}063 \\ &= 0{,}363\end{aligned}
\begin{aligned}p_2 &= 0{,}3+0{,}7\times p_1^2 \\ &= 0{,}3+0{,}7\times0{,}363^2 \\ &= 0{,}3+0{,}7\times0{,}131769 \\ &= 0{,}3+0{,}0922383 \\ &= 0{,}3922383\end{aligned}
Donc, la réponse est p_1=0{,}363 et {p_2=0{,}3922383} : p_1 est la probabilité d'obtenir au plus une descendance (c'est-à-dire de mourir sans descendance, ou de se diviser puis que les deux bactéries filles meurent sans descendance), et p_2 celle d'obtenir au plus deux descendances.

1.bSachant que p_{10}\approx0{,}42802018 (valeur fournie par une feuille de calcul), quelle est la probabilité, arrondie à 10^{-3} près, d'obtenir au moins 11 générations de bactéries à partir d'une bactérie de ce type ?

L'évènement « obtenir au moins 11 descendances » est l'évènement contraire de « obtenir au plus 10 descendances », de probabilité p_{10}.
La probabilité cherchée vaut donc \begin{aligned}1-p_{10} &\approx 1-0{,}42802018 \\ &\approx 0{,}57198\end{aligned}
Donc, la réponse est environ 0{,}572 (à 10^{-3} près).

1.cEn observant que les valeurs successives de p_n (fournies par une feuille de calcul) augmentent progressivement de 0{,}3 vers une valeur proche de 0{,}4285, formuler des conjectures sur les variations et la convergence de la suite (p_n).

Au vu de ces valeurs, la suite (p_n) semble croissante, et semble converger vers une limite proche de 0{,}4285 (les derniers termes calculés se rapprochant de plus en plus les uns des autres autour de cette valeur).

2.aDémontrer par récurrence sur n que, pour tout entier naturel n, {0\leqslant p_n\leqslant p_{n+1}\leqslant0{,}5}.

Initialisation : on a {p_0=0{,}3} et p_1=0{,}363 (question 1.a), donc {0\leqslant0{,}3\leqslant0{,}363\leqslant0{,}5}, c'est-à-dire {0\leqslant p_0\leqslant p_1\leqslant0{,}5} : la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : soit n\in\mathbb{N}, supposons que {0\leqslant p_n\leqslant p_{n+1}\leqslant0{,}5}.
La fonction carré étant croissante sur [0~;~+\infty[, on en déduit {0\leqslant p_n^2\leqslant p_{n+1}^2\leqslant0{,}5^2}, puis en multipliant chaque membre par 0{,}7>0 : {0\leqslant0{,}7p_n^2\leqslant0{,}7p_{n+1}^2\leqslant0{,}7\times0{,}25}.
En ajoutant 0{,}3 à chaque membre : {0{,}3\leqslant0{,}3+0{,}7p_n^2\leqslant0{,}3+0{,}7p_{n+1}^2\leqslant0{,}3+0{,}175}, c'est-à-dire {0{,}3\leqslant p_{n+1}\leqslant p_{n+2}\leqslant0{,}475}.
Comme 0\leqslant0{,}3 et 0{,}475\leqslant0{,}5, on obtient {0\leqslant p_{n+1}\leqslant p_{n+2}\leqslant0{,}5} : la propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, {0\leqslant p_n\leqslant p_{n+1}\leqslant0{,}5}.

2.bJustifier que la suite (p_n) est convergente.

D'après la question précédente, la suite (p_n) est croissante (car p_n\leqslant p_{n+1} pour tout n) et majorée par 0{,}5. Donc, la réponse est que, d'après le théorème de convergence monotone, la suite (p_n) est convergente.

3.aOn note L la limite de la suite (p_n). Justifier que L est solution de l'équation {0{,}7x^2-x+0{,}3=0}.

Comme (p_n) converge vers L, la suite (p_{n+1}) converge aussi vers L (suite extraite en décalant les indices).
En passant à la limite dans la relation de récurrence p_{n+1}=0{,}3+0{,}7p_n^2 (la fonction carré étant continue), on obtient L=0{,}3+0{,}7L^2, soit {0{,}7L^2-L+0{,}3=0}.
Donc, la réponse est que L est bien solution de l'équation {0{,}7x^2-x+0{,}3=0}.

3.bDéterminer la limite de la suite (p_n).

Le discriminant de l'équation {0{,}7x^2-x+0{,}3=0} vaut \Delta = (-1)^2-4\times0{,}7\times0{,}3 = 1-0{,}84=0{,}16=0{,}4^2>0 : l'équation admet donc deux solutions distinctes.
\begin{aligned}x_1 &= \dfrac{1+0{,}4}{2\times0{,}7} \\ &= \dfrac{1{,}4}{1{,}4} \\ &= 1\end{aligned} et \begin{aligned}x_2 &= \dfrac{1-0{,}4}{2\times0{,}7} \\ &= \dfrac{0{,}6}{1{,}4} \\ &= \dfrac{6}{14} \\ &= \dfrac37\end{aligned}
D'après la question 2.a, la suite (p_n) est majorée par 0{,}5, donc sa limite L vérifie L\leqslant0{,}5 : la solution x_1=1 est donc à exclure.
Donc, la réponse est L=\dfrac37 (soit environ 0{,}4286, cohérent avec la conjecture de la question 1.c).

4.La fonction Python ci-dessous doit renvoyer, sous forme de liste, les n premiers termes de la suite (p_n) : def suite(n): puis, en corps de fonction, une ligne d'initialisation de p, une ligne s=[p], une boucle for i in range(...) contenant une ligne de mise à jour de p et une ligne s.append(p), puis return(s). Recopier cette fonction en complétant les lignes d'initialisation, de boucle et de mise à jour.