Bac Terminale Spé Maths : Centres étrangers 2022, Sujet 1

1.On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = \ln\left(1+x^2\right). Dans \mathbb{R}, l'équation f(x) = 2022 : a. n'a aucune solution ; b. a exactement une solution ; c. a exactement deux solutions ; d. a une infinité de solutions.

\begin{aligned}f(x) = 2022 &\iff \ln\left(1+x^2\right) = 2022 \\ &\iff 1+x^2 = e^{2022} \\ &\iff x^2 = e^{2022}-1 \end{aligned}
Le réel e^{2022}-1 est strictement positif, donc cette dernière équation a exactement deux solutions opposées : x=\sqrt{e^{2022}-1} et x=-\sqrt{e^{2022}-1}.
Donc, la réponse est c.

2.Soit g la fonction définie sur ]0~;~+\infty[ par g(x) = x\ln(x)-x^2, de courbe représentative \mathcal{C}_g. a. g est convexe sur ]0~;~+\infty[ ; b. g est concave sur ]0~;~+\infty[ ; c. \mathcal{C}_g a exactement un point d'inflexion sur ]0~;~+\infty[ ; d. \mathcal{C}_g a exactement deux points d'inflexion sur ]0~;~+\infty[.

g est dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme somme et produit de fonctions dérivables, avec g'(x) = \ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}-2x = \ln(x)-2x+1.
g' est à son tour dérivable sur ]0~;~+\infty[, avec g''(x) = \dfrac{1}{x}-2.
g''(x) = 0 \iff \dfrac{1}{x} = 2 \iff x = \dfrac12. De plus, g''(x) = \dfrac{1-2x}{x} change de signe en x=\dfrac12 (positif avant, négatif après, car x>0).
g'' s'annule en changeant de signe une seule fois sur ]0~;~+\infty[, donc \mathcal{C}_g admet exactement un point d'inflexion, d'abscisse \dfrac12.
Donc, la réponse est c.

3.On considère la fonction f définie sur {]-1~;~1[} par f(x) = \dfrac{x}{1-x^2}. Une primitive de f sur {]-1~;~1[} est la fonction : a. {g(x) = -\dfrac12\ln\left(1-x^2\right)} ; b. g(x) = \dfrac{1+x^2}{\left(1-x^2\right)^2} ; c. g(x) = \dfrac{x^2}{2\left(x-\dfrac{x^3}{3}\right)} ; d. g(x) = \dfrac{x^2}{2}\ln\left(1-x^2\right).

Testons la fonction g de la réponse a, définie par {g(x) = -\dfrac12\ln\left(1-x^2\right)} sur {]-1~;~1[}.
En posant u(x) = 1-x^2, dérivable et strictement positive sur {]-1~;~1[}, on a g(x) = -\dfrac12\ln\left(u(x)\right), donc g'(x) = -\dfrac12\times\dfrac{u'(x)}{u(x)} = -\dfrac12\times\dfrac{-2x}{1-x^2} = \dfrac{x}{1-x^2} = f(x).
La fonction g de la réponse a est donc bien une primitive de f sur {]-1~;~1[}.
Donc, la réponse est a.

4.La fonction x\longmapsto\ln\left(-x^2-x+6\right) est définie sur : a. ]-3~;~2[ ; b. ]-\infty~;~6] ; c. ]0~;~+\infty[ ; d. ]2~;~+\infty[.

Cette fonction est définie exactement là où -x^2-x+6>0, c'est-à-dire là où x^2+x-6<0.
Le trinôme x^2+x-6 a pour discriminant \begin{aligned}\Delta &= 1^2-4\times1\times(-6) \\ &= 25\end{aligned} donc deux racines réelles \begin{aligned}x_1 &= \dfrac{-1-5}{2} \\ &= -3\end{aligned} et \begin{aligned}x_2 &= \dfrac{-1+5}{2} \\ &= 2\end{aligned}
Un trinôme du second degré de coefficient dominant positif est strictement négatif strictement entre ses deux racines : {x^2+x-6<0 \iff x\in\,]-3~;~2[}.
La fonction est donc définie sur ]-3~;~2[, ce qui correspond à la réponse a.

5.On considère la fonction f définie sur ]0{,}5~;~+\infty[ par f(x) = x^2-4x+3\ln(2x-1). Une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1 est : a. y=4x-7 ; b. y=2x-4 ; c. y=-3(x-1)+4 ; d. {y=2x-1}.

Une équation de la tangente au point d'abscisse 1 est y = f(1)+f'(1)(x-1).
\begin{aligned}f(1) &= 1^2-4\times1+3\ln(2\times1-1) \\ &= 1-4+3\ln(1) \\ &= -3+0 \\ &= -3\end{aligned}
f est dérivable sur ]0{,}5~;~+\infty[, avec f'(x) = 2x-4+3\times\dfrac{2}{2x-1} = 2x-4+\dfrac{6}{2x-1}, donc f'(1) = 2-4+\dfrac{6}{1} = -2+6 = 4.
Une équation de la tangente est donc \begin{aligned}y = -3+4(x-1) &\iff y = 4x-4-3 \\ &\iff y = 4x-7 \end{aligned}
Donc, la réponse est a.

6.L'ensemble S des solutions dans \mathbb{R} de l'inéquation \ln(x+3) < 2\ln(x+1) est : a. S=\,]-\infty~;~-2[\,\cup\,]1~;~+\infty[ ; b. S=\,]1~;~+\infty[ ; c. S=\emptyset ; d. S=\,]-1~;~1[.

Pour que les deux logarithmes soient définis, il faut x+3>0 et x+1>0, c'est-à-dire x>-3 et {x>-1} : l'inéquation n'a donc de sens que sur ]-1~;~+\infty[.
Sur cet intervalle, {2\ln(x+1) = \ln\left((x+1)^2\right)}, et \ln étant strictement croissante sur ]0~;~+\infty[ : \ln(x+3) < \ln\left((x+1)^2\right) \iff x+3 < (x+1)^2.
x+3 < x^2+2x+1 \iff 0 < x^2+x-2.
Le trinôme x^2+x-2 a pour discriminant \begin{aligned}\Delta &= 1+8 \\ &= 9\end{aligned} donc deux racines \begin{aligned}x_1 &= \dfrac{-1-3}{2} \\ &= -2\end{aligned} et \begin{aligned}x_2 &= \dfrac{-1+3}{2} \\ &= 1\end{aligned} il est strictement positif à l'extérieur de ses racines, donc sur {]-\infty~;~-2[\,\cup\,]1~;~+\infty[}.
En tenant compte de la condition {x>-1} posée au début, l'ensemble des solutions est finalement S=\,]1~;~+\infty[, soit la réponse b.

1.aDans l'espace muni d'un repère orthonormé, on donne A(2 ; 0 ; 3), B(0 ; 2 ; 1), C(-1 ; -1 ; 2) et D(3 ; -3 ; -1). Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}, et en déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2 \\ 2 \\ -2\end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-3 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix}.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles : \dfrac{-2}{-3}\neq\dfrac{2}{-1}.
Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont donc pas colinéaires, donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

1.bCalculer les longueurs AB et AC.

\begin{aligned}AB^2 &= (-2)^2+2^2+(-2)^2 \\ &= 4+4+4 \\ &= 12\end{aligned} donc \begin{aligned}AB &= \sqrt{12} \\ &= 2\sqrt3\end{aligned}
\begin{aligned}AC^2 &= (-3)^2+(-1)^2+(-1)^2 \\ &= 9+1+1 \\ &= 11\end{aligned} donc AC = \sqrt{11}.

1.cÀ l'aide du produit scalaire \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}, déterminer le cosinus de l'angle \widehat{BAC}, puis une valeur approchée de sa mesure au dixième de degré.

\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &= (-2)\times(-3)+2\times(-1)+(-2)\times(-1) \\ &= 6-2+2 \\ &= 6\end{aligned}
Or, par définition du produit scalaire, \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB\times AC\times\cos\left(\widehat{BAC}\right).
Donc \begin{aligned}6 = 2\sqrt3\times\sqrt{11}\times\cos\left(\widehat{BAC}\right) &\iff \cos\left(\widehat{BAC}\right) = \dfrac{6}{2\sqrt{33}} \\ &\iff \cos\left(\widehat{BAC}\right) = \dfrac{3}{\sqrt{33}}\end{aligned}
La calculatrice donne alors \widehat{BAC}\approx 58,5^{\circ} au dixième de degré près.

2.aDéterminer une équation du plan \mathcal{P} passant par le point C et perpendiculaire à la droite (AB).

Un point M(x~;~y~;~z) appartient à \mathcal{P} si, et seulement si, \overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{AB} = 0, puisque \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2 \\ 2 \\ -2\end{pmatrix} est un vecteur normal à \mathcal{P}.
Avec \overrightarrow{CM}\begin{pmatrix}x+1 \\ y+1 \\ z-2\end{pmatrix}, cette condition s'écrit {-2(x+1)+2(y+1)-2(z-2) = 0}.
En divisant par -2 : \begin{aligned}(x+1)-(y+1)+(z-2) = 0 &\iff x-y+z-2 = 0 \end{aligned}
Une équation du plan \mathcal{P} est donc {x-y+z-2=0}.

2.bDonner une représentation paramétrique de la droite (AB).

La droite (AB) passe par A(2 ; 0 ; 3) et admet \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2 \\ 2 \\ -2\end{pmatrix}, ou plus simplement le vecteur colinéaire \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}, comme vecteur directeur.
Une représentation paramétrique de (AB) est donc : \begin{cases}x = 2-t\\y = t\\z = 3-t\end{cases}, t\in\mathbb{R}.

2.cEn déduire les coordonnées du projeté orthogonal E du point C sur la droite (AB), c'est-à-dire du point d'intersection de la droite (AB) et du plan \mathcal{P}.

Les coordonnées de E vérifient à la fois l'équation de \mathcal{P} et la représentation paramétrique de (AB). On remplace x, y, z par leurs expressions en fonction de t dans l'équation de \mathcal{P} :
\begin{aligned}(2-t)-t+(3-t)-2 = 0 &\iff 3-3t = 0 \\ &\iff t = 1 \end{aligned}
En remplaçant t=1 dans la représentation paramétrique : \begin{aligned}x &= 2-1 \\ &= 1\end{aligned} y=1, \begin{aligned}z &= 3-1 \\ &= 2\end{aligned}
Donc, E a pour coordonnées (1 ; 1 ; 2).

2.dCalculer l'aire du triangle ABC.

\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-1 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix}, donc \begin{aligned}BC^2 &= (-1)^2+(-3)^2+1^2 \\ &= 1+9+1 \\ &= 11\end{aligned} d'où BC = \sqrt{11}.
Comme \begin{aligned}AC &= BC \\ &= \sqrt{11}\end{aligned} le triangle ABC est isocèle en C. Puisque E est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), le segment [CE] est donc la hauteur issue de C dans ce triangle isocèle.
\overrightarrow{CE}\begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix}, donc \begin{aligned}CE^2 &= 2^2+2^2+0^2 \\ &= 8\end{aligned} d'où \begin{aligned}CE &= \sqrt8 \\ &= 2\sqrt2\end{aligned}
L'aire du triangle ABC vaut donc \begin{aligned}\mathcal{A}(\text{ABC}) &= \dfrac{AB\times CE}{2} \\ &= \dfrac{2\sqrt3\times2\sqrt2}{2} \\ &= 2\sqrt6\end{aligned}

3.aSoit le point F(1 ; -1 ; 3). Montrer que les points A, B, C et F sont coplanaires.

Les points A, B, C, F sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels \alpha et \beta tels que \overrightarrow{AF} = \alpha\,\overrightarrow{AB}+\beta\,\overrightarrow{AC}.
\overrightarrow{AF}\begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}. Le système à résoudre, en utilisant les deux premières coordonnées, est \begin{cases}-1 = -2\alpha-3\beta\\-1 = 2\alpha-\beta\end{cases}.
De la deuxième équation, \beta = 2\alpha+1. En reportant dans la première : \begin{aligned}-1 &= -2\alpha-3(2\alpha+1) \\ &= -2\alpha-6\alpha-3 \\ &= -8\alpha-3\end{aligned} d'où 8\alpha = -2, soit \alpha = -\dfrac14, puis \begin{aligned}\beta &= 2\times\left(-\dfrac14\right)+1 \\ &= \dfrac12\end{aligned}
On vérifie avec la troisième coordonnée : \begin{aligned}\alpha\times(-2)+\beta\times(-1) &= -\dfrac14\times(-2)+\dfrac12\times(-1) \\ &= \dfrac12-\dfrac12 \\ &= 0\end{aligned} ce qui correspond bien à la troisième coordonnée de \overrightarrow{AF}, qui vaut 0.
Donc \overrightarrow{AF} = -\dfrac14\,\overrightarrow{AB}+\dfrac12\,\overrightarrow{AC} : les points A, B, C et F sont coplanaires.

3.bVérifier que la droite (FD) est orthogonale au plan (ABC).

\overrightarrow{FD}\begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ -4\end{pmatrix} (puisque D(3 ; -3 ; -1) et F(1 ; -1 ; 3)).
\begin{aligned}\overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{AB} &= 2\times(-2)+(-2)\times2+(-4)\times(-2) \\ &= -4-4+8 \\ &= 0\end{aligned}
\begin{aligned}\overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{AC} &= 2\times(-3)+(-2)\times(-1)+(-4)\times(-1) \\ &= -6+2+4 \\ &= 0\end{aligned}
Le vecteur \overrightarrow{FD} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), donc il est orthogonal à ce plan : la droite (FD) est bien orthogonale au plan (ABC).

3.cSachant que le volume d'un tétraèdre est égal au tiers de l'aire de sa base multipliée par sa hauteur, calculer le volume du tétraèdre ABCD.

Prenons pour base le triangle ABC, d'aire \mathcal{A}(\text{ABC}) = 2\sqrt6 (question 2.d). Comme (FD) est orthogonale au plan (ABC) et que F appartient à ce plan (question 3.a), la longueur FD est la hauteur du tétraèdre relative à cette base.
\begin{aligned}FD^2 &= 2^2+(-2)^2+(-4)^2 \\ &= 4+4+16 \\ &= 24\end{aligned} donc \begin{aligned}FD &= \sqrt{24} \\ &= 2\sqrt6\end{aligned}
Le volume du tétraèdre ABCD est donc \begin{aligned}\mathcal{V} &= \dfrac13\times\mathcal{A}(\text{ABC})\times FD \\ &= \dfrac13\times2\sqrt6\times2\sqrt6 \\ &= \dfrac{4\times6}{3} \\ &= 8\end{aligned}
Donc, le volume du tétraèdre ABCD vaut 8 (en unités de volume).

PartieA ; 1. Soit h la fonction définie sur \mathbb{R} par h(x) = e^x-x. Déterminer les limites de h en -\infty et en +\infty.

En -\infty : \lim\limits_{x\to-\infty}e^x = 0 et \lim\limits_{x\to-\infty}(-x) = +\infty, donc par somme de limites, \lim\limits_{x\to-\infty}h(x) = +\infty.
En +\infty : pour x\neq0, on écrit {h(x) = x\left(\dfrac{e^x}{x}-1\right)}. Par croissances comparées, \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x} = +\infty, donc {\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{e^x}{x}-1\right) = +\infty}.
Par produit de limites (avec {\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty}), \lim\limits_{x\to+\infty}h(x) = +\infty.

PartieA ; 2. Étudier les variations de h et dresser son tableau de variation.

h est dérivable sur \mathbb{R} comme somme de fonctions dérivables, avec h'(x) = e^x-1.
h'(x) > 0 \iff e^x>1 \iff e^x>e^0 \iff x>0, et de même h'(x)<0 \iff x<0, puisque la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}.
h est donc strictement décroissante sur ]-\infty~;~0] puis strictement croissante sur [0~;~+\infty[, avec un minimum en {x=0} valant \begin{aligned}h(0) &= e^0-0 \\ &= 1\end{aligned}
Tableau de variation : h décroît de +\infty à h(0)=1 sur ]-\infty~;~0], puis croît de 1 à +\infty sur [0~;~+\infty[.

PartieA ; 3. En déduire que, si a et b sont deux réels tels que 0<a<b, alors {h(a)-h(b)<0}.

D'après la question précédente, h est strictement croissante sur [0~;~+\infty[.
Si 0<a<b, alors par stricte croissance de h sur cet intervalle, h(a)<h(b), ce qui équivaut à {h(a)-h(b)<0}.

PartieB ; 1. Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=e^x, de courbe représentative \mathcal{C}_f dans un repère du plan. Déterminer une équation de la tangente T à \mathcal{C}_f au point d'abscisse 0.

Une équation de la tangente au point d'abscisse 0 est y = f(0)+f'(0)(x-0).
Comme f'=f pour la fonction exponentielle, f(0)=f'(0)=e^0=1.
Donc, une équation de T est {y = 1+1\times x}, soit y=x+1.

PartieB ; 2. On s'intéresse à l'écart, au voisinage de 0, entre T et \mathcal{C}_f, aux points d'abscisse \dfrac{1}{n} (avec n entier naturel non nul). Cet écart est la différence des ordonnées des points de T et \mathcal{C}_f de même abscisse. On pose, pour tout entier naturel non nul n, u_n = \exp\left(\dfrac1n\right)-\dfrac1n-1. Déterminer la limite de la suite (u_n).

\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac1n = 0, donc par composition, \begin{aligned}\lim\limits_{n\to+\infty}\exp\left(\dfrac1n\right) &= e^0 \\ &= 1\end{aligned}
Donc, par somme de limites, \begin{aligned}\lim\limits_{n\to+\infty}u_n &= 1-0-1 \\ &= 0\end{aligned}

PartieB ; 3.a Démontrer que, pour tout entier naturel non nul n, {u_{n+1}-u_n = h\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-h\left(\dfrac1n\right)}, où h est la fonction de la partie A.

u_{n+1}-u_n = \left[\exp\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-\dfrac{1}{n+1}-1\right]-\left[\exp\left(\dfrac1n\right)-\dfrac1n-1\right].
En développant, les termes constants -1 et +1 s'éliminent : u_{n+1}-u_n = \exp\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-\dfrac{1}{n+1}-\exp\left(\dfrac1n\right)+\dfrac1n.
En regroupant : \begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \left[\exp\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-\dfrac{1}{n+1}\right]-\left[\exp\left(\dfrac1n\right)-\dfrac1n\right] \\ &= h\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-h\left(\dfrac1n\right)\end{aligned} puisque h(x)=e^x-x.

PartieB ; 3.b En déduire le sens de variation de la suite (u_n).

Pour tout entier naturel non nul n, on a {0<\dfrac{1}{n+1}<\dfrac1n}.
D'après la question 3 de la partie A (avec a=\dfrac{1}{n+1} et b=\dfrac1n), on a donc h\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-h\left(\dfrac1n\right)<0.
D'après la question précédente, cela signifie que u_{n+1}-u_n<0 pour tout entier naturel non nul n : la suite (u_n) est donc strictement décroissante.

PartieB ; 4. Un tableau de valeurs approchées à 10^{-9} près donne : {u_1\approx0{,}718281828} ; u_2\approx0{,}148721271 ; {u_3\approx0{,}062279092} ; u_4\approx0{,}034025417 ; {u_5\approx0{,}021402758} ; u_6\approx0{,}014693746 ; {u_7\approx0{,}010707852} ; u_8\approx0{,}008148453 ; {u_9\approx0{,}006407958} ; u_{10}\approx0{,}005170918. Donner la plus petite valeur de l'entier naturel n pour laquelle l'écart entre T et \mathcal{C}_f semble être inférieur à 10^{-2}.

La suite (u_n) étant strictement décroissante (question 3.b), on cherche dans le tableau le premier terme strictement inférieur à 10^{-2}=0{,}01.
On lit u_7\approx0{,}010707852>0{,}01, tandis que u_8\approx0{,}008148453<0{,}01.
Donc, la plus petite valeur de n pour laquelle l'écart entre T et \mathcal{C}_f semble inférieur à 10^{-2} est n=8.

PartieA ; 1. Lors de la fabrication d'une paire de lunettes, la paire de verres subit deux traitements T1 et T2. On prélève au hasard une paire de verres dans la production et on note A l'évènement « la paire de verres présente un défaut pour le traitement T1 » et B l'évènement « la paire de verres présente un défaut pour le traitement T2 ». On donne P(A)=0{,}1, P(B)=0{,}2, et la probabilité qu'une paire ne présente aucun des deux défauts est 0{,}75. Recopier et compléter le tableau à double entrée des probabilités (lignes B/\overline{B}, colonnes A/\overline{A}).

On sait que P\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right) = 0{,}75, donc, comme la ligne « Total » vaut 1, \begin{aligned}P\left(\overline{B}\right) &= 1-P(B) \\ &= 1-0{,}2 \\ &= 0{,}8\end{aligned} et \begin{aligned}P\left(\overline{A}\right) &= 1-P(A) \\ &= 1-0{,}1 \\ &= 0{,}9\end{aligned}
Dans la ligne \overline{B}, la case A\cap\overline{B} vaut donc \begin{aligned}P\left(\overline{B}\right)-P\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right) &= 0{,}8-0{,}75 \\ &= 0{,}05\end{aligned}
Dans la colonne A, le total vaut {P(A) = 0{,}1}, donc la case A\cap B vaut {0{,}1-0{,}05 = 0{,}05}.
Dans la ligne B, la case \overline{A}\cap B vaut \begin{aligned}P(B)-P(A\cap B) &= 0{,}2-0{,}05 \\ &= 0{,}15\end{aligned} on vérifie que la colonne \overline{A} totalise bien \begin{aligned}0{,}15+0{,}75 &= 0{,}9 \\ &= P\left(\overline{A}\right)\end{aligned}
Le tableau complété est donc : ligne B : 0{,}05 (A), 0{,}15 (\overline{A}), 0{,}2 (total) ; ligne \overline{B} : 0{,}05 (A), 0{,}75 (\overline{A}), 0{,}8 (total) ; ligne Total : 0{,}1, 0{,}9, 1.

PartieA ; 2.a Déterminer, en justifiant, la probabilité qu'une paire de verres prélevée au hasard présente un défaut pour au moins un des deux traitements T1 ou T2.

L'évènement « la paire présente un défaut pour au moins un des deux traitements » est l'évènement A\cup B, contraire de l'évènement « la paire ne présente aucun des deux défauts », c'est-à-dire \overline{A}\cap\overline{B}.
Donc \begin{aligned}P(A\cup B) &= 1-P\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right) \\ &= 1-0{,}75 \\ &= 0{,}25\end{aligned}

PartieA ; 2.b Donner la probabilité qu'une paire de verres prélevée au hasard présente deux défauts, un pour chaque traitement T1 et T2.

D'après le tableau de la question 1, la probabilité que la paire présente les deux défauts à la fois est directement lue dans la case A\cap B : {P(A\cap B) = 0{,}05}.

PartieA ; 2.c Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Justifier.

Si A et B étaient indépendants, on aurait P(A\cap B) = P(A)\times P(B).
Or \begin{aligned}P(A)\times P(B) &= 0{,}1\times0{,}2 \\ &= 0{,}02\end{aligned} alors que {P(A\cap B) = 0{,}05} (question précédente).
Comme 0{,}02\neq0{,}05, les évènements A et B ne sont donc pas indépendants.

PartieA ; 3. Calculer la probabilité qu'une paire de verres prélevée au hasard présente un défaut pour un seul des deux traitements.

Présenter un défaut pour un seul des deux traitements correspond à l'évènement \left(A\cap\overline{B}\right)\cup\left(\overline{A}\cap B\right), réunion de deux évènements incompatibles.
D'après le tableau de la question 1, P\left(A\cap\overline{B}\right) = 0{,}05 et P\left(\overline{A}\cap B\right) = 0{,}15.
Donc, la probabilité cherchée vaut 0{,}05+0{,}15 = 0{,}2.

PartieA ; 4. Calculer la probabilité qu'une paire de verres prélevée au hasard présente un défaut pour le traitement T2, sachant qu'elle présente un défaut pour le traitement T1.

Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle P_A(B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}.
\begin{aligned}P_A(B) &= \dfrac{0{,}05}{0{,}1} \\ &= 0{,}5\end{aligned}

PartieB ; 1. On prélève au hasard un échantillon de 50 paires de verres, assimilé à un tirage avec remise vu la taille de la production. X est la variable aléatoire comptant, dans un tel échantillon, le nombre de paires présentant un défaut pour le traitement T1. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

Le prélèvement est assimilé à la répétition de 50 tirages indépendants et identiques, chacun ayant deux issues : la paire présente le défaut T1 (probabilité P(A)=0{,}1) ou non.
X compte le nombre de succès (le défaut T1) parmi ces 50 répétitions indépendantes d'une même épreuve de Bernoulli : X suit donc une loi binomiale de paramètres n=50 et p=0{,}1, notée X\sim\mathcal{B}(50~;~0{,}1).

PartieB ; 2. Donner l'expression permettant de calculer la probabilité d'avoir, dans un tel échantillon, exactement 10 paires de verres présentant ce défaut. Effectuer ce calcul et arrondir le résultat à 10^{-3}.

P(X=10) = \dbinom{50}{10}\times0{,}1^{10}\times0{,}9^{40}.
La calculatrice donne P(X=10)\approx 0,015 au millième près.

PartieB ; 3. En moyenne, combien de paires de verres présentant ce défaut peut-on trouver dans un échantillon de 50 paires ?

Le nombre moyen de paires présentant le défaut correspond à l'espérance de X, qui vaut \begin{aligned}E(X) &= n\times p \\ &= 50\times0{,}1 \\ &= 5\end{aligned}
Donc, en moyenne, on trouve 5 paires de verres présentant ce défaut dans un échantillon de 50 paires.