Bac Terminale Spé Maths : Métropole 2022, Sujet 1

PartieA ; 1.a Un patient absorbe un comprimé de médicament. On modélise la quantité de médicament présente dans son sang, en mg, par la fonction f définie sur [0~;~10] par f(t) = 3t\,\text{e}^{-0,5t+1}, où t est le temps écoulé en heures depuis la prise du comprimé. On admet que f est dérivable sur [0~;~10]. Montrer que, pour tout t de [0~;~10], f'(t) = 3(-0,5t+1)\,\text{e}^{-0,5t+1}.

En écrivant f=uv avec u(t)=3t et v(t)=\text{e}^{-0,5t+1}, on a u'(t)=3 et v'(t)=-0,5\,\text{e}^{-0,5t+1}. Donc f'(t) = u'(t)v(t)+u(t)v'(t) = 3\,\text{e}^{-0,5t+1}+3t\times(-0,5)\,\text{e}^{-0,5t+1} = \left(3-1,5t\right)\text{e}^{-0,5t+1} = 3(-0,5t+1)\,\text{e}^{-0,5t+1}.

PartieA ; 1.b En déduire le tableau de variations de f sur [0~;~10].

Pour tout t de [0~;~10], \text{e}^{-0,5t+1}>0, donc f'(t) est du signe de -0,5t+1.
Or -0,5t+1\geqslant0 \iff t\leqslant2. Donc f'(t)\geqslant0 sur [0~;~2] et f'(t)\leqslant0 sur [2~;~10].
On calcule f(0)=0, f(2)=6\,\text{e}^{0}=6 et f(10)=30\,\text{e}^{-4}\approx0,55.
Donc f est strictement croissante sur [0~;~2], puis strictement décroissante sur [2~;~10], avec un maximum de 6 atteint en t=2.

PartieA ; 1.c Selon cette modélisation, au bout de combien de temps la quantité de médicament est-elle maximale ? Quelle est alors cette quantité maximale ?

D'après le tableau de variations, le maximum de f est atteint en t=2, et f(2)=6. Donc, la quantité de médicament est maximale au bout de 2 heures, et elle vaut alors 6 mg.

PartieA ; 2.a Montrer que l'équation {f(t)=5} admet une unique solution sur [0~;~2], notée \alpha, dont on donnera une valeur approchée à 10^{-2} près. On admet que l'équation {f(t)=5} admet une unique solution sur [2~;~10], notée \beta, avec \beta\approx3,46.

Sur [0~;~2], f est continue (car dérivable) et strictement croissante, à valeurs entre f(0)=0 et f(2)=6.
Comme 5\in[0~;~6], d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation {f(t)=5} admet une unique solution \alpha dans [0~;~2].
À la calculatrice, on trouve \alpha\approx1,02.

PartieA ; 2.b Le traitement est efficace lorsque la quantité de médicament est supérieure ou égale à 5 mg. Déterminer, à la minute près, la durée d'efficacité du médicament avec ce protocole.

D'après le tableau de variations de f (croissante puis décroissante, avec \begin{aligned}f(\alpha) &= f(\beta) \\ &= 5\end{aligned}), on a f(t)\geqslant5 pour t\in[\alpha~;~\beta]. La durée d'efficacité est donc {\beta-\alpha\approx3,46-1,02=2,44} heures, soit {2,44\times60\approx146,3} minutes. Donc, la durée d'efficacité du médicament est d'environ 146 minutes (à la minute près).

PartieB ; 1. On injecte au patient une dose initiale de 2 mg puis, chaque heure, une dose de 1,8 mg. Chaque heure écoulée après une injection, la quantité de médicament dans le sang diminue de 30 % par rapport à la quantité présente juste après l'injection. On modélise par la suite (u_n), où u_n est la quantité de médicament (en mg) juste après l'injection de la n-ième heure, avec u_0=2. Calculer u_1.

Au bout d'une heure, il reste 70 % de la quantité u_0, puis on réinjecte 1,8 mg. Donc u_1 = 0,7\times u_0+1,8 = 0,7\times2+1,8 = 3,2. Donc, u_1=3,2 mg.

PartieB ; 2. Justifier que, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = 0,7u_n+1,8.

Entre l'instant n et l'instant n+1, la quantité de médicament diminue de 30 %, donc il n'en reste que 70 % de u_n, c'est-à-dire 0,7u_n. On ajoute ensuite la nouvelle injection de 1,8 mg. Donc, pour tout entier naturel n, {u_{n+1}=0,7u_n+1,8}.

PartieB ; 3.a Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, {u_n\leqslant u_{n+1}<6}.

Initialisation : u_0=2 et u_1=3,2, donc {u_0\leqslant u_1<6}. La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : on suppose que pour un entier n donné, {u_n\leqslant u_{n+1}<6}. Comme la fonction x\mapsto0,7x+1,8 est croissante (coefficient 0,7 positif), on peut appliquer cette fonction aux trois membres de l'inégalité : 0,7u_n+1,8 \leqslant 0,7u_{n+1}+1,8 < 0,7\times6+1,8, c'est-à-dire {u_{n+1}\leqslant u_{n+2}<6} (car {0,7\times6+1,8=6}). La propriété est donc vraie au rang n+1.
Donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, {u_n\leqslant u_{n+1}<6}.

PartieB ; 3.b En déduire que la suite (u_n) est convergente. On note \ell sa limite.

D'après la question précédente, la suite (u_n) est croissante (car u_n\leqslant u_{n+1} pour tout n) et majorée par 6. Donc, d'après le théorème de convergence monotone, la suite (u_n) converge vers une limite finie \ell.

PartieB ; 3.c Déterminer la valeur de \ell. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

La suite (u_n) converge vers \ell, et {u_{n+1}=0,7u_n+1,8} pour tout n. Par unicité de la limite, \ell vérifie \ell=0,7\ell+1,8.
\ell=0,7\ell+1,8 \iff 0,3\ell=1,8 \iff \ell=6.
Donc, \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=6 : à long terme, la quantité de médicament présente dans le sang du patient juste après chaque injection se stabilise autour de 6 mg.

PartieB ; 4.a On considère la suite (v_n) définie, pour tout entier naturel n, par {v_n=6-u_n}. Montrer que (v_n) est géométrique de raison 0,7, et préciser son premier terme.

Pour tout entier naturel n : v_{n+1} = 6-u_{n+1} = 6-\left(0,7u_n+1,8\right) = 4,2-0,7u_n = 0,7\left(6-u_n\right) = 0,7v_n (car {0,7\times6=4,2}). Donc, (v_n) est géométrique de raison q=0,7, de premier terme \begin{aligned}v_0 &= 6-u_0 \\ &= 6-2 \\ &= 4\end{aligned}

PartieB ; 4.b Déterminer l'expression de v_n en fonction de n, puis de u_n en fonction de n.

Comme (v_n) est géométrique de premier terme v_0=4 et de raison 0,7, on a v_n=4\times0,7^n pour tout entier naturel n. Or {v_n=6-u_n}, donc {u_n=6-v_n=6-4\times0,7^n}.

PartieB ; 4.c Avec ce protocole, on arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente est supérieure ou égale à 5,5 mg. Déterminer, en détaillant les calculs, le nombre d'injections réalisées.

On résout u_n\geqslant5,5 : 6-4\times0,7^n\geqslant5,5 \iff -4\times0,7^n\geqslant-0,5 \iff 0,7^n\leqslant0,125=\dfrac18 (en divisant par -4, ce qui change le sens de l'inégalité).
La fonction logarithme népérien étant strictement croissante sur ]0~;~+\infty[ : 0,7^n\leqslant\dfrac18 \iff \ln\left(0,7^n\right)\leqslant\ln\left(\dfrac18\right) \iff n\times\ln(0,7)\leqslant-\ln(8).
Comme \ln(0,7)<0, on divise par \ln(0,7) en changeant le sens de l'inégalité : n\geqslant\dfrac{-\ln(8)}{\ln(0,7)}.
À la calculatrice, \dfrac{-\ln(8)}{\ln(0,7)}\approx5,83, donc la plus petite valeur entière de n qui convient est n=6.
Cela signifie que c'est à partir de l'injection u_6 que la quantité de médicament atteint 5,5 mg. Les injections réalisées sont donc celles correspondant à u_0, u_1, \ldots, u_6, soit 7 injections au total.

1.aDans l'espace muni d'un repère orthonormé \left(\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k}\right), on considère le point A(-1~;~1~;~3) et la droite \mathcal{D} de représentation paramétrique \begin{cases}x=1+2t\\y=2-t\\z=2+2t\end{cases}, t\in\mathbb{R}. On admet que A n'appartient pas à \mathcal{D}. Donner les coordonnées d'un vecteur directeur \vec{u} de \mathcal{D}.

En lisant les coefficients de t dans la représentation paramétrique, un vecteur directeur de \mathcal{D} est \vec{u}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}.

1.bMontrer que le point B(-1~;~3~;~0) appartient à la droite \mathcal{D}.

B appartient à \mathcal{D} si, et seulement si, il existe un réel t tel que \begin{cases}-1=1+2t\\3=2-t\\0=2+2t\end{cases}, c'est-à-dire \begin{cases}2t=-2\\-t=1\\2t=-2\end{cases}, ce qui donne {t=-1} dans chacune des trois équations. Cette valeur commune {t=-1} existe bien, donc B appartient à la droite \mathcal{D}.

1.cCalculer le produit scalaire \overrightarrow{\text{AB}}\cdot\vec{u}.

Avec A(-1~;~1~;~3) et B(-1~;~3~;~0), on a \overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ -3\end{pmatrix}. Donc \begin{aligned}\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\vec{u} &= 0\times2+2\times(-1)+(-3)\times2 \\ &= 0-2-6 \\ &= -8\end{aligned}

2.aOn note \mathcal{P} le plan passant par A et orthogonal à \mathcal{D}, et H le point d'intersection de \mathcal{P} et de \mathcal{D} (H est donc le projeté orthogonal de A sur \mathcal{D}). Montrer que \mathcal{P} admet pour équation cartésienne {2x-y+2z-3=0}.

Le plan \mathcal{P} est orthogonal à \mathcal{D}, donc le vecteur directeur \vec{u}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix} de \mathcal{D} est un vecteur normal à \mathcal{P}. Une équation cartésienne de \mathcal{P} est donc de la forme 2x-y+2z+d=0. Comme A(-1~;~1~;~3) appartient à \mathcal{P} : \begin{aligned}2\times(-1)-1+2\times3+d = 0 &\iff -2-1+6+d = 0 \\ &\iff d = -3 \end{aligned} Donc, \mathcal{P} a pour équation cartésienne {2x-y+2z-3=0}.

2.bEn déduire que H a pour coordonnées \left(\dfrac79~;~\dfrac{19}{9}~;~\dfrac{16}{9}\right).

H est l'unique point d'intersection de \mathcal{P} et de \mathcal{D}. On substitue les coordonnées paramétriques de \mathcal{D} dans l'équation de \mathcal{P} : {2(1+2t)-(2-t)+2(2+2t)-3=0}.
En développant : \begin{aligned}2+4t-2+t+4+4t-3 = 0 &\iff 9t+1 = 0 \\ &\iff t = -\dfrac19 \end{aligned}
En remplaçant dans la représentation paramétrique : \begin{aligned}x &= 1+2\times\left(-\dfrac19\right) \\ &= \dfrac79\end{aligned} \begin{aligned}y &= 2-\left(-\dfrac19\right) \\ &= \dfrac{19}{9}\end{aligned} \begin{aligned}z &= 2+2\times\left(-\dfrac19\right) \\ &= \dfrac{16}{9}\end{aligned}
Donc, H a pour coordonnées \left(\dfrac79~;~\dfrac{19}{9}~;~\dfrac{16}{9}\right).

2.cCalculer la longueur AH (valeur exacte).

Avec A(-1~;~1~;~3) et H\left(\dfrac79~;~\dfrac{19}{9}~;~\dfrac{16}{9}\right), on a \overrightarrow{\text{AH}}\begin{pmatrix}\frac{16}{9} \\ \frac{10}{9} \\ -\frac{11}{9}\end{pmatrix}. Donc \begin{aligned}AH &= \sqrt{\left(\dfrac{16}{9}\right)^2+\left(\dfrac{10}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{11}{9}\right)^2} \\ &= \sqrt{\dfrac{256+100+121}{81}} \\ &= \sqrt{\dfrac{477}{81}} \\ &= \dfrac{\sqrt{477}}{9}\end{aligned} Comme 477=9\times53, \sqrt{477}=3\sqrt{53}, donc AH=\dfrac{3\sqrt{53}}{9}= \dfrac{\sqrt{53}}{3}.

3.aOn souhaite retrouver les coordonnées de H, projeté orthogonal de A sur \mathcal{D}, par une autre méthode. On rappelle que B appartient à \mathcal{D} et que \vec{u} est un vecteur directeur de \mathcal{D}. Justifier qu'il existe un réel k tel que \overrightarrow{\text{HB}}=k\vec{u}.

Les points H et B appartiennent tous deux à la droite \mathcal{D}, donc le vecteur \overrightarrow{\text{HB}} est un vecteur directeur de \mathcal{D}, tout comme \vec{u}. Deux vecteurs directeurs d'une même droite étant colinéaires, il existe donc un réel k tel que \overrightarrow{\text{HB}}=k\vec{u}.

3.bMontrer que k=\dfrac{\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\vec{u}}{\left\|\vec{u}\right\|^2}.

D'après la relation de Chasles, {\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{AH}}+\overrightarrow{\text{HB}}}, donc \overrightarrow{\text{AB}}\cdot\vec{u} = \overrightarrow{\text{AH}}\cdot\vec{u}+\overrightarrow{\text{HB}}\cdot\vec{u}.
Or A et H appartiennent au plan \mathcal{P}, orthogonal à \mathcal{D} (donc à \vec{u}) : le vecteur \overrightarrow{\text{AH}}, contenu dans \mathcal{P}, est donc orthogonal à \vec{u}, d'où \overrightarrow{\text{AH}}\cdot\vec{u}=0.
Donc \begin{aligned}\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\vec{u} &= \overrightarrow{\text{HB}}\cdot\vec{u} \\ &= \left(k\vec{u}\right)\cdot\vec{u} \\ &= k\left\|\vec{u}\right\|^2\end{aligned} d'où, puisque \vec{u}\neq\vec{0}, k=\dfrac{\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\vec{u}}{\left\|\vec{u}\right\|^2}.

3.cCalculer la valeur de k et retrouver les coordonnées de H.

On a \begin{aligned}\left\|\vec{u}\right\|^2 &= 2^2+(-1)^2+2^2 \\ &= 4+1+4 \\ &= 9\end{aligned} et \overrightarrow{\text{AB}}\cdot\vec{u}=-8 (question 1.c). Donc {k=\dfrac{-8}{9}}.
En notant H(x~;~y~;~z), on a \overrightarrow{\text{HB}}\begin{pmatrix}-1-x \\ 3-y \\ -z\end{pmatrix}, et \overrightarrow{\text{HB}}=k\vec{u}=-\dfrac89\vec{u}\begin{pmatrix}-\frac{16}{9} \\ \frac{8}{9} \\ -\frac{16}{9}\end{pmatrix}.
En identifiant coordonnée par coordonnée : \begin{aligned}-1-x = -\dfrac{16}{9} &\iff x = \dfrac{16}{9}-1 \\ &\iff x = \dfrac79\end{aligned} \begin{aligned}3-y = \dfrac89 &\iff y = 3-\dfrac89 \\ &\iff y = \dfrac{19}{9}\end{aligned} \begin{aligned}-z = -\dfrac{16}{9} &\iff z = \dfrac{16}{9} \end{aligned}
On retrouve bien H\left(\dfrac79~;~\dfrac{19}{9}~;~\dfrac{16}{9}\right), comme à la question 2.b.

4.On considère un point C du plan \mathcal{P} tel que le volume du tétraèdre ABCH soit égal à \dfrac89. Calculer l'aire du triangle ACH. (Rappel : V=\dfrac13\times\mathcal{B}\times h, où \mathcal{B} est l'aire d'une base et h la hauteur associée.)

Les points A, C et H appartiennent tous au plan \mathcal{P} : le triangle ACH est donc une base possible du tétraèdre ABCH, et la hauteur associée est la distance de B à ce plan, c'est-à-dire BH (puisque H est le projeté orthogonal de B sur \mathcal{D}, donc aussi sur toute perpendiculaire à \mathcal{P}... plus directement : BH est la longueur du segment [\text{BH}], avec \overrightarrow{\text{HB}}=k\vec{u} orthogonal à \mathcal{P}).
D'après la question 3.c, \overrightarrow{\text{HB}}\begin{pmatrix}-\frac{16}{9} \\ \frac{8}{9} \\ -\frac{16}{9}\end{pmatrix}, donc \begin{aligned}BH &= \sqrt{\left(\dfrac{16}{9}\right)^2+\left(\dfrac89\right)^2+\left(\dfrac{16}{9}\right)^2} \\ &= \sqrt{\dfrac{256+64+256}{81}} \\ &= \sqrt{\dfrac{576}{81}} \\ &= \dfrac{24}{9} \\ &= \dfrac83\end{aligned}
On applique la formule du volume avec \mathcal{B}=\text{Aire}(\text{ACH}) et h=BH : {\dfrac89 = \dfrac13\times\text{Aire}(\text{ACH})\times\dfrac83}, d'où \text{Aire}(\text{ACH}) = \dfrac{3\times\frac89}{\frac83} = \dfrac{\frac{24}{9}}{\frac83} = \dfrac{24}{9}\times\dfrac38 = 1.
Donc, l'aire du triangle ACH vaut 1 unité d'aire.

1.Le directeur d'une grande entreprise a proposé à tous ses salariés un stage de formation à un nouveau logiciel, suivi par 25 % des salariés. Parmi les 52 % de femmes de l'entreprise, 40 % ont suivi le stage. On interroge au hasard un salarié et on note F l'évènement « le salarié interrogé est une femme » et S l'évènement « le salarié interrogé a suivi le stage ». a. Donner la probabilité de l'évènement S.

L'énoncé indique directement que le stage a été suivi par 25 % des salariés interrogés au hasard, donc P(S)=0,25.

1.bRecopier et compléter les branches de l'arbre pondéré associé aux évènements F et S.

L'arbre part de la racine avec les branches F (probabilité 0,52) et \overline{F} (probabilité 1-0,52=0,48) ; sous F, les branches S (probabilité 0,40, donnée par l'énoncé) et \overline{S} (probabilité {1-0,40=0,60}) ; sous \overline{F}, les branches S et \overline{S} (probabilités encore inconnues à ce stade).

1.cDémontrer que la probabilité que la personne interrogée soit une femme ayant suivi le stage vaut 0,208.

On cherche P(F\cap S). D'après la formule des probabilités composées : P(F\cap S) = P(F)\times P_F(S) = 0,52\times0,40 = 0,208.

1.dSachant que la personne interrogée a suivi le stage, quelle est la probabilité que ce soit une femme ?

On cherche {P_S(F)=\dfrac{P(S\cap F)}{P(S)} = \dfrac{0,208}{0,25} = 0,832}. Donc, la probabilité que ce soit une femme sachant qu'elle a suivi le stage vaut 0,832.

1.eLe directeur affirme que, parmi les hommes salariés, moins de 10 % ont suivi le stage. Justifier cette affirmation.

D'après la formule des probabilités totales appliquée à S : {P(S) = P(S\cap F)+P\left(S\cap\overline{F}\right)}, donc P\left(S\cap\overline{F}\right) = P(S)-P(S\cap F) = 0,25-0,208 = 0,042.
On cherche P_{\overline{F}}(S) = \dfrac{P\left(S\cap\overline{F}\right)}{P\left(\overline{F}\right)} = \dfrac{0,042}{0,48} = 0,0875.
Comme 0,0875<0,1, l'affirmation du directeur est vérifiée : moins de 10 % des hommes salariés ont suivi le stage.

2.aOn note X la variable aléatoire qui, à un échantillon de 20 salariés choisis au hasard, associe le nombre d'entre eux ayant suivi le stage (l'effectif de l'entreprise est assez grand pour assimiler ce choix à un tirage avec remise). Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par X.

Choisir 20 salariés indépendamment, chacun ayant suivi ou non le stage avec la même probabilité p=P(S)=0,25 (tirage assimilé à un tirage avec remise), constitue la répétition de 20 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. X compte le nombre de succès (« a suivi le stage ») : X suit donc la loi binomiale de paramètres n=20 et p=0,25, notée X\sim\mathcal{B}(20~;~0,25).

2.bDéterminer, à 10^{-3} près, la probabilité que 5 salariés dans un échantillon de 20 aient suivi le stage.

P(X=5) = \dbinom{20}{5}\times0,25^5\times0,75^{15} \approx 0,202 (à la calculatrice). Donc, la probabilité que 5 salariés exactement aient suivi le stage vaut environ 0,202.

2.cOn donne un programme Python qui utilise la fonction binomiale(i, n, p) renvoyant P(X=i) pour X\sim\mathcal{B}(n~;~p) : def proba(k): puis P = 0, for i in range(0, k+1): P = P + binomiale(i, 20, 0.25), return P. Déterminer, à 10^{-3} près, la valeur renvoyée par proba(5), et interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

La boucle for i in range(0, k+1) cumule les probabilités P(X=i) pour i allant de 0 à k inclus. Donc proba(5) calcule P(X\leqslant5) = \displaystyle\sum_{i=0}^{5}P(X=i). À la calculatrice, P(X\leqslant5)\approx0,617. Dans le contexte de l'exercice, cela signifie qu'il y a environ 61,7 % de chances qu'au plus 5 salariés, sur un échantillon de 20, aient suivi le stage.

2.dDéterminer, à 10^{-3} près, la probabilité qu'au moins 6 salariés dans un échantillon de 20 aient suivi le stage.

L'évènement « au moins 6 salariés ont suivi le stage » est l'évènement contraire de « au plus 5 salariés ont suivi le stage ». Donc P(X\geqslant6) = 1-P(X\leqslant5) \approx 1-0,617 = 0,383. Donc, la probabilité qu'au moins 6 salariés sur 20 aient suivi le stage vaut environ 0,383.

3.Cette question est indépendante des précédentes. Pour inciter les salariés à se former, l'entreprise a décidé d'augmenter de 5 % le salaire des salariés ayant suivi le stage, et de 2 % celui des salariés ne l'ayant pas suivi. Quel est le pourcentage moyen d'augmentation des salaires de l'entreprise dans ces conditions ?

Le pourcentage moyen d'augmentation dépend en réalité de la répartition des salaires entre les deux catégories de salariés (ceux ayant suivi le stage et les autres), et pas seulement des proportions de salariés (25 % et 75 %). Illustrons avec deux répartitions différentes de la masse salariale, à effectifs identiques (25 salariés ayant suivi le stage, 75 ne l'ayant pas suivi, sur un échantillon de 100).
Premier cas : les 25 salariés formés touchent 1000 € et les 75 autres touchent 1200 €. La masse salariale totale avant augmentation est {25\times1000+75\times1200=115\,000} €, soit un salaire moyen de 1150 €. Après augmentation, la masse salariale devient 25\times1000\times1,05+75\times1200\times1,02=118\,050 €, soit un salaire moyen de 1180,50 €. Le coefficient multiplicateur moyen est {\dfrac{1180,50}{1150}\approx1,0265}, soit une augmentation moyenne d'environ 2,65 %.
Deuxième cas : les 25 salariés formés touchent 1200 € et les 75 autres touchent 1000 €. La masse salariale totale avant augmentation est {25\times1200+75\times1000=105\,000} €, soit un salaire moyen de 1050 €. Après augmentation, la masse salariale devient 25\times1200\times1,05+75\times1000\times1,02=108\,000 €, soit un salaire moyen de 1080 €. Le coefficient multiplicateur moyen est \dfrac{1080}{1050}\approx1,0286, soit une augmentation moyenne d'environ 2,86 %.
Les deux répartitions donnent des pourcentages moyens différents (2,65 % contre 2,86 %) alors que les proportions de salariés formés (25 %) et non formés (75 %) sont identiques. Donc, le pourcentage moyen d'augmentation ne peut pas être déterminé avec les seules données de l'énoncé : il dépend de la répartition des salaires entre les deux groupes.

Pourchaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte ; aucune justification n'est demandée sur la copie, mais nous la donnons ici. 1. La courbe représentative de f définie sur \mathbb{R} par f(x) = \dfrac{-2x^2+3x-1}{x^2+1} admet pour asymptote la droite d'équation : a. x=-2 ; b. y=-1 ; c. y=-2 ; d. y=0.

Pour x\neq0, en factorisant par x^2 au numérateur et au dénominateur : \begin{aligned}f(x) &= \dfrac{x^2\left(-2+\frac3x-\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)} \\ &= \dfrac{-2+\frac3x-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}\end{aligned} Quand x\to+\infty, \frac3x\to0, \frac{1}{x^2}\to0, donc f(x)\to\dfrac{-2}{1}=-2. La droite d'équation y=-2 est donc asymptote horizontale à la courbe de f en +\infty. Réponse c.

2.Soit f définie sur \mathbb{R} par f(x) = x\,\text{e}^{x^2}. La primitive F de f sur \mathbb{R} qui vérifie F(0)=1 est définie par : a. F(x)=\dfrac{x^2}{2}\text{e}^{x^2} ; b. {F(x)=\dfrac12\text{e}^{x^2}} ; c. F(x)=\left(1+2x^2\right)\text{e}^{x^2} ; d. {F(x)=\dfrac12\text{e}^{x^2}+\dfrac12}.

On remarque que {f(x)=x\,\text{e}^{x^2} = \dfrac12\times2x\times\text{e}^{x^2}}, qui est de la forme \dfrac12 u'(x)\text{e}^{u(x)} avec u(x)=x^2 et u'(x)=2x. Les primitives de u'\text{e}^{u} sont les fonctions \text{e}^{u}+k (k\in\mathbb{R}), donc les primitives de f sont les fonctions x\mapsto\dfrac12\text{e}^{x^2}+k. La condition F(0)=1 donne \dfrac12\times\text{e}^0+k=1 \iff \dfrac12+k=1 \iff k=\dfrac12. Donc {F(x)=\dfrac12\text{e}^{x^2}+\dfrac12}. Réponse d.

3.On donne la représentation graphique de la fonction dérivée f' d'une fonction f définie sur \mathbb{R} : la courbe de f' part de valeurs négatives en 0, croise l'axe des abscisses en x=2, atteint un maximum aux alentours de x=3, puis redescend en restant positive. On peut affirmer que la fonction f est : a. concave sur ]0~;~+\infty[ ; b. convexe sur ]0~;~+\infty[ ; c. convexe sur [0~;~2] ; d. convexe sur [2~;~+\infty[.

f est convexe sur un intervalle exactement lorsque sa dérivée f' y est croissante. D'après la représentation graphique, la courbe de f' est croissante de x=0 jusqu'à son maximum (situé vers x=3), donc en particulier sur tout l'intervalle [0~;~2], inclus dans [0~;~3]. Donc f est convexe sur [0~;~2]. Réponse c.

4.Parmi les primitives de f définie sur \mathbb{R} par f(x)=3\text{e}^{-x^2}+2 : a. toutes sont croissantes sur \mathbb{R} ; b. toutes sont décroissantes sur \mathbb{R} ; c. certaines sont croissantes sur \mathbb{R} et d'autres décroissantes sur \mathbb{R} ; d. toutes sont croissantes sur {]-\infty~;~0]} et décroissantes sur [0~;~+\infty[.

Pour tout réel x, \text{e}^{-x^2}>0, donc {f(x)=3\text{e}^{-x^2}+2>2>0} : la fonction f est strictement positive sur \mathbb{R}. Or, si F est une primitive de f, alors F'=f. Comme f est strictement positive sur \mathbb{R} tout entier, toute primitive F de f est strictement croissante sur \mathbb{R}. Réponse a.

5.La limite en +\infty de f définie sur ]0~;~+\infty[ par f(x) = \dfrac{2\ln x}{3x^2+1} est égale à : a. \dfrac23 ; b. +\infty ; c. -\infty ; d. 0.

On écrit \begin{aligned}f(x) &= \dfrac{2\ln x}{3x^2+1} \\ &= \dfrac{2}{3}\times\dfrac{\frac{\ln x}{x^2}}{1+\frac{1}{3x^2}}\end{aligned} (en factorisant x^2 au dénominateur). Par croissances comparées, \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}=0, et \lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{3x^2}\right)=1. Donc \begin{aligned}\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) &= \dfrac23\times\dfrac{0}{1} \\ &= 0\end{aligned} Réponse d.

6.L'équation \text{e}^{2x}+\text{e}^x-12=0 admet dans \mathbb{R} : a. trois solutions ; b. deux solutions ; c. une seule solution ; d. aucune solution.

On pose X=\text{e}^x (avec X>0 nécessairement). Comme {\text{e}^{2x}=\left(\text{e}^x\right)^2=X^2}, l'équation devient X^2+X-12=0. Le discriminant vaut \begin{aligned}\Delta &= 1^2-4\times1\times(-12) \\ &= 1+48 \\ &= 49 \\ &= 7^2\end{aligned} donc les solutions sont \begin{aligned}X &= \dfrac{-1-7}{2} \\ &= -4\end{aligned} et \begin{aligned}X &= \dfrac{-1+7}{2} \\ &= 3\end{aligned} Comme X=\text{e}^x>0, seule la solution X=3 est acceptable, ce qui donne \text{e}^x=3 \iff x=\ln(3). L'équation admet donc une unique solution dans \mathbb{R}. Réponse c.