Bac Terminale Spé Maths : Polynésie française 2022, Sujet 1

1.On considère la fonction g définie et dérivable sur ]0~;~+\infty[ par {g(x) = \ln\left(x^2+x+1\right)}. Parmi les quatre propositions, laquelle donne l'expression de g'(x) pour tout x strictement positif : a. g'(x)=\dfrac{1}{2x+1} ; b. g'(x)=\dfrac{1}{x^2+x+1} ; c. g'(x)=\ln(2x+1) ; d. g'(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1} ?

La fonction g est de la forme \ln(u(x)) avec u(x)=x^2+x+1, strictement positive sur ]0~;~+\infty[ comme somme de termes positifs.
La fonction g est donc dérivable comme composée de fonctions dérivables, de dérivée g'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)} avec u'(x)=2x+1, soit g'(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}.
Donc, la réponse est d.

2.Parmi les quatre fonctions proposées, laquelle est une primitive sur ]0~;~+\infty[ de la fonction x\longmapsto\ln(x) : a. x\longmapsto\ln(x) ; b. x\longmapsto\dfrac{1}{x} ; c. x\longmapsto x\ln(x)-x ; d. {x\longmapsto\dfrac{\ln(x)}{x}} ?

On dérive chaque candidate pour repérer celle dont la dérivée vaut \ln(x). Pour h(x)=x\ln(x)-x, dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme somme et produit de fonctions dérivables : h'(x) = 1\times\ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}-1 = \ln(x)+1-1=\ln(x).
La fonction h est donc bien une primitive de x\longmapsto\ln(x) sur ]0~;~+\infty[.
Donc, la réponse est c.

3.On considère la suite \left(a_n\right) définie pour tout n dans \mathbb{N} par a_n = \dfrac{1-3^n}{1+2^n}. Quelle est la limite de la suite \left(a_n\right) : a. -\infty ; b. -1 ; c. 1 ; d. +\infty ?

On met 3^n en facteur au numérateur et 2^n en facteur au dénominateur : \begin{aligned}a_n &= \dfrac{3^n\left(\dfrac{1}{3^n}-1\right)}{2^n\left(\dfrac{1}{2^n}+1\right)} \\ &= \left(\dfrac{3}{2}\right)^n\times\dfrac{\dfrac{1}{3^n}-1}{\dfrac{1}{2^n}+1}\end{aligned}
Comme \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{3^n}=0 et \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{2^n}=0, le quotient \dfrac{\dfrac{1}{3^n}-1}{\dfrac{1}{2^n}+1} tend vers \dfrac{-1}{1}=-1.
D'autre part, \dfrac{3}{2}>1 donc {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{3}{2}\right)^n=+\infty}. Par produit d'une limite infinie par une limite négative, \displaystyle\lim_{n\to+\infty}a_n=-\infty.
Donc, la réponse est a.

4.On considère une fonction f définie et dérivable sur [-2~;~2], dont la dérivée f' admet le tableau de variations suivant sur [-2~;~2] : f' vaut 1 en -2, décroît jusqu'à -2 en 0, puis croît jusqu'à -1 en 2. Que peut-on en déduire sur f : a. f est convexe sur [-2~;~-1] ; b. f est concave sur [0~;~1] ; c. f est convexe sur [-1~;~2] ; d. f est concave sur [-2~;~0] ?

La convexité de f se lit sur le sens de variation de sa dérivée f' : f est convexe là où f' est croissante, et concave là où f' est décroissante.
D'après le tableau, f' est strictement décroissante sur [-2~;~0] (elle passe de 1 à -2), donc f y est concave.
Donc, la réponse est d.

5.On donne la représentation graphique de la dérivée f' d'une fonction f définie sur [-2~;~4] : la courbe part de (-2~;~-3), monte en s'annulant en x=-1, atteint un maximum local proche de 1 en x=0, redescend en s'annulant en x=1 puis en x=2, redevient positive et remonte jusqu'à (4~;~3). Quelle affirmation sur f est correcte : a. f est décroissante sur [0~;~2] ; b. f est décroissante sur [-1~;~0] ; c. f admet un maximum en 1 sur [0~;~2] ; d. f admet un maximum en 3 sur [2~;~4] ?

Le signe de f' donne le sens de variation de f : f croît là où f' est positive, et décroît là où f' est négative.
D'après la lecture graphique, f'(x) est positive juste avant x=1 puis devient négative juste après : f' change de signe en s'annulant en x=1, en passant du positif au négatif.
La fonction f est donc croissante avant x=1 puis décroissante après, sur l'intervalle [0~;~2] : elle y admet donc un maximum atteint en x=1.
Donc, la réponse est c.

6.Une action est cotée à 57 euros, et sa valeur augmente de 3 % chaque mois. On cherche un script Python seuil() renvoyant le nombre de mois à attendre pour que la valeur dépasse 200 euros, parmi quatre propositions utilisant une boucle while ou for. Laquelle est correcte ?

6.(suite) Justifier le choix de ce script parmi les quatre propositions.

Le script doit répéter l'augmentation mensuelle tant que la valeur de l'action n'a pas encore dépassé 200 euros : la condition de la boucle while doit donc être v < 200, et non v > 200 (qui arrêterait la boucle immédiatement, puisque 57<200).
Chaque passage dans la boucle doit correspondre à un mois écoulé, donc le compteur m doit être incrémenté de 1 à chaque itération, avant ou après la mise à jour de la valeur v = v * 1.03.
Une boucle for sur un nombre d'itérations fixé à l'avance, ou une simple instruction conditionnelle if, ne conviennent pas ici puisque le nombre de mois recherché n'est pas connu à l'avance.
En simulant ce script, on trouve m=43 mois avant que la valeur ne dépasse 200 euros. Donc, la réponse est le script utilisant while v < 200 avec incrémentation de m à chaque tour de boucle.

Dansun pays, 7 % de la population est atteinte d'une certaine maladie. Un test de dépistage a été mis au point : chez les personnes malades, le test est négatif dans 20 % des cas ; chez les personnes saines, le test est positif dans 1 % des cas. On choisit une personne au hasard dans la population et on la teste. On note M l'évènement « la personne est malade » et T l'évènement « le test est positif ». 1. Calculer la probabilité de l'évènement M\cap T (un arbre pondéré peut aider).

On construit un arbre pondéré à deux niveaux. Le premier niveau distingue M (probabilité P(M)=0{,}07) et \overline{M}, probabilité \begin{aligned}P(\overline{M}) &= 1-0{,}07 \\ &= 0{,}93\end{aligned}
Chez les malades, le test est négatif dans 20 % des cas, donc positif dans les 80 % restants : P_M(T)=0{,}8 et {P_M(\overline{T})=0{,}2}.
Chez les personnes saines, le test est positif dans 1 % des cas : P_{\overline{M}}(T)=0{,}01 et P_{\overline{M}}(\overline{T})=0{,}99.
D'après la définition des probabilités conditionnelles sur une branche de l'arbre : P(M\cap T) = P(M)\times P_M(T) = 0{,}07\times0{,}8 = 0,056.

2.Démontrer que la probabilité que le test de la personne choisie soit positif vaut 0{,}0653.

Les évènements M et \overline{M} forment une partition de l'univers (chaque personne est soit malade, soit saine). D'après la formule des probabilités totales : P(T) = P(M\cap T) + P(\overline{M}\cap T).
On calcule la seconde branche : \begin{aligned}P(\overline{M}\cap T) &= P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T) \\ &= 0{,}93\times0{,}01 \\ &= 0{,}0093\end{aligned}
D'où P(T) = 0{,}056 + 0{,}0093 = 0,0653, ce qui est le résultat annoncé.

3.Dans un contexte de dépistage de la maladie, est-il plus pertinent de connaître P_M(T) ou P_T(M) ?

P_M(T) est la probabilité que le test soit positif sachant que la personne est malade : c'est une caractéristique technique du test, fixée à l'avance et connue avant tout dépistage.
P_T(M) est la probabilité que la personne soit réellement malade sachant que son test est positif : c'est l'information qui intéresse un patient ou un médecin une fois le résultat du test obtenu.
Donc, la réponse est que, dans un contexte de dépistage, il est plus pertinent de connaître P_T(M), qui répond directement à la question « ce test positif signifie-t-il vraiment que je suis malade ? ».

4.On considère que la personne choisie a eu un test positif. Quelle est la probabilité qu'elle soit malade ? (arrondir au centième)

D'après la définition de la probabilité conditionnelle : \begin{aligned}P_T(M) &= \dfrac{P(M\cap T)}{P(T)} \\ &= \dfrac{0{,}056}{0{,}0653}\end{aligned}
Donc, la réponse est P_T(M)\approx 0,86 au centième près.

5.aOn choisit, avec remise, 10 personnes au hasard dans la population, et X compte parmi elles le nombre de tests positifs. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par X.

Le tirage avec remise assure l'indépendance des 10 tirages, chacun ayant deux issues possibles (test positif ou non) avec la même probabilité de succès \begin{aligned}p &= P(T) \\ &= 0{,}0653\end{aligned} à chaque tirage. Donc, la réponse est que X suit la loi binomiale de paramètres n=10 et {p=0{,}0653}.

5.bDéterminer la probabilité pour qu'exactement deux personnes aient un test positif (arrondir au centième).

D'après la formule de la loi binomiale : P(X=2) = \dbinom{10}{2}\times0{,}0653^2\times(1-0{,}0653)^8.
Donc, la réponse est P(X=2)\approx 0,11 au centième près.

6.Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu'au moins l'une d'entre elles ait un test positif soit supérieure à 99 %.

Soit n le nombre de personnes testées et Y la variable aléatoire qui compte, parmi elles, le nombre de tests positifs. Le tirage avec remise assure que Y suit la loi binomiale de paramètres n et {p=0{,}0653}.
L'évènement contraire de « au moins un test positif » est « aucun test positif », c'est-à-dire Y=0. On cherche donc le plus petit entier n tel que \begin{aligned}P(Y\geqslant1) &= 1-P(Y=0) \\ &\geqslant 0{,}99\end{aligned}
Or \begin{aligned}P(Y=0) &= (1-0{,}0653)^n \\ &= 0{,}9347^n\end{aligned} donc l'inégalité devient \begin{aligned}1-0{,}9347^n \geqslant 0{,}99 &\iff 0{,}9347^n \leqslant 0{,}01 \end{aligned}
En appliquant le logarithme népérien, strictement croissant, des deux côtés : n\ln(0{,}9347) \leqslant \ln(0{,}01). Comme \ln(0{,}9347)<0, diviser par ce nombre inverse le sens de l'inégalité : {n \geqslant \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}9347)}}.
À la calculatrice, \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}9347)}\approx68{,}19. Le plus petit entier n vérifiant cette inégalité est donc n=69, on vérifie qu'avec n=68, {1-0{,}9347^{68}\approx0{,}9899<0{,}99}, alors qu'avec n=69, \begin{aligned}1-0{,}9347^{69} &\approx 0{,}9905 \\ &\geqslant 0{,}99\end{aligned}
Donc, la réponse est qu'il faut tester au minimum 69 personnes.

Soit\left(u_n\right) la suite définie par u_0=1 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}. 1.a Calculer les termes u_1, u_2 et u_3, sous forme de fractions irréductibles.

u_1 = \dfrac{u_0}{1+u_0} = \dfrac{1}{1+1} = \dfrac{1}{2}.
u_2 = \dfrac{u_1}{1+u_1} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{1}{3}.
u_3 = \dfrac{u_2}{1+u_2} = \dfrac{\dfrac{1}{3}}{1+\dfrac{1}{3}} = \dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{4}{3}} = \dfrac{1}{4}.

1.bRecopier et compléter les lignes 3 et 6 du script Python ci-dessous pour que liste(k) prenne en paramètre un entier naturel k et renvoie la liste des valeurs de u_0 à u_k.

2.On admet que, pour tout entier naturel n, u_n est strictement positif. Déterminer le sens de variation de la suite \left(u_n\right).

On étudie le signe de u_{n+1}-u_n pour tout entier naturel n : \begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \dfrac{u_n}{1+u_n}-u_n \\ &= \dfrac{u_n-u_n(1+u_n)}{1+u_n} \\ &= \dfrac{u_n-u_n-u_n^2}{1+u_n} \\ &= \dfrac{-u_n^2}{1+u_n}\end{aligned}
Comme u_n est strictement positif pour tout n, on a u_n^2>0 et 1+u_n>0, donc \dfrac{-u_n^2}{1+u_n}<0, c'est-à-dire u_{n+1}-u_n<0 pour tout entier naturel n.
Donc, la réponse est que la suite \left(u_n\right) est strictement décroissante.

3.En déduire que la suite \left(u_n\right) converge.

La suite \left(u_n\right) est strictement décroissante (question précédente) et minorée par 0 (car u_n est strictement positif pour tout n, donc en particulier u_n\geqslant0). Donc, la réponse est que, d'après le théorème de la limite monotone, la suite \left(u_n\right) converge vers une limite réelle \ell, avec \ell\geqslant0.

4.Déterminer la valeur de la limite de la suite \left(u_n\right).

Soit f la fonction définie sur [0~;~+\infty[ par f(x)=\dfrac{x}{1+x}. On a alors {u_{n+1}=f\left(u_n\right)} pour tout entier naturel n.
La fonction f est continue sur [0~;~+\infty[ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas. La limite \ell de la suite \left(u_n\right) vérifie donc l'égalité f(\ell)=\ell.
On résout cette équation : \begin{aligned}\dfrac{\ell}{1+\ell} = \ell &\iff \ell = \ell(1+\ell) \\ &\iff \ell = \ell + \ell^2 \\ &\iff \ell^2 = 0 \\ &\iff \ell = 0 \end{aligned}
Donc, la réponse est que la suite \left(u_n\right) converge vers 0.

5.aConjecturer une expression de u_n en fonction de n.

D'après les premiers termes calculés à la question 1.a (u_0=1, u_1=\dfrac{1}{2}, u_2=\dfrac{1}{3}, u_3=\dfrac{1}{4}), on peut conjecturer que, pour tout entier naturel n, u_n = \dfrac{1}{n+1}.

5.bDémontrer par récurrence la conjecture précédente.

Notons P_n la proposition : u_n = \dfrac{1}{n+1}.
Initialisation : pour n=0, \begin{aligned}\dfrac{1}{0+1} &= 1 \\ &= u_0\end{aligned} donc P_0 est vraie.
Hérédité : supposons que P_n soit vraie pour un entier naturel n fixé, c'est-à-dire u_n=\dfrac{1}{n+1}. Montrons que P_{n+1} est alors vraie.
On a \begin{aligned}u_{n+1} &= \dfrac{u_n}{1+u_n} \\ &= \dfrac{\dfrac{1}{n+1}}{1+\dfrac{1}{n+1}} \\ &= \dfrac{\dfrac{1}{n+1}}{\dfrac{n+2}{n+1}} \\ &= \dfrac{1}{n+2} \\ &= \dfrac{1}{(n+1)+1}\end{aligned} La relation est donc vraie au rang n+1, ce qui montre que P_{n+1} est vraie.
Comme P_0 est vraie, et que pour tout entier naturel n, P_n vraie entraîne P_{n+1} vraie, on peut conclure, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier naturel n, P_n est vraie, c'est-à-dire u_n=\dfrac{1}{n+1}.

L'espace est muni d'un repère orthonormal. On considère les points A(2~;~-1~;~0), B(1~;~0~;~-3), C(6~;~6~;~1), E(1~;~2~;~4), et le plan \mathcal{P} d'équation cartésienne 2x-y-z+4=0. 1.a Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.

On calcule les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{\text{AC}} à partir de celles de A, B et C : \overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}1-2 \\ 0-(-1) \\ -3-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ -3\end{pmatrix} et \overrightarrow{\text{AC}}\begin{pmatrix}6-2 \\ 6-(-1) \\ 1-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ 7 \\ 1\end{pmatrix}.
Leur produit scalaire vaut \begin{aligned}\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{AC}} &= (-1)\times4 + 1\times7 + (-3)\times1 \\ &= -4+7-3 \\ &= 0\end{aligned}
Les vecteurs \overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{\text{AC}} sont donc orthogonaux. Donc, la réponse est que le triangle ABC est bien rectangle en A.

1.bCalculer le produit scalaire \overrightarrow{\text{BA}}\cdot\overrightarrow{\text{BC}} puis les longueurs BA et BC.

On a \overrightarrow{\text{BA}}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix} (l'opposé de \overrightarrow{\text{AB}}) et \overrightarrow{\text{BC}}\begin{pmatrix}6-1 \\ 6-0 \\ 1-(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 6 \\ 4\end{pmatrix}.
Leur produit scalaire vaut \overrightarrow{\text{BA}}\cdot\overrightarrow{\text{BC}} = 1\times5 + (-1)\times6 + 3\times4 = 5-6+12 = 11.
On calcule ensuite les normes : {\text{BA} = \sqrt{1^2+(-1)^2+3^2} = \sqrt{11}}, et \text{BC} = \sqrt{5^2+6^2+4^2} = \sqrt{25+36+16} = \sqrt{77}.

1.cEn déduire la mesure en degrés de l'angle \widehat{\text{ABC}}, arrondie au degré.

D'après la formule du produit scalaire avec les normes et le cosinus de l'angle formé : \overrightarrow{\text{BA}}\cdot\overrightarrow{\text{BC}} = \text{BA}\times\text{BC}\times\cos\left(\widehat{\text{ABC}}\right).
On remarque que \begin{aligned}\sqrt{77} &= \sqrt{11\times7} \\ &= \sqrt{11}\times\sqrt{7}\end{aligned} donc l'égalité devient \begin{aligned}11 &= \sqrt{11}\times\sqrt{11}\times\sqrt{7}\times\cos\left(\widehat{\text{ABC}}\right) \\ &= 11\sqrt{7}\times\cos\left(\widehat{\text{ABC}}\right)\end{aligned}
On en déduit \cos\left(\widehat{\text{ABC}}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{7}}, d'où, à la calculatrice, \widehat{\text{ABC}}\approx 68 degrés (au degré près).

2.aDémontrer que le plan \mathcal{P} est parallèle au plan (ABC).

Un vecteur normal au plan \mathcal{P}, d'équation 2x-y-z+4=0, est \vec{n}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix} (les coefficients de x, y et z).
Les vecteurs \overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{\text{AC}} ne sont pas colinéaires puisque ABC est un triangle (question 1.a), donc ils dirigent le plan (ABC).
On calcule \begin{aligned}\vec{n}\cdot\overrightarrow{\text{AB}} &= 2\times(-1) + (-1)\times1 + (-1)\times(-3) \\ &= -2-1+3 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}\vec{n}\cdot\overrightarrow{\text{AC}} &= 2\times4+(-1)\times7+(-1)\times1 \\ &= 8-7-1 \\ &= 0\end{aligned}
Le vecteur \vec{n} est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : c'est un vecteur normal à ce plan, mais aussi au plan \mathcal{P} par définition. Deux plans de même vecteur normal sont parallèles.
Donc, la réponse est que le plan \mathcal{P} est bien parallèle au plan (ABC).

2.bEn déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

Le plan (ABC), parallèle au plan \mathcal{P} et admettant le même vecteur normal \vec{n}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix}, a une équation cartésienne de la forme 2x-y-z+d=0, où d est une constante à déterminer.
Comme A(2~;~-1~;~0) appartient au plan (ABC), ses coordonnées vérifient l'équation : \begin{aligned}2\times2-(-1)-0+d = 0 &\iff 4+1+d = 0 \\ &\iff d = -5 \end{aligned}
Donc, la réponse est que le plan (ABC) a pour équation cartésienne {2x-y-z-5=0}.

2.cDéterminer une représentation paramétrique de la droite \mathcal{D} orthogonale au plan (ABC) et passant par le point E.

La droite \mathcal{D}, orthogonale au plan (ABC), admet pour vecteur directeur le vecteur normal de ce plan, soit \vec{n}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix}.
Un point M(x~;~y~;~z) appartient à \mathcal{D} si, et seulement si, \overrightarrow{\text{E}M} = t\vec{n} pour un certain réel t, avec E(1~;~2~;~4), c'est-à-dire x-1=2t, y-2=-t et z-4=-t.
Donc, la réponse est que la droite \mathcal{D} admet pour représentation paramétrique \begin{cases} x=1+2t\\ y=2-t\\ z=4-t\end{cases}, avec t\in\mathbb{R}.

2.dDémontrer que le projeté orthogonal H du point E sur le plan (ABC) a pour coordonnées \left(4~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{5}{2}\right).

Le point H, projeté orthogonal de E sur le plan (ABC), est l'unique point d'intersection de la droite \mathcal{D} (orthogonale au plan et passant par E) avec le plan (ABC).
Ses coordonnées vérifient donc à la fois la représentation paramétrique de \mathcal{D} et l'équation {2x-y-z-5=0} du plan (ABC). En substituant x=1+2t, {y=2-t}, z=4-t dans cette équation : 2(1+2t)-(2-t)-(4-t)-5=0.
En développant : \begin{aligned}2+4t-2+t-4+t-5 = 0 &\iff 6t-9 = 0 \\ &\iff t = \dfrac{9}{6} \\ &\iff t = \dfrac{3}{2}\end{aligned}
En remplaçant t=\dfrac{3}{2} dans la représentation paramétrique : \begin{aligned}x &= 1+2\times\dfrac{3}{2} \\ &= 4\end{aligned} \begin{aligned}y &= 2-\dfrac{3}{2} \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned} \begin{aligned}z &= 4-\dfrac{3}{2} \\ &= \dfrac{5}{2}\end{aligned}
Donc, la réponse est que H a bien pour coordonnées \left(4~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{5}{2}\right).

3.On rappelle que le volume d'une pyramide est \mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\mathcal{B}h, où \mathcal{B} désigne l'aire d'une base et h la hauteur associée. Calculer l'aire du triangle ABC puis démontrer que le volume de la pyramide ABCE vaut 16{,}5 unités de volume.

Le triangle ABC est rectangle en A (question 1.a), donc son aire vaut {\mathcal{B}=\dfrac{\text{AB}\times\text{AC}}{2}}, avec \text{AB}=\sqrt{11} (calculée à la question 1.b) et \text{AC}=\sqrt{4^2+7^2+1^2}=\sqrt{16+49+1}=\sqrt{66}.
On a donc \begin{aligned}\mathcal{B} &= \dfrac{\sqrt{11}\times\sqrt{66}}{2} \\ &= \dfrac{\sqrt{726}}{2}\end{aligned} Comme \begin{aligned}726 &= 121\times6 \\ &= 11^2\times6\end{aligned} on obtient \sqrt{726}=11\sqrt{6}, d'où {\mathcal{B} = \dfrac{11\sqrt{6}}{2}}.
La droite (HE) est orthogonale au plan (ABC) par construction : la hauteur de la pyramide ABCE, associée à la base ABC, est donc la longueur HE.
On calcule \overrightarrow{\text{HE}}\begin{pmatrix}1-4 \\ 2-\frac{1}{2} \\ 4-\frac{5}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2}\end{pmatrix}, d'où \text{HE} = \sqrt{(-3)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{9+\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{4}} = \sqrt{\dfrac{36+9+9}{4}} = \sqrt{\dfrac{54}{4}} = \dfrac{\sqrt{54}}{2} = \dfrac{3\sqrt{6}}{2}.
Le volume de la pyramide ABCE vaut donc \mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times\mathcal{B}\times\text{HE} = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{11\sqrt{6}}{2}\times\dfrac{3\sqrt{6}}{2} = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{33\times6}{4} = \dfrac{33\times6}{12} = \dfrac{198}{12}.
Donc, la réponse est que le volume de la pyramide ABCE vaut bien \mathcal{V}= 16,5 unités de volume.