Bac Terminale Spé Maths : Amérique du Nord 2023, Sujet 1

PartieA ; 1. Une entreprise classe ses déchets en trois catégories : 69 % sont minéraux non dangereux (M), 28 % sont non minéraux non dangereux (N), le reste est dangereux (D). Par ailleurs, 73 % des déchets M sont recyclables, 49 % des déchets N le sont, et 35 % des déchets dangereux le sont. On prélève un déchet au hasard : compléter l'arbre pondéré donnant les probabilités de M, N, D puis de R (recyclable) sachant chacun d'eux.

Les proportions de l'énoncé s'interprètent comme des probabilités, puisque le déchet est prélevé au hasard.
Comme M, N et D partagent les déchets restants, on a \begin{aligned}P(D) &= 1-0{,}69-0{,}28 \\ &= 0{,}03\end{aligned}
L'arbre porte donc, sur la première branche : P(M)=0{,}69, P(N)=0{,}28, P(D)=0{,}03.
Puis sur les branches secondaires : P_M(R)=0{,}73 et P_M(\overline{R})=0{,}27 ; P_N(R)=0{,}49 et P_N(\overline{R})=0{,}51 ; P_D(R)=0{,}35 et P_D(\overline{R})=0{,}65.

PartieA ; 2. Justifier que la probabilité qu'un déchet soit à la fois dangereux et recyclable vaut 0{,}0105.

L'évènement « le déchet est dangereux et recyclable » est D\cap R, donc P(D\cap R) = P(D)\times P_D(R) = 0{,}03\times0{,}35 = 0,0105.

PartieA ; 3. Calculer P(M\cap\overline{R}) et interpréter le résultat.

P(M\cap\overline{R}) = P(M)\times P_M(\overline{R}) = 0{,}69\times0{,}27 = 0,1863.
Cela signifie que 18,63 % de l'ensemble des déchets produits par l'entreprise sont à la fois minéraux et non recyclables.

PartieA ; 4. Démontrer que P(R) = 0{,}6514.

Les évènements M, N et D forment une partition de l'univers, donc, d'après la formule des probabilités totales :
\begin{aligned}P(R) &= P(M\cap R)+P(N\cap R)+P(D\cap R) \\ &= 0{,}69\times0{,}73+0{,}28\times0{,}49+0{,}03\times0{,}35\end{aligned}
P(R) = 0{,}5037+0{,}1372+0{,}0105 = 0,6514, ce qui est bien la valeur annoncée.

PartieA ; 5. Sachant que le déchet prélevé est recyclable, déterminer la probabilité qu'il soit non minéral et non dangereux (arrondie au dix-millième).

P_R(N) = \dfrac{P(N\cap R)}{P(R)} = \dfrac{0{,}28\times0{,}49}{0{,}6514} = \dfrac{0{,}1372}{0{,}6514} \approx 0,2106.

PartieB ; 1.a On prélève avec remise un échantillon de 20 déchets ; X compte le nombre de déchets recyclables (on rappelle P(R)=0{,}6514). Préciser la loi suivie par X et ses paramètres.

Le tirage avec remise correspond à la répétition de 20 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de succès « le déchet est recyclable » de probabilité p=0{,}6514 : X suit la loi binomiale \mathcal{B}(20~;~0{,}6514).

PartieB ; 1.b Donner la probabilité que l'échantillon contienne exactement 14 déchets recyclables (arrondie au dix-millième).

P(X=14) = \dbinom{20}{14}\times0{,}6514^{14}\times0{,}3486^{6} \approx 0,1723.

PartieB ; 2.a On prélève désormais n déchets (n entier naturel non nul). Exprimer en fonction de n la probabilité p_n qu'aucun déchet de l'échantillon ne soit recyclable.

En notant X_n le nombre de déchets recyclables parmi les n prélevés, X_n suit la loi \mathcal{B}(n~;~0{,}6514), donc p_n = P(X_n=0) = \dbinom{n}{0}\times0{,}6514^0\times0{,}3486^{n} = 0{,}3486^{n}.

PartieB ; 2.b Déterminer à partir de quel entier naturel n la probabilité qu'au moins un déchet de l'échantillon soit recyclable dépasse ou égale 0{,}9999.

L'évènement « au moins un déchet est recyclable » est le contraire de celui de probabilité p_n, donc on doit résoudre 1-p_n\geqslant0{,}9999, c'est-à-dire p_n\leqslant0{,}0001.
\begin{aligned}0{,}3486^{n} \leqslant 0{,}0001 &\iff n\ln(0{,}3486) \leqslant \ln(0{,}0001) \end{aligned} et comme \ln(0{,}3486)<0, l'inégalité s'inverse en divisant : n\geqslant\dfrac{\ln(0{,}0001)}{\ln(0{,}3486)}.
Or \dfrac{\ln(0{,}0001)}{\ln(0{,}3486)} \approx 8{,}74, donc, comme n est un entier, c'est à partir de n=9 que la probabilité qu'au moins un déchet soit recyclable est supérieure ou égale à 0{,}9999.

PartieA : On étudie la fonction auxiliaire g définie sur \mathbb{R} par g(x)=3e^{2x}-2x-3. 1.a Déterminer la limite de g en -\infty.

Par composition, \lim\limits_{x\to-\infty}e^{2x}=0, et \lim\limits_{x\to-\infty}(-2x-3)=+\infty ; par somme, \lim\limits_{x\to-\infty}g(x) = +\infty.

PartieA ; 1.b Déterminer la limite de g en +\infty.

La forme est indéterminée : on factorise, pour x\neq0, {g(x) = 2x\left(3\times\dfrac{e^{2x}}{2x}-1-\dfrac{3}{2x}\right)}.
Par croissances comparées, \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^{2x}}{2x}=+\infty, donc le facteur entre parenthèses tend vers +\infty, tout comme 2x.
Par produit, \lim\limits_{x\to+\infty}g(x) = +\infty.

PartieA ; 2.a g est dérivable sur \mathbb{R} de dérivée g'. Montrer que g'(x)=6e^{2x}-2.

Pour tout réel x : g'(x) = 3\times2e^{2x}-2 = 6e^{2x}-2.

PartieA ; 2.b Étudier le signe de g' sur \mathbb{R}.

g'(x)>0 \iff 6e^{2x}>2 \iff e^{2x}>\dfrac13 \iff 2x>\ln\left(\dfrac13\right) \iff x>-\dfrac12\ln(3) (la fonction \ln étant strictement croissante).
Donc g' est strictement négative sur \left]-\infty~;~-\dfrac12\ln(3)\right[, nulle en -\dfrac12\ln(3), et strictement positive sur \left]-\dfrac12\ln(3)~;~+\infty\right[.

PartieA ; 2.c En déduire le tableau de variations de g et vérifier que son minimum vaut \ln(3)-2.

D'après le signe de g', g est strictement décroissante sur \left]-\infty~;~-\dfrac12\ln(3)\right] puis strictement croissante sur \left[-\dfrac12\ln(3)~;~+\infty\right[ : elle admet donc un minimum en x=-\dfrac12\ln(3).
\begin{aligned}g\left(-\dfrac12\ln(3)\right) &= 3e^{-\ln(3)}-2\times\left(-\dfrac12\ln(3)\right)-3 \\ &= 3\times\dfrac13+\ln(3)-3 \\ &= \ln(3)-2\end{aligned}
On retrouve bien le minimum annoncé, \ln(3)-2\approx-0{,}90, avec g tendant vers +\infty en -\infty et en +\infty.

PartieA ; 3.a Montrer que x=0 est solution de l'équation {g(x)=0}.

\begin{aligned}g(0) &= 3e^{0}-2\times0-3 \\ &= 3-3 \\ &= 0\end{aligned} donc x=0 est bien solution de {g(x)=0}.

PartieA ; 3.b Montrer que l'équation {g(x)=0} admet une deuxième solution \alpha, non nulle, et en donner un encadrement d'amplitude 10^{-1}.

Sur \left[-\dfrac12\ln(3)~;~+\infty\right[, g est strictement croissante et s'annule en 0 : c'est donc l'unique solution de {g(x)=0} sur cet intervalle.
Sur \left]-\infty~;~-\dfrac12\ln(3)\right], g est continue (car dérivable) et strictement décroissante, avec \lim\limits_{-\infty}g=+\infty et {g\left(-\dfrac12\ln(3)\right)=\ln(3)-2<0} : 0 est une valeur intermédiaire, donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation {g(x)=0} admet une unique solution \alpha sur cet intervalle.
L'équation {g(x)=0} admet donc exactement deux solutions sur \mathbb{R} : 0 et \alpha.
Un balayage à la calculatrice donne g(-1{,}5)\approx0{,}149>0 et {g(-1{,}4)\approx-0{,}018<0}, d'où l'encadrement {-1{,}5<\alpha<-1{,}4}.

PartieA ; 4. En déduire le signe de g sur \mathbb{R}.

D'après les variations de g et la question précédente, g est strictement positive sur ]-\infty~;~\alpha[ et sur ]0~;~+\infty[, et strictement négative sur ]\alpha~;~0[.

PartieB : On étudie désormais {f(x)=e^{3x}-(2x+1)e^{x}}, dérivable sur \mathbb{R} de dérivée f'. 1. Montrer que f'(x)=e^{x}g(x).

Pour tout réel x : f'(x) = 3e^{3x}-2e^{x}-(2x+1)e^{x} = e^{x}\left(3e^{2x}-2-(2x+1)\right) = e^{x}\left(3e^{2x}-2x-3\right) = e^{x}g(x).

PartieB ; 2. En déduire le signe de f' puis les variations de f sur \mathbb{R}.

La fonction exponentielle est strictement positive sur \mathbb{R}, donc f'(x) est du même signe que g(x).
D'après la question A.4, f est donc strictement croissante sur ]-\infty~;~\alpha[ et sur ]0~;~+\infty[, et strictement décroissante sur [\alpha~;~0].

PartieB ; 3. Expliquer pourquoi f n'est pas convexe sur \mathbb{R}.

Si f était convexe sur \mathbb{R}, sa dérivée f' serait croissante sur \mathbb{R}. Or f' est positive sur ]-\infty~;~\alpha[ puis négative sur ]\alpha~;~0[ : par exemple f'(-2)>0 alors que f'(-1)<0, donc f' n'est pas croissante sur \mathbb{R}. La fonction f n'est donc pas convexe sur \mathbb{R}.

1.L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les points A(-1 ; 2 ; 5), B(3 ; 6 ; 3), C(3 ; 0 ; 9) (non alignés). Le triangle ABC est : a. isocèle rectangle en A ; b. isocèle rectangle en B ; c. isocèle rectangle en C ; d. équilatéral.

Le repère étant orthonormé, on calcule les longueurs des côtés : \begin{aligned}AB &= \sqrt{(3+1)^2+(6-2)^2+(3-5)^2} \\ &= \sqrt{36} \\ &= 6\end{aligned} \begin{aligned}AC &= \sqrt{(3+1)^2+(0-2)^2+(9-5)^2} \\ &= \sqrt{36} \\ &= 6\end{aligned} \begin{aligned}BC &= \sqrt{0^2+(-6)^2+6^2} \\ &= \sqrt{72} \\ &= 6\sqrt2\end{aligned}
AB=AC donc le triangle est isocèle en A ; de plus \begin{aligned}AB^2+AC^2 &= 36+36 \\ &= 72 \\ &= BC^2\end{aligned} donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, il est également rectangle en A.
Donc, la réponse est a.

2.On considère en plus D(8 ; -3 ; -8). Une équation cartésienne du plan (BCD) est : a. 2x+y+z-15=0 ; b. 9x-5y+3=0 ; c. 4x+y+z-21=0 ; d. 11x+5z-73=0.

On teste l'appartenance de B, C et D à chaque plan candidat. Pour la proposition c., 4x+y+z-21 vaut : en B, 12+6+3-21=0 ; en C, {12+0+9-21=0} ; en D, 32-3-8-21=0.
Les trois points B, C et D vérifient donc l'équation 4x+y+z-21=0 (on vérifie aussi qu'aucune des trois autres équations n'est satisfaite simultanément par B, C et D).
Donc, la réponse est c.

3.On admet que (ABC) a pour équation {x-2y-2z+15=0}. Soit H le projeté orthogonal de D sur (ABC). On peut affirmer que : a. H(-2 ; 17 ; 12) ; b. H(3 ; 7 ; 2) ; c. H(3 ; 2 ; 7) ; d. H(-15 ; 1 ; -1).

Le plan (ABC) a pour vecteur normal \vec{u}\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ -2\end{pmatrix}. Comme H est le projeté orthogonal de D sur (ABC), H est le point d'intersection de (ABC) avec la droite passant par D et dirigée par \vec{u}, de représentation paramétrique x=8+k, y=-3-2k, z=-8-2k (k\in\mathbb{R}).
On cherche k tel que ce point appartienne à (ABC) : \begin{aligned}(8+k)-2(-3-2k)-2(-8-2k)+15 = 0 &\iff 8+k+6+4k+16+4k+15 = 0 \\ &\iff 9k+45 = 0 \\ &\iff k = -5 \end{aligned}
On obtient H(8-5~;~-3+10~;~-8+10) = H(3~;~7~;~2).
Donc, la réponse est b.

4.Soit \Delta la droite de représentation paramétrique x=5+t, y=3-t, {z=-1+3t} (t\in\mathbb{R}). Les droites (BC) et \Delta sont : a. confondues ; b. strictement parallèles ; c. sécantes ; d. non coplanaires.

Un vecteur directeur de \Delta est \vec{v}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix}, et un vecteur directeur de (BC) est \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}0 \\ -6 \\ 6\end{pmatrix} (soit encore \begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix} après simplification). Ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites ne sont ni confondues ni strictement parallèles.
Il reste à savoir si elles ont un point commun. La droite (BC) admet la représentation paramétrique x=3, {y=6-s}, z=3+s (s\in\mathbb{R}). En égalant les coordonnées : 5+t=3 donne t=-2, d'où le point de \Delta correspondant (3~;~5~;~-7).
En reportant dans (BC) : il faudrait {6-s=5} et 3+s=-7, soit s=1 et s=-10 simultanément, ce qui est impossible.
Les droites n'ont donc aucun point commun et ne sont pas parallèles : elles ne sont pas coplanaires.
Donc, la réponse est d.

5.On considère le plan \mathcal{P} d'équation {2x-y+2z-6=0} (on rappelle que (ABC) a pour équation {x-2y-2z+15=0}). On peut affirmer que : a. \mathcal{P} et (ABC) sont strictement parallèles ; b. ils sont sécants selon la droite (AB) ; c. selon la droite (AC) ; d. selon la droite (BC).

Un vecteur normal à \mathcal{P} est \vec{n_1}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}, et un vecteur normal à (ABC) est \vec{n_2}\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ -2\end{pmatrix}. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les plans ne sont pas parallèles : ils sont sécants selon une droite.
On teste l'appartenance de A, B et C à \mathcal{P} : en A, \begin{aligned}2\times(-1)-2+2\times5-6 &= -2-2+10-6 \\ &= 0\end{aligned} en B, \begin{aligned}2\times3-6+2\times3-6 &= 6-6+6-6 \\ &= 0\end{aligned} en C, \begin{aligned}2\times3-0+2\times9-6 &= 6+18-6 \\ &= 18 \\ &\neq 0\end{aligned}
A et B appartiennent donc à \mathcal{P} (et aussi à (ABC), par hypothèse), mais pas C. La droite d'intersection des deux plans est donc la droite (AB).
Donc, la réponse est b.

PartieA : On considère la suite (u_n) définie par u_0=5 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=\dfrac12\left(u_n+\dfrac{11}{u_n}\right) (on admet qu'elle est bien définie). 1. Donner u_1 et u_2 sous forme de fractions irréductibles.

\begin{aligned}u_1 &= \dfrac12\left(u_0+\dfrac{11}{u_0}\right) \\ &= \dfrac12\left(5+\dfrac{11}{5}\right) \\ &= \dfrac12\times\dfrac{36}{5} \\ &= \dfrac{18}{5}\end{aligned}
\begin{aligned}u_2 &= \dfrac12\left(u_1+\dfrac{11}{u_1}\right) \\ &= \dfrac12\left(\dfrac{18}{5}+\dfrac{55}{18}\right) \\ &= \dfrac12\times\dfrac{324+275}{90} \\ &= \dfrac{599}{180}\end{aligned}

PartieA ; 2. Soit f la fonction définie sur ]0~;~+\infty[ par f(x)=\dfrac12\left(x+\dfrac{11}{x}\right). Démontrer que f est croissante sur \left[\sqrt{11}~;~+\infty\right[.

f est dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme fraction rationnelle, et pour tout x>0 : f'(x) = \dfrac12\left(1-\dfrac{11}{x^2}\right) = \dfrac{x^2-11}{2x^2}.
Pour x\geqslant\sqrt{11}, on a x^2\geqslant11 (la fonction carré étant croissante sur \mathbb{R}^+), donc x^2-11\geqslant0, et comme 2x^2>0, on obtient f'(x)\geqslant0.
f est donc croissante sur \left[\sqrt{11}~;~+\infty\right[.

PartieA ; 3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, {u_n\geqslant u_{n+1}\geqslant\sqrt{11}}.

On remarque d'abord que u_{n+1}=f(u_n) pour tout n, et que \begin{aligned}f(\sqrt{11}) &= \dfrac12\left(\sqrt{11}+\dfrac{11}{\sqrt{11}}\right) \\ &= \dfrac12\left(\sqrt{11}+\sqrt{11}\right) \\ &= \sqrt{11}\end{aligned}
Initialisation : u_0=5 et \begin{aligned}u_1 &= \dfrac{18}{5} \\ &= 3{,}6\end{aligned} avec \sqrt{11}\approx3{,}317, donc {u_0\geqslant u_1\geqslant\sqrt{11}} : l'inégalité est vraie au rang 0.
Hérédité : on suppose que, pour un entier n fixé, {u_n\geqslant u_{n+1}\geqslant\sqrt{11}}. Comme f est croissante sur \left[\sqrt{11}~;~+\infty\right[, on en déduit {f(u_n)\geqslant f(u_{n+1})\geqslant f(\sqrt{11})}, c'est-à-dire {u_{n+1}\geqslant u_{n+2}\geqslant\sqrt{11}} : la propriété est donc vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, {u_n\geqslant u_{n+1}\geqslant\sqrt{11}}.

PartieA ; 4. En déduire que (u_n) converge, et noter a sa limite.

D'après la question précédente, la suite (u_n) est décroissante et minorée par \sqrt{11} : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite réelle a telle que {a\geqslant\sqrt{11}}.

PartieA ; 5. En posant une équation dont a est solution, donner la valeur exacte de a.

La suite (u_n) converge vers a et vérifie u_{n+1}=f(u_n) avec f continue sur \mathbb{R}^{*+}_{} : d'après le théorème du point fixe, a est solution de l'équation f(x)=x sur \mathbb{R}^{*+}_{}.
\begin{aligned}f(x) = x &\iff \dfrac12\left(x+\dfrac{11}{x}\right) = x \\ &\iff x+\dfrac{11}{x} = 2x \\ &\iff \dfrac{11}{x} = x \\ &\iff x^2 = 11 \\ &\iff x = \sqrt{11} \end{aligned} (car x>0).
Cette équation admet une unique solution sur \mathbb{R}^{*+}_{}, donc, la suite étant minorée par \sqrt{11}>0, on conclut {a=\sqrt{11}}.

PartieB : Pour tout entier naturel n, un rectangle R_n d'aire 11 a pour largeur \ell_n et longueur L_n, avec {L_0=5} et L_{n+1}=\dfrac{L_n+\ell_n}{2}. 1.a Expliquer pourquoi \ell_0=2{,}2.

L'aire de R_0 vaut 11 et sa longueur {L_0=5}, donc sa largeur vérifie L_0\times\ell_0=11, d'où \ell_0=\dfrac{11}{5}= 2,2.

PartieB ; 1.b Établir que, pour tout entier naturel n, \ell_n=\dfrac{11}{L_n}.

Pour tout entier naturel n, le rectangle R_n a pour aire 11 et pour longueur L_n, donc sa largeur vérifie L_n\times\ell_n=11, d'où \ell_n=\dfrac{11}{L_n}.

PartieB ; 2. Vérifier que la suite (L_n) correspond à la suite (u_n) de la partie A.

En remplaçant \ell_n par \dfrac{11}{L_n} dans la relation de récurrence : \begin{aligned}L_{n+1} &= \dfrac{L_n+\ell_n}{2} \\ &= \dfrac12\left(L_n+\dfrac{11}{L_n}\right)\end{aligned} qui est exactement la relation vérifiée par (u_n). Comme de plus \begin{aligned}L_0 &= u_0 \\ &= 5\end{aligned} les deux suites sont identiques.

PartieB ; 3. Montrer que, pour tout entier naturel n, {\ell_n\leqslant\sqrt{11}\leqslant L_n}.

D'après la partie A, (u_n), donc (L_n), est minorée par \sqrt{11}, ce qui donne {\sqrt{11}\leqslant L_n}.
La fonction inverse étant strictement décroissante sur \mathbb{R}^{*+}_{}, {\sqrt{11}\leqslant L_n \implies \dfrac{1}{\sqrt{11}}\geqslant\dfrac{1}{L_n} \implies \dfrac{11}{\sqrt{11}}\geqslant\dfrac{11}{L_n}}, soit \sqrt{11}\geqslant\ell_n.
En combinant les deux inégalités, on obtient bien {\ell_n\leqslant\sqrt{11}\leqslant L_n}.

PartieB ; 4. On admet que (L_n) et (\ell_n) convergent toutes deux vers \sqrt{11}. Interpréter géométriquement ce résultat.

Géométriquement, les dimensions du rectangle R_n se rapprochent de plus en plus l'une de l'autre et tendent toutes deux vers \sqrt{11} : le rectangle R_n tend donc à devenir un carré de côté \sqrt{11}.

PartieB ; 5.a Un script Python, nommé heron, initialise L=5 et \ell=2{,}2, puis répète n fois les instructions L\leftarrow\dfrac{L+\ell}{2} et \ell\leftarrow\dfrac{11}{L}, avant de renvoyer les deux valeurs arrondies au millionième. Que renvoie l'appel heron(3) ?

PartieB ; 5.b Donner une interprétation de ces deux valeurs.

Ces deux valeurs encadrent \sqrt{11} : on a {3{,}316606\leqslant\sqrt{11}\leqslant3{,}316643}, soit un encadrement d'amplitude inférieure à 4\times10^{-5}, obtenu avec seulement trois itérations de l'algorithme.