Bac Terminale Spé Maths : Centres étrangers - Groupe 1 2023, Sujet 2

1.On pose f(x)=xe^x sur \mathbb{R}. Parmi {F(x)=\dfrac{x^2}{2}e^x}, F(x)=(x-1)e^x, F(x)=(x+1)e^x et F(x)=\dfrac2xe^{x^2}, laquelle est une primitive de f sur \mathbb{R} ?

Testons F(x)=(x-1)e^x, dérivable sur \mathbb{R} comme produit de fonctions dérivables, avec u(x)=x-1 et {v(x)=e^x}, donc u'(x)=1 et v'(x)=e^x.
F'=u'v+uv' donc F'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x=f(x) pour tout réel x.
Donc, la réponse est F(x)=(x-1)e^x.

2.La courbe \mathcal{C} d'une fonction f deux fois dérivable sur ]0~;~+\infty[ admet un maximum en x=3 et un unique point d'inflexion d'abscisse 5. Que peut-on affirmer parmi : f et f' de même signe sur ]0~;~5[ ; f et f' de même signe sur ]5~;~+\infty[ ; f' et f'' de même signe sur ]0~;~5[ ; f et f'' de même signe sur ]5~;~+\infty[ ?

Par lecture graphique de \mathcal{C}, f(x)<0 sur ]0~;~1[ et f(x)>0 sur ]1~;~+\infty[.
Le maximum étant atteint en x=3, f'(x)>0 sur ]0~;~3[ et f'(x)<0 sur ]3~;~+\infty[.
Le seul point d'inflexion étant d'abscisse 5, et la courbe étant concave puis convexe, f''(x)<0 sur ]0~;~5[ et f''(x)>0 sur ]5~;~+\infty[.
Sur ]5~;~+\infty[, f(x)>0 et f''(x)>0 : ces deux fonctions sont donc de même signe sur cet intervalle.
Donc, la réponse est « f et f'' sont de même signe sur ]5~;~+\infty[ ».

3.Soit g définie sur [0~;~+\infty[ par {g(t)=\dfrac{a}{b+e^{-t}}}, avec g(0)=2 et \lim\limits_{t\to+\infty}g(t)=3. Déterminer a et b parmi les couples (2~;~3), \left(4~;~\dfrac43\right), (4~;~1) et (6~;~2).

\begin{aligned}g(0) &= \dfrac{a}{b+e^0} \\ &= \dfrac{a}{b+1} \\ &= 2\end{aligned} donc \begin{aligned}a &= 2(b+1) \\ &= 2b+2\end{aligned}
Comme \lim\limits_{t\to+\infty}(-t)=-\infty et \lim\limits_{X\to-\infty}e^X=0, on a par composition \lim\limits_{t\to+\infty}e^{-t}=0, donc \lim\limits_{t\to+\infty}(b+e^{-t})=b et, par quotient, \lim\limits_{t\to+\infty}g(t)=\dfrac{a}{b}.
Donc \dfrac{a}{b}=3, soit a=3b. En combinant avec a=2b+2 : 3b=2b+2, donc b=2, puis \begin{aligned}a &= 3\times2 \\ &= 6\end{aligned}
Donc, la réponse est a=6 et b=2.

4.Alice tire au hasard une urne parmi A (2 boules vertes, 2 rouges) et B (3 boules vertes, 1 rouge), puis une boule dans cette urne, et obtient une boule verte. Quelle est la probabilité qu'elle ait choisi l'urne B, parmi \dfrac38, \dfrac12, \dfrac35 et \dfrac58 ?

Notons A et B le choix de chaque urne, et V l'évènement « la boule tirée est verte ». On a \begin{aligned}P(A) &= P(B) \\ &= \dfrac12\end{aligned} \begin{aligned}P_A(V) &= \dfrac24 \\ &= \dfrac12\end{aligned} et P_B(V)=\dfrac34.
\begin{aligned}P(V\cap B) &= P(B)\times P_B(V) \\ &= \dfrac12\times\dfrac34 \\ &= \dfrac38\end{aligned}
Comme A et B forment une partition de l'univers, la formule des probabilités totales donne \begin{aligned}P(V) &= P(V\cap A)+P(V\cap B) \\ &= \dfrac12\times\dfrac12+\dfrac38 \\ &= \dfrac14+\dfrac38 \\ &= \dfrac28+\dfrac38 \\ &= \dfrac58\end{aligned}
On cherche \begin{aligned}P_V(B) &= \dfrac{P(V\cap B)}{P(V)} \\ &= \dfrac{\frac38}{\frac58} \\ &= \dfrac38\times\dfrac85 \\ &= \dfrac35\end{aligned}
Donc, la réponse est \dfrac35.

5.On pose S=1+\dfrac12+\dfrac13+\dots+\dfrac{1}{100}. Parmi quatre scripts Python (a, b, c, d) proposés pour calculer S, lequel convient ?

PartieA ; 1. On définit f sur {]-1{,}5~;~+\infty[} par f(x)=\ln(2x+3)-1, et g(x)=f(x)-x. Déterminer la limite de g en -1{,}5 (on admet que sa limite en +\infty est -\infty).

Quand x\to-1{,}5^{+}, 2x+3\to0^{+} (car x>-1{,}5), et \lim\limits_{X\to0^+}\ln(X)=-\infty, donc par composition \lim\limits_{x\to-1{,}5}\ln(2x+3)=-\infty.
De plus -1-x\to-1-(-1{,}5)=0{,}5 quand x\to-1{,}5, donc par somme \lim\limits_{x\to-1{,}5}g(x)=-\infty.

PartieA ; 2. Étudier les variations de g sur {]-1{,}5~;~+\infty[}.

g(x)=\ln(2x+3)-1-x est dérivable sur {]-1{,}5~;~+\infty[} comme somme et composée de fonctions dérivables sur cet intervalle.
g'(x)=\dfrac{2}{2x+3}-1=\dfrac{2-(2x+3)}{2x+3}=\dfrac{-2x-1}{2x+3}.
Sur {]-1{,}5~;~+\infty[}, 2x+3>0, donc g'(x) est du signe de -2x-1, qui s'annule en x=-0{,}5 : g'(x)>0 sur ]-1{,}5~;~-0{,}5[ et g'(x)<0 sur ]-0{,}5~;~+\infty[.
g est donc strictement croissante sur ]-1{,}5~;~-0{,}5[ puis strictement décroissante sur ]-0{,}5~;~+\infty[, avec un maximum en x=-0{,}5.

PartieA ; 3.a Démontrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution \alpha dans ]-0{,}5~;~+\infty[.

Sur ]-0{,}5~;~+\infty[, g est continue (car dérivable) et strictement décroissante.
\begin{aligned}g(-0{,}5) &= \ln(2\times(-0{,}5)+3)-1-(-0{,}5) \\ &= \ln(2)-0{,}5 \\ &\approx 0{,}193\end{aligned} et \lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty (admis).
0 est bien compris entre g(-0{,}5)\approx0{,}193 et cette limite : d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires appliqué à une fonction strictement monotone, l'équation g(x)=0 admet une unique solution \alpha sur ]-0{,}5~;~+\infty[.

PartieA ; 3.b Donner un encadrement de \alpha d'amplitude 10^{-2}.

À la calculatrice, g(0{,}2)\approx0{,}024>0 et g(0{,}3)\approx-0{,}019<0, donc {0{,}2<\alpha<0{,}3}.
En affinant, g(0{,}25)\approx0{,}003>0 et g(0{,}26)\approx-0{,}002<0, donc {0{,}25<\alpha<0{,}26}.

PartieB ; 1. On admet que f est strictement croissante sur {]-1{,}5~;~+\infty[}. Montrer que si x\in[-1~;~\alpha] alors f(x)\in[-1~;~\alpha].

f est strictement croissante sur {]-1{,}5~;~+\infty[}, donc en particulier sur [-1~;~\alpha] : si {-1\leqslant x\leqslant\alpha}, alors {f(-1)\leqslant f(x)\leqslant f(\alpha)}.
Or g(\alpha)=0 signifie f(\alpha)-\alpha=0, donc f(\alpha)=\alpha. Et \begin{aligned}f(-1) &= \ln(2\times(-1)+3)-1 \\ &= \ln(1)-1 \\ &= 0-1 \\ &= -1\end{aligned}
On obtient donc {-1\leqslant f(x)\leqslant\alpha}, c'est-à-dire f(x)\in[-1~;~\alpha].

PartieB ; 2.a Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, {-1\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\alpha} (avec u_0=0 et {u_{n+1}=f(u_n)}).

Initialisation. u_0=0 et \begin{aligned}u_1 &= f(0) \\ &= \ln(3)-1 \\ &\approx 0{,}099\end{aligned} Comme \alpha\in]0{,}25~;~0{,}26[, on a bien {-1\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant\alpha} : la propriété est vraie au rang n=0.
Hérédité. Supposons que, pour un entier naturel n fixé, {-1\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\alpha}.
f étant croissante sur [-1~;~\alpha] (question B.1), on en déduit {f(-1)\leqslant f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(\alpha)}, c'est-à-dire {-1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant\alpha} (car f(-1)=-1 et f(\alpha)=\alpha) : la propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion. La propriété est initialisée au rang 0 et héréditaire, donc, par principe de récurrence, pour tout entier naturel n, {-1\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\alpha}.

PartieB ; 2.b En déduire que la suite (u_n) converge.

D'après la question précédente, la suite (u_n) est croissante (car u_n\leqslant u_{n+1} pour tout n) et majorée par \alpha : elle converge donc, d'après le théorème de la limite monotone.

1.aLa figure représente une maison cubique ABCDEFGH accolée à un garage cubique BIJKLMNO (L milieu de [BF], K milieu de [BC]), surmonté d'un toit pyramidal LMNOP dont le sommet P est sur la façade de la maison. Dans le repère (A~;~\vec\imath,\vec\jmath,\vec k) avec \vec\imath=\dfrac12\overrightarrow{AB}, \vec\jmath=\dfrac12\overrightarrow{AD} et {\vec k=\dfrac12\overrightarrow{AE}}, donner par lecture graphique les coordonnées de H, M et N.

Par lecture directe sur la figure : H(0~;~2~;~2), M(3~;~0~;~1) et N(3~;~1~;~1).

1.bDéterminer une représentation paramétrique de la droite (HM).

\overrightarrow{HM}\begin{pmatrix}3-0 \\ 0-2 \\ 1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ -1\end{pmatrix} dirige la droite (HM), qui passe par H(0~;~2~;~2).
Donc, la réponse est : \left\{\begin{array}{l}x=3t\\y=2-2t\\z=2-t\end{array}\right.\ ,\ t\in\mathbb{R}.

2.L'architecte place P à l'intersection de (HM) et du plan (BCF). Montrer que P\left(2~;~\dfrac23~;~\dfrac43\right).

Les points B(2~;~0~;~0), C(2~;~2~;~0) et F(2~;~0~;~2) ont tous pour abscisse 2 : le plan (BCF) est parallèle au plan (y0z) et a pour équation x=2.
Cherchons le paramètre t tel que le point de (HM) de paramètre t appartienne à ce plan : 3t=2, soit {t=\dfrac23}.
On obtient alors x=2, \begin{aligned}y &= 2-2\times\dfrac23 \\ &= \dfrac63-\dfrac43 \\ &= \dfrac23\end{aligned} et \begin{aligned}z &= 2-\dfrac23 \\ &= \dfrac63-\dfrac23 \\ &= \dfrac43\end{aligned}
Donc, la réponse est P\left(2~;~\dfrac23~;~\dfrac43\right), ce qui confirme le résultat annoncé.

3.aCalculer le produit scalaire \overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}.

\overrightarrow{PM}\begin{pmatrix}3-2 \\ 0-\frac23 \\ 1-\frac43\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ -\frac23 \\ -\frac13\end{pmatrix} et \overrightarrow{PN}\begin{pmatrix}3-2 \\ 1-\frac23 \\ 1-\frac43\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ \frac13 \\ -\frac13\end{pmatrix}.
Le repère étant orthonormé, \begin{aligned}\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN} &= 1\times1+\left(-\dfrac23\right)\times\dfrac13+\left(-\dfrac13\right)\times\left(-\dfrac13\right) \\ &= 1-\dfrac29+\dfrac19 \\ &= \dfrac99-\dfrac19 \\ &= \dfrac89\end{aligned}
Donc, la réponse est \overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}=\dfrac89.

3.bCalculer la distance PM (on admet que PN=\dfrac{\sqrt{11}}{3}).

\begin{aligned}PM &= \sqrt{1^2+\left(-\dfrac23\right)^2+\left(-\dfrac13\right)^2} \\ &= \sqrt{1+\dfrac49+\dfrac19} \\ &= \sqrt{\dfrac99+\dfrac49+\dfrac19} \\ &= \sqrt{\dfrac{14}{9}} \\ &= \dfrac{\sqrt{14}}{3}\end{aligned}
Donc, la réponse est PM=\dfrac{\sqrt{14}}{3}.

3.cLe toit ne peut être construit que si l'angle \widehat{MPN} ne dépasse pas 55\degres. Le toit pourra-t-il être construit ?

On sait que \overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}=PM\times PN\times\cos\left(\widehat{MPN}\right), donc \dfrac89=\dfrac{\sqrt{14}}{3}\times\dfrac{\sqrt{11}}{3}\times\cos\left(\widehat{MPN}\right).
D'où \begin{aligned}\cos\left(\widehat{MPN}\right) &= \dfrac{8}{\sqrt{14}\times\sqrt{11}} \\ &= \dfrac{8}{\sqrt{154}}\end{aligned} ce qui donne \widehat{MPN}\approx50\degres à la calculatrice.
Comme 50\degres ne dépasse pas 55\degres, donc, la réponse est : le toit pourra être construit.

4.Justifier que les droites (HM) et (EN) sont sécantes, et déterminer leur point d'intersection.

Les droites (EH) et (MN) sont parallèles (elles sont chacune dirigées par \vec\jmath, d'après la construction du garage et du toit), donc les droites (HM) et (EN), qui relient ces deux droites parallèles par des points distincts, sont coplanaires ; comme elles ne sont pas parallèles (leurs vecteurs directeurs \begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ -1\end{pmatrix} et \overrightarrow{EN} ne sont pas colinéaires), elles sont donc sécantes.
E(0~;~0~;~2) et N(3~;~1~;~1) donnent \overrightarrow{EN}\begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}, donc (EN) a pour représentation paramétrique \left\{\begin{array}{l}x=3t'\\y=t'\\z=2-t'\end{array}\right.\ ,\ t'\in\mathbb{R}.
En égalant les deux représentations paramétriques (avec t pour (HM)) : 3t=3t', 2-2t=t' et 2-t=2-t'. La première et la troisième équation donnent t=t' ; en reportant dans la deuxième, 2-2t=t, soit 3t=2, donc t=t'=\dfrac23.
Donc, la réponse est : les droites (HM) et (EN) se coupent au point P, déjà déterminé à la question 2.

Unechaîne de télévision hésite à programmer un jeu réunissant quatre candidats en deux phases : une phase de qualification où chaque candidat est qualifié avec une probabilité de 0{,}6 indépendamment des autres, puis une phase finale qui n'a lieu que si au moins deux candidats sont qualifiés, et dont la durée (en minutes) dépend du nombre de qualifiés selon le tableau : 0 qualifié \rightarrow 0 min, 1 \rightarrow 0 min, 2 \rightarrow 5 min, 3 \rightarrow 9 min, 4 \rightarrow 11 min. Le jeu n'est retenu que si la phase finale a lieu dans au moins 80 % des cas ET si sa durée moyenne ne dépasse pas 6 minutes. Le jeu peut-il être retenu ?

Condition 1. Chaque candidat est qualifié ou non de façon indépendante avec la même probabilité 0{,}6 : en notant X le nombre de candidats qualifiés parmi les quatre, X suit la loi binomiale \mathcal{B}(4~;~0{,}6).
La phase finale a lieu dès que X\geqslant2. À la calculatrice, \begin{aligned}P(X\geqslant2) &= 1-P(X=0)-P(X=1) \\ &\approx 1-0{,}0256-0{,}1536 \\ &\approx 0{,}821\end{aligned}
Comme 0{,}821\geqslant0{,}8, la condition 1 est vérifiée.
Condition 2. Notons T la variable aléatoire égale à la durée de la phase finale ; elle prend les valeurs 0, 5, 9 et 11.
\begin{aligned}P(T=11) &= P(X=4) \\ &= 0{,}6^4 \\ &\approx 0{,}1296\end{aligned} \begin{aligned}P(T=9) &= P(X=3) \\ &= \dbinom43\times0{,}6^3\times0{,}4 \\ &\approx 0{,}3456\end{aligned} \begin{aligned}P(T=5) &= P(X=2) \\ &= \dbinom42\times0{,}6^2\times0{,}4^2 \\ &\approx 0{,}3456\end{aligned} \begin{aligned}P(T=0) &= P(X=0)+P(X=1) \\ &\approx 0{,}0256+0{,}1536 \\ &= 0{,}1792\end{aligned}
L'espérance de T vaut \begin{aligned}E(T) &= 0\times0{,}1792+5\times0{,}3456+9\times0{,}3456+11\times0{,}1296 \\ &= 1{,}728+3{,}1104+1{,}4256 \\ &= 6{,}264\end{aligned} minutes.
Comme 6{,}264>6, la durée moyenne dépasse 6 minutes : la condition 2 n'est pas vérifiée.
Donc, la réponse est : la condition 1 est remplie mais pas la condition 2, donc le jeu ne peut pas être retenu en l'état.