Bac Terminale Spé Maths : La Réunion 2023, Sujet 2

PartieA ; 1. Un vendeur de matelas propose deux modèles : RESSORTS et MOUSSE, chaque client n'achetant qu'un seul matelas. On sait que 20 % des clients choisissent un matelas RESSORTS, que 90 % d'entre eux sont satisfaits, et que 82 % de l'ensemble des clients sont satisfaits. On note R l'évènement « le client a acheté un matelas RESSORTS » et S « le client est satisfait ». Compléter l'arbre pondéré décrivant la situation.

L'arbre comporte deux branches initiales P(R)=0{,}2 et P(\overline{R})=0{,}8, puis sur la branche R : P_R(S)=0{,}9 et P_R(\overline{S})=0{,}1 ; sur la branche \overline{R} : P_{\overline{R}}(S)=x et P_{\overline{R}}(\overline{S})=1-x, où x désigne la probabilité d'être satisfait sachant que le matelas n'est pas de type RESSORTS.

PartieA ; 2. Montrer que x=0{,}8.

D'après la formule des probabilités totales appliquée à l'évènement S : P(S) = P(R\cap S)+P(\overline{R}\cap S).
Or \begin{aligned}P(R\cap S) &= P(R)\times P_R(S) \\ &= 0{,}2\times0{,}9 \\ &= 0{,}18\end{aligned} et \begin{aligned}P(\overline{R}\cap S) &= P(\overline{R})\times P_{\overline{R}}(S) \\ &= 0{,}8x\end{aligned}
Comme P(S)=0{,}82, on obtient l'équation 0{,}18+0{,}8x=0{,}82, soit {0{,}8x=0{,}64}, d'où x=0{,}8.

PartieA ; 3. Un client s'avère satisfait de son achat. Quelle est la probabilité qu'il ait acheté un matelas RESSORTS (résultat arrondi au centième) ?

Il s'agit de calculer {P_S(R) = \dfrac{P(R\cap S)}{P(S)} = \dfrac{0{,}18}{0{,}82} = \dfrac{9}{41} \approx} 0,22.

PartieB ; 1.a On interroge 5 clients au hasard et X compte le nombre de clients satisfaits parmi eux. On admet que X suit une loi binomiale : donner ses paramètres.

Chaque client interrogé est soumis à une épreuve à deux issues (satisfait ou non, avec probabilité 0,82 de succès), les 5 tirages étant indépendants : X suit la loi binomiale de paramètres n=5 et p=0{,}82.

PartieB ; 1.b Déterminer la probabilité qu'au maximum trois des cinq clients soient satisfaits (résultat arrondi au millième).

À la calculatrice : P(X\leqslant3) \approx 0,222.

PartieB ; 2.a Soit n un entier naturel non nul. On interroge maintenant n clients, ce choix étant assimilable à un tirage avec remise. On note p_n la probabilité que les n clients soient tous satisfaits. Montrer que p_n = 0{,}82^n.

Chaque client est satisfait de façon indépendante avec la probabilité 0,82. La probabilité que les n clients le soient tous est donc le produit de n facteurs égaux à 0,82, c'est-à-dire p_n = 0{,}82^n.

PartieB ; 2.b Déterminer les entiers naturels n tels que p_n<0{,}01, puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

On résout dans \mathbb{N} l'inéquation {0{,}82^n<0{,}01}. En passant au logarithme népérien (croissant) : n\ln(0{,}82)<\ln(0{,}01).
Comme \ln(0{,}82)<0, l'inégalité change de sens en divisant : n>\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}82)} \approx 23{,}2.
Le plus petit entier convenable est donc n=24 : dès que l'on interroge au moins 24 clients, la probabilité qu'ils soient tous satisfaits devient inférieure à 1 %.

1.On définit la suite (u_n) par u_0=8 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = \dfrac{6u_n+2}{u_n+5}. Calculer u_1.

\begin{aligned}u_1 &= \dfrac{6\times8+2}{8+5} \\ &= \dfrac{50}{13}\end{aligned}

2.aSoit f la fonction définie sur [0~;~+\infty[ par f(x)=\dfrac{6x+2}{x+5} (de sorte que {u_{n+1}=f(u_n)} pour tout n). Montrer que f est strictement croissante sur [0~;~+\infty[, puis en déduire que f(x)>2 pour tout réel x>2.

Le dénominateur x+5 ne s'annule pas sur [0~;~+\infty[ (il vaut au moins 5), donc f y est dérivable, avec f'(x) = \dfrac{6(x+5)-(6x+2)}{(x+5)^2} = \dfrac{28}{(x+5)^2}.
Ce quotient est strictement positif sur [0~;~+\infty[, donc f est strictement croissante sur cet intervalle.
Par ailleurs \begin{aligned}f(2) &= \dfrac{6\times2+2}{2+5} \\ &= \dfrac{14}{7} \\ &= 2\end{aligned} La stricte croissance de f donne alors : pour tout x>2, f(x)>f(2)=2.

2.bDémontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_n>2.

Initialisation : u_0=8>2, la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons u_n>2 pour un entier n fixé. D'après la question précédente, f(u_n)>2, c'est-à-dire u_{n+1}>2 puisque {u_{n+1}=f(u_n)}.
Conclusion : la propriété est initialisée et héréditaire, donc par récurrence, u_n>2 pour tout entier naturel n.

3.On admet que, pour tout entier naturel n, u_{n+1}-u_n = \dfrac{(2-u_n)(u_n+1)}{u_n+5}. Montrer que (u_n) est décroissante, puis en déduire qu'elle converge.

Comme u_n>2 pour tout n (question 2.b), on a {u_n+1>3>0} et {u_n+5>7>0} : le dénominateur et le second facteur du numérateur sont strictement positifs.
Le signe de u_{n+1}-u_n est donc celui de 2-u_n, qui est strictement négatif puisque u_n>2. Ainsi {u_{n+1}-u_n<0} pour tout n : la suite (u_n) est strictement décroissante.
Étant décroissante et minorée par 2, la suite (u_n) converge, vers une limite \ell vérifiant \ell\geqslant2.

4.aOn pose v_n = \dfrac{u_n-2}{u_n+1} pour tout entier naturel n. Calculer v_0.

\begin{aligned}v_0 &= \dfrac{u_0-2}{u_0+1} \\ &= \dfrac{8-2}{8+1} \\ &= \dfrac{6}{9} \\ &= \dfrac{2}{3}\end{aligned}

4.bMontrer que (v_n) est une suite géométrique de raison \dfrac47.

En remplaçant u_{n+1} par son expression : \begin{aligned}v_{n+1} &= \dfrac{u_{n+1}-2}{u_{n+1}+1} \\ &= \dfrac{\frac{6u_n+2}{u_n+5}-2}{\frac{6u_n+2}{u_n+5}+1}\end{aligned}
En réduisant chaque étage au même dénominateur u_n+5 : \begin{aligned}v_{n+1} &= \dfrac{(6u_n+2)-2(u_n+5)}{(6u_n+2)+(u_n+5)} \\ &= \dfrac{4u_n-8}{7u_n+7} \\ &= \dfrac{4(u_n-2)}{7(u_n+1)} \\ &= \dfrac47\,v_n\end{aligned}
La relation v_{n+1} = \dfrac47\,v_n, valable pour tout entier naturel n, montre que (v_n) est géométrique de raison \dfrac47.

4.cDéterminer, en justifiant, la limite de (v_n), puis en déduire celle de (u_n).

Comme (v_n) est géométrique de raison \dfrac47 et de premier terme v_0=\dfrac23, on a v_n = \dfrac23\left(\dfrac47\right)^n pour tout n.
Or {-1<\dfrac47<1}, donc \lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac47\right)^n = 0, et par produit de limites, \lim\limits_{n\to+\infty}v_n = 0.
De v_n = \dfrac{u_n-2}{u_n+1} et u_n+1>3, on tire u_n-2 = v_n(u_n+1), quantité qui tend vers 0. Donc \lim\limits_{n\to+\infty}u_n = 2 : la limite \ell de (u_n) vaut 2.

5.On considère la fonction Python seuil(A) ci-dessous, où A est un réel strictement supérieur à 2, qui simule la suite (u_n) jusqu'à ce que le terme calculé descende à A ou en dessous, et renvoie le rang atteint.

5.Donner, sans justification, la valeur renvoyée par seuil(2.001), puis interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

En simulant la suite terme à terme, on obtient u_{13}\approx2{,}00139 (encore supérieur à 2,001) puis u_{14}\approx2{,}00079 (passé sous 2,001) : la fonction renvoie donc 14.
Cela signifie que u_{14} est le premier terme de la suite strictement inférieur à 2,001.

1.L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère le point A(1 ; 1 ; 0) et le vecteur \vec{u}\begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}, ainsi que la droite (d) passant par A et de vecteur directeur \vec{u}. Déterminer une représentation paramétrique de (d).

Un point M(x~;~y~;~z) appartient à (d) si et seulement si \overrightarrow{AM} = t\vec{u} pour un certain réel t, ce qui donne la représentation paramétrique \left\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 1+2t \\ z = -t \end{array}\right.,\ t\in\mathbb{R}.

2.On considère le plan \mathcal{P} d'équation {x+4y+2z+1=0}. Justifier que la droite (d) et le plan \mathcal{P} sont sécants en un point B de coordonnées (1 ; -1 ; 1).

En substituant les coordonnées paramétriques de (d) dans l'équation de \mathcal{P} : 1+4(1+2t)+2(-t)+1=0, soit 1+4+8t-2t+1=0, c'est-à-dire {6t+6=0}, d'où t=-1.
En reportant t=-1 dans la représentation paramétrique de (d) : x=1, \begin{aligned}y &= 1-2 \\ &= -1\end{aligned} z=1. Le système admet donc une unique solution, ce qui montre que (d) et \mathcal{P} sont sécants, au point B(1~;~-1~;~1).

3.aOn considère le point C(1 ; -1 ; -1). Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan.

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ -1\end{pmatrix} ont la même première et la même deuxième coordonnée mais des troisièmes coordonnées différentes (1\neq-1) : ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Les points A, B et C ne sont donc pas alignés et définissent bien un plan (ABC).

3.bMontrer que le vecteur \vec{n}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} est normal au plan (ABC).

On calcule \begin{aligned}\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB} &= 1\times0+0\times(-2)+0\times1 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC} &= 1\times0+0\times(-2)+0\times(-1) \\ &= 0\end{aligned} Le vecteur \vec{n} est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : il lui est normal.

3.cDéterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

Le plan (ABC) admet \vec{n}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} pour vecteur normal, donc une équation de la forme x+d=0 avec d\in\mathbb{R}. Comme A(1~;~1~;~0) appartient au plan : {1+d=0}, soit d=-1. Une équation cartésienne du plan (ABC) est donc x-1=0.

4.aJustifier que le triangle ABC est isocèle en A.

On a {\text{AB}^2 = \|\overrightarrow{AB}\|^2 = 0^2+(-2)^2+1^2 = 5} et {\text{AC}^2 = \|\overrightarrow{AC}\|^2 = 0^2+(-2)^2+(-1)^2 = 5}. Donc \text{AB}^2=\text{AC}^2, c'est-à-dire AB = AC : le triangle ABC est isocèle en A.

4.bSoit H le milieu du segment [BC]. Calculer la longueur AH puis l'aire du triangle ABC.

Les coordonnées de H sont la moyenne de celles de B et C : H\left(\dfrac{1+1}{2}~;~\dfrac{-1-1}{2}~;~\dfrac{1-1}{2}\right), soit H(1~;~-1~;~0).
On obtient \text{AH}^2 = (1-1)^2+(-1-1)^2+(0-0)^2 = 4, d'où \text{AH}=2.
Le triangle ABC étant isocèle en A, la médiane issue de A est aussi la hauteur relative au côté [BC], donc {\mathcal{A}(\text{ABC}) = \dfrac{\text{BC}\times\text{AH}}{2}}. Or \text{BC}^2 = (1-1)^2+(-1+1)^2+(-1-1)^2 = 4, d'où \text{BC}=2.
Donc, la réponse est \begin{aligned}\mathcal{A}(\text{ABC}) &= \dfrac{2\times2}{2} \\ &= 2\end{aligned} unité d'aire.

5.aSoit D le point de coordonnées (0 ; -1 ; 1). Montrer que la droite (BD) est une hauteur de la pyramide ABCD.

On calcule \overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, donc \overrightarrow{BD} = -\vec{n}. Comme \vec{n} est normal au plan (ABC), \overrightarrow{BD} l'est aussi : la droite (BD), orthogonale au plan de base (ABC) et passant par le sommet D, est donc bien une hauteur de la pyramide ABCD.

5.bEn déduire le volume de la pyramide ABCD (on rappelle que le volume d'une pyramide vaut V=\dfrac13\mathcal{B}\times h, où \mathcal{B} est l'aire d'une base et h la hauteur associée).

On prend pour base le triangle (ABC), d'aire \mathcal{A}(\text{ABC})=2, et pour hauteur la longueur BD.
\text{BD}^2 = \|\overrightarrow{BD}\|^2 = (-1)^2+0^2+0^2 = 1, donc \text{BD}=1.
Donc, la réponse est \begin{aligned}V(\text{ABCD}) &= \dfrac13\times2\times1 \\ &= \dfrac23\end{aligned} unité de volume.

1.On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=2x\text{e}^x. Le nombre de solutions sur \mathbb{R} de l'équation f(x)=-\dfrac{73}{100} est : a. 0 ; b. 1 ; c. 2 ; d. une infinité.

f est dérivable sur \mathbb{R} comme produit de fonctions dérivables, avec f'(x) = 2\text{e}^x+2x\text{e}^x = 2\text{e}^x(1+x), du signe de 1+x.
f est donc strictement décroissante sur ]-\infty~;~-1] et strictement croissante sur [-1~;~+\infty[, avec \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0 (croissances comparées) et \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, et {f(-1) = -2\text{e}^{-1}\approx-0{,}736}.
Sur ]-\infty~;~-1], f est continue et strictement décroissante de 0 (limite, exclue) à {f(-1)\approx-0{,}736} : comme {-0{,}736<-0{,}73<0}, le théorème des valeurs intermédiaires assure une unique solution sur cet intervalle.
Sur [-1~;~+\infty[, f est continue et strictement croissante de {f(-1)\approx-0{,}736} à +\infty : comme {-0{,}736<-0{,}73<+\infty}, on obtient de même une unique solution sur cet intervalle.
Donc, la réponse est c : l'équation admet exactement 2 solutions sur \mathbb{R}.

2.On considère la fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x)=\dfrac{x+1}{\text{e}^x}. La limite de g en -\infty est : a. -\infty ; b. +\infty ; c. 0 ; d. elle n'existe pas.

On écrit g(x) = (x+1)\times\dfrac{1}{\text{e}^x}.
Quand x\to-\infty : x+1\to-\infty et {\dfrac{1}{\text{e}^x} = \text{e}^{-x}\to+\infty}.
Donc, la réponse est a : par produit de limites, \lim\limits_{x\to-\infty}g(x) = -\infty.

3.On considère la fonction h définie sur \mathbb{R} par h(x)=(4x-16)\text{e}^{2x}, de courbe représentative \mathcal{C}_h. On peut affirmer que : a. h est convexe sur \mathbb{R} ; b. \mathcal{C}_h a un point d'inflexion en x=3 ; c. h est concave sur \mathbb{R} ; d. \mathcal{C}_h a un point d'inflexion en x=3{,}5.

h est dérivable deux fois sur \mathbb{R} comme produit de fonctions qui le sont. On calcule h'(x) = 4\text{e}^{2x}+2(4x-16)\text{e}^{2x} = \text{e}^{2x}(8x-28).
En dérivant à nouveau : h''(x) = 2\text{e}^{2x}(8x-28)+8\text{e}^{2x} = \text{e}^{2x}(16x-56+8) = \text{e}^{2x}(16x-48) = 16\text{e}^{2x}(x-3).
Comme \text{e}^{2x}>0 pour tout réel x, le signe de h''(x) est celui de x-3 : h'' s'annule en changeant de signe en x=3, donc la courbe \mathcal{C}_h admet un unique point d'inflexion, d'abscisse x=3.
Donc, la réponse est b.

4.On considère la fonction k définie sur ]0~;~+\infty[ par k(x)=3\ln(x)-x, de courbe \mathcal{C} dans un repère orthonormé, et T la tangente à \mathcal{C} au point d'abscisse x=\text{e}. Une équation de T est : a. y=(3-\text{e})x ; b. {y=\left(\dfrac{3-\text{e}}{\text{e}}\right)x} ; c. y=\left(\dfrac3{\text{e}}-1\right)x+1 ; d. {y=(\text{e}-1)x+1}.

k est dérivable sur ]0~;~+\infty[ avec k'(x) = \dfrac3x-1. On a {k(\text{e}) = 3\ln(\text{e})-\text{e} = 3-\text{e}} et k'(\text{e}) = \dfrac3{\text{e}}-1 = \dfrac{3-\text{e}}{\text{e}}.
L'équation de T s'écrit y = k(\text{e})+k'(\text{e})(x-\text{e}) = (3-\text{e})+\dfrac{3-\text{e}}{\text{e}}(x-\text{e}) = \dfrac{3-\text{e}}{\text{e}}x - (3-\text{e}) + (3-\text{e}) = \dfrac{3-\text{e}}{\text{e}}x.
Donc, la réponse est b (la droite T passe par l'origine).

5.On considère l'équation {[\ln(x)]^2+10\ln(x)+21=0}, d'inconnue x\in\ ]0~;~+\infty[. Le nombre de solutions de cette équation est : a. 0 ; b. 1 ; c. 2 ; d. une infinité.

On pose X=\ln(x) : l'équation devient X^2+10X+21=0, un polynôme du second degré de discriminant \Delta = 10^2-4\times21 = 100-84 = 16 = 4^2>0, qui admet donc deux racines réelles distinctes.
Ces racines sont \begin{aligned}X_1 &= \dfrac{-10-4}{2} \\ &= -7\end{aligned} et \begin{aligned}X_2 &= \dfrac{-10+4}{2} \\ &= -3\end{aligned}
Chaque valeur de X correspond à une unique valeur de x=\text{e}^X (la fonction exponentielle étant une bijection de \mathbb{R} vers ]0~;~+\infty[), donc x_1=\text{e}^{-7} et x_2=\text{e}^{-3} sont les deux solutions distinctes de l'équation initiale.
Donc, la réponse est c.