Bac Terminale Spé Maths : Polynésie française 2023, Sujet 1

PartieA : Dans une ville, les cyclistes se répartissent en deux groupes : ceux qui roulent pour leur travail et ceux qui roulent seulement pour les loisirs. Une enquête indique que 21 % des cyclistes ont moins de 35 ans ; parmi eux, 68 % roulent uniquement pour les loisirs (les autres pour le travail). Parmi les 35 ans ou plus, 20 % roulent pour le travail (les autres pour les loisirs). On note J : « la personne a moins de 35 ans » et T : « la personne roule pour le travail ». 1. Calculer la probabilité qu'un cycliste interrogé au hasard ait moins de 35 ans et roule pour le travail (un arbre pondéré peut aider).

L'énoncé donne P(J)=0{,}21 donc P(\overline{J})=0{,}79, et comme 68 % des moins de 35 ans roulent seulement pour les loisirs, la proportion restante roule pour le travail : \begin{aligned}P_J(T) &= 1-0{,}68 \\ &= 0{,}32\end{aligned}
L'arbre pondéré part de J et \overline{J}, puis se subdivise en T et \overline{T} avec les probabilités conditionnelles P_J(T)=0{,}32, {P_J(\overline{T})=0{,}68}, P_{\overline{J}}(T)=0{,}20, P_{\overline{J}}(\overline{T})=0{,}80.
P(J\cap T) = P(J)\times P_J(T) = 0{,}21\times0{,}32 = 0,0672.

PartieA ; 2. Calculer la valeur exacte de P(T).

On calcule de même \begin{aligned}P(\overline{J}\cap T) &= P(\overline{J})\times P_{\overline{J}}(T) \\ &= 0{,}79\times0{,}20 \\ &= 0{,}158\end{aligned}
D'après la formule des probabilités totales appliquée au système complet \{J,\overline{J}\} : P(T) = P(J\cap T) + P(\overline{J}\cap T) = 0{,}0672+0{,}158 = 0,2252.

PartieA ; 3. On interroge un cycliste qui roule pour le travail. Montrer que la probabilité qu'il ait moins de 35 ans vaut 0,30 à 10^{-2} près.

Il s'agit de la probabilité conditionnelle \begin{aligned}P_T(J) &= \dfrac{P(J\cap T)}{P(T)} \\ &= \dfrac{0{,}0672}{0{,}2252} \\ &\approx 0{,}2984\end{aligned} Donc, la réponse est P_T(J)\approx 0,30 au centième près.

PartieB : Parmi les cyclistes qui roulent pour le travail, on admet que 30 % ont moins de 35 ans. On interroge, en tirage aléatoire avec remise, un échantillon de 120 d'entre eux, et X compte le nombre de personnes de moins de 35 ans dans cet échantillon. 1. Donner la loi suivie par X et ses paramètres.

Les 120 tirages sont indépendants et identiques (tirage avec remise), chacun ayant deux issues (« moins de 35 ans » ou non) avec probabilité de succès 0{,}30 à chaque fois. Donc, la réponse est que X suit la loi binomiale \mathcal{B}(120~;~0{,}30).

PartieB ; 2. Calculer la probabilité qu'au moins 50 des 120 personnes de l'échantillon aient moins de 35 ans (arrondir au millième).

À la calculatrice, P(X\geqslant50) = 1-P(X\leqslant49) \approx 1-0{,}9956 \approx 0,004 (soit 0,0044 arrondi au dix-millième).

1.a.L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère la droite d_1 passant par H(2 ; 3 ; 0) de vecteur directeur \vec{u}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}, et la droite d_2 de représentation paramétrique {x=2k-3}, y=k, z=5 (k\in\mathbb{R}). Donner un vecteur directeur \vec{v} de d_2.

Les coefficients de k dans les coordonnées de d_2 fournissent un vecteur directeur : \vec{v}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} (obtenu en prenant k=0 puis k=1, ce qui donne les points (-3;0;5) et (-1;1;5), de vecteur \vec{v}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}).

1.b.Montrer que d_1 et d_2 ne sont pas parallèles.

Les vecteurs \vec{u}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} ne sont clairement pas colinéaires (il n'existe pas de réel k tel que \vec{v}=k\vec{u}, car la troisième coordonnée de \vec{v} est nulle alors que celle de \vec{u} ne l'est pas). Donc, la réponse est que d_1 et d_2 ne sont pas parallèles.

1.c.Montrer que d_1 et d_2 ne sont pas sécantes.

Une représentation paramétrique de d_1 est x=2+t, y=3-t, z=t (t\in\mathbb{R}). Un point commun à d_1 et d_2 vérifierait {2+t=2k-3}, 3-t=k et t=5.
La troisième équation donne t=5, la deuxième donne \begin{aligned}k &= 3-5 \\ &= -2\end{aligned} En reportant dans la première : {2+5=7} d'une part, et 2\times(-2)-3=-7 d'autre part : 7\neq-7, contradiction.
Donc, la réponse est que d_1 et d_2 ne sont pas sécantes.

1.d.Quelle est la position relative des droites d_1 et d_2 ?

Deux droites non parallèles et non sécantes ne peuvent pas être coplanaires. Donc, la réponse est que d_1 et d_2 sont non coplanaires.

2.a.Vérifier que le vecteur \vec{w}\begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} est orthogonal à \vec{u} et à \vec{v}.

On calcule les produits scalaires : \begin{aligned}\vec{w}\cdot\vec{u} &= -1\times1+2\times(-1)+3\times1 \\ &= -1-2+3 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}\vec{w}\cdot\vec{v} &= -1\times2+2\times1+3\times0 \\ &= -2+2+0 \\ &= 0\end{aligned} Donc, la réponse est que \vec{w} est orthogonal à \vec{u} et à \vec{v}.

2.b.Soit P le plan passant par H et dirigé par \vec{u} et \vec{w} ; on admet que P a pour équation cartésienne 5x+4y-z-22=0. Montrer que P coupe d_2 au point M(3 ; 3 ; 5).

Un point de d_2 (de coordonnées {x=2k-3}, y=k, z=5) appartient à P si 5(2k-3)+4k-5-22=0, soit {10k-15+4k-27=0}, c'est-à-dire 14k=42 donc k=3.
Pour k=3, on obtient \begin{aligned}x &= 2\times3-3 \\ &= 3\end{aligned} y=3, z=5. Donc, la réponse est que le point d'intersection est bien M(3 ; 3 ; 5).

3.a.Soit \Delta la droite de vecteur directeur \vec{w} passant par M, de représentation paramétrique x=-r+3, y=2r+3, {z=3r+5} (r\in\mathbb{R}). Justifier que \Delta et d_1 sont perpendiculaires en un point L dont on donnera les coordonnées.

Les vecteurs directeurs \vec{w} et \vec{u} de \Delta et d_1 sont orthogonaux (question 2.a), donc si ces deux droites se coupent, elles sont perpendiculaires.
Un point commun vérifierait (avec la représentation x=2+t, y=3-t, z=t de d_1) : 2+t=-r+3, 3-t=2r+3, t=3r+5.
En reportant t=3r+5 dans la deuxième équation : \begin{aligned}3-(3r+5) = 2r+3 &\iff -3r-2 = 2r+3 \\ &\iff -5 = 5r \\ &\iff r = -1 \end{aligned} d'où \begin{aligned}t &= 3\times(-1)+5 \\ &= 2\end{aligned}
On vérifie la première équation : {2+2=4} et -(-1)+3=4 : l'égalité est vérifiée, donc les droites se coupent bien.
En remplaçant t=2 dans les coordonnées de d_1, on obtient le point d'intersection L(4 ; 1 ; 2). Donc, la réponse est que \Delta et d_1 sont perpendiculaires au point L(4 ; 1 ; 2).

3.b.Expliquer pourquoi \Delta résout le problème posé (trouver une droite perpendiculaire commune à d_1 et d_2).

La droite \Delta passe par M, point d'intersection avec d_2, avec un vecteur directeur \vec{w} orthogonal à celui de d_2 : \Delta est donc perpendiculaire à d_2. Elle passe aussi par L, point d'intersection avec d_1, avec \vec{w} orthogonal à \vec{u} : \Delta est donc aussi perpendiculaire à d_1. Donc, la réponse est que \Delta est bien la perpendiculaire commune à d_1 et d_2 recherchée.

1.Affirmation : la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=e^x-x est convexe. Vrai ou faux ?

f est deux fois dérivable sur \mathbb{R}, avec f'(x)=e^x-1 puis f''(x)=e^x. Comme e^x>0 pour tout réel x, f'' est positive sur \mathbb{R}. Donc, la réponse est que l'affirmation est vraie : f est convexe sur \mathbb{R}.

2.Affirmation : l'équation {(2e^x-6)(e^x+2)=0} admet \ln(3) comme unique solution réelle. Vrai ou faux ?

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul : 2e^x-6=0 ou e^x+2=0.
Comme e^x>0 pour tout x, on a {e^x+2>2>0} : cette équation n'a donc aucune solution.
L'autre équation donne \begin{aligned}2e^x = 6 &\iff e^x = 3 \\ &\iff x = \ln(3) \end{aligned} (par stricte croissance de la fonction exponentielle, cette solution est unique).
Donc, la réponse est que l'affirmation est vraie.

3.Affirmation : \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{2x}-1}{e^x-x}=0. Vrai ou faux ?

On factorise par le terme dominant de chaque membre : \begin{aligned}\dfrac{e^{2x}-1}{e^x-x} &= \dfrac{e^{2x}\left(1-e^{-2x}\right)}{e^x\left(1-xe^{-x}\right)} \\ &= e^x\times\dfrac{1-e^{-2x}}{1-xe^{-x}}\end{aligned}
Or \displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-2x}=0 donc le numérateur de la fraction tend vers 1 ; et {xe^{-x}=\dfrac{x}{e^x}\to0} par croissances comparées, donc le dénominateur tend aussi vers 1.
Le quotient tend donc vers 1, et comme \displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty, on obtient \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{2x}-1}{e^x-x}=+\infty.
Donc, la réponse est que l'affirmation est fausse (la limite vaut +\infty, pas 0).

4.Affirmation : avec f(x)=(6x+5)e^{3x} et F(x)=(2x+1)e^{3x}+4 sur \mathbb{R}, F est la primitive de f qui vaut 5 en x=0. Vrai ou faux ?

F est dérivable sur \mathbb{R} comme produit et somme de fonctions dérivables : F'(x) = 2e^{3x}+3(2x+1)e^{3x} = e^{3x}\big(2+6x+3\big) = (6x+5)e^{3x} = f(x).
De plus \begin{aligned}F(0) &= (2\times0+1)e^{0}+4 \\ &= 1+4 \\ &= 5\end{aligned}
Donc, la réponse est que l'affirmation est vraie : F est bien la primitive de f sur \mathbb{R} valant 5 en 0.

5.On considère une fonction Python mystere(L) qui parcourt une liste L, cumule la somme S de ses éléments, puis renvoie S divisée par la longueur de L (la moyenne des éléments). Affirmation : mystere([1, 9, 9, 5, 0, 3, 6, 12, 0, 5]) renvoie 50. Vrai ou faux ?

La somme des dix éléments de la liste vaut 1+9+9+5+0+3+6+12+0+5=50, et la fonction renvoie cette somme divisée par la longueur de la liste (ici 10), soit \dfrac{50}{10}=5. Donc, la réponse est que l'affirmation est fausse (le résultat renvoyé vaut 5, pas 50).

1.a.Soit (u_n) la suite définie par u_0=-1 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=0{,}9u_n-0{,}3. Démontrer par récurrence que, pour tout {n\in\mathbb{N}}, {u_n = 2\times0{,}9^n-3}.

Initialisation : pour n=0, \begin{aligned}2\times0{,}9^0-3 &= 2-3 \\ &= -1 \\ &= u_0\end{aligned} La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons que pour un entier n fixé, u_n=2\times0{,}9^n-3. Alors \begin{aligned}u_{n+1} &= 0{,}9u_n-0{,}3 \\ &= 0{,}9\left(2\times0{,}9^n-3\right)-0{,}3 \\ &= 2\times0{,}9^{n+1}-2{,}7-0{,}3 \\ &= 2\times0{,}9^{n+1}-3\end{aligned} La propriété est vraie au rang n+1.
Donc, la réponse est que, par le principe de récurrence, pour tout {n\in\mathbb{N}}, {u_n = 2\times0{,}9^n-3}.

1.b.En déduire que, pour tout {n\in\mathbb{N}}, {-3 < u_n \leqslant -1}.

Comme 0<0{,}9<1, on a pour tout {n\in\mathbb{N}} : 0 < 0{,}9^n \leqslant 1.
En multipliant par 2 (positif) : {0 < 2\times0{,}9^n \leqslant 2}, puis en retranchant 3 à chaque membre : -3 < 2\times0{,}9^n-3 \leqslant -1.
Donc, la réponse est que, pour tout {n\in\mathbb{N}}, {-3 < u_n \leqslant -1}.

1.c.Démontrer que la suite (u_n) est strictement décroissante.

Pour tout {n\in\mathbb{N}} : \begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \left(0{,}9u_n-0{,}3\right)-u_n \\ &= -0{,}1u_n-0{,}3\end{aligned}
D'après la question précédente, {-3 < u_n \leqslant -1}, donc en multipliant par -0{,}1 (négatif, ce qui inverse les inégalités) : 0{,}1 \leqslant -0{,}1u_n < 0{,}3.
En retranchant 0{,}3 à chaque membre : -0{,}2 \leqslant -0{,}1u_n-0{,}3 < 0, donc {u_{n+1}-u_n < 0} pour tout n.
Donc, la réponse est que la suite (u_n) est strictement décroissante.

1.d.Démontrer que la suite (u_n) converge et préciser sa limite.

La suite (u_n) est décroissante et minorée par -3 (question 1.b) : elle converge donc vers une limite réelle. Comme u_n=2\times0{,}9^n-3 et \displaystyle\lim_{n\to+\infty}0{,}9^n=0 (car 0<0{,}9<1), on obtient \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=-3. Donc, la réponse est que la suite (u_n) converge vers -3.

2.a.On étudie la fonction g définie sur {]-3~;~-1]} par g(x)=\ln(0{,}5x+1{,}5)-x. Justifier les informations données par le tableau de variations de g (limites, sens de variation, valeur en -1).

Pour x\in]-3~;~-1] : -1{,}5 < 0{,}5x \leqslant -0{,}5, donc 0 < 0{,}5x+1{,}5 \leqslant 1 : g est bien définie (et dérivable) sur cet intervalle.
g'(x) = \dfrac{0{,}5}{0{,}5x+1{,}5}-1 = \dfrac{0{,}5-(0{,}5x+1{,}5)}{0{,}5x+1{,}5} = \dfrac{-0{,}5x-1}{0{,}5x+1{,}5}. Le dénominateur étant strictement positif, g'(x) a le signe de -0{,}5x-1, qui s'annule pour x=-2, est positif pour x<-2 et négatif pour x>-2.
Donc g est strictement croissante sur ]-3~;~-2] puis strictement décroissante sur [-2~;~-1].
En x\to-3 (par valeurs supérieures), 0{,}5x+1{,}5\to0^+ donc {\ln(0{,}5x+1{,}5)\to-\infty}, d'où \displaystyle\lim_{x\to-3}g(x)=-\infty.
Enfin \begin{aligned}g(-1) &= \ln(-0{,}5+1{,}5)-(-1) \\ &= \ln(1)+1 \\ &= 0+1 \\ &= 1\end{aligned} et \begin{aligned}g(-2) &= \ln(-1+1{,}5)+2 \\ &= \ln(0{,}5)+2 \\ &= 2-\ln(2) \\ &\approx 1{,}307\end{aligned}

2.b.En déduire que l'équation g(x)=0 admet une unique solution \alpha dans {]-3~;~-1]}, et donner un encadrement d'amplitude 10^{-3}.

Sur ]-3~;~-2], g est continue et strictement croissante, de limite -\infty en -3 jusqu'à g(-2)=2-\ln(2)\approx1{,}307>0 : d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g(x)=0 admet une unique solution \alpha sur cet intervalle.
Sur [-2~;~-1], g est décroissante avec g(-2)\approx1{,}307>0 et g(-1)=1>0 : g ne s'annule pas sur cet intervalle.
Donc, la réponse est que l'équation g(x)=0 admet une unique solution \alpha sur {]-3~;~-1]}, et à la calculatrice on obtient l'encadrement {-2{,}889 < \alpha < -2{,}888}.

3.a.On considère la suite (v_n) définie pour tout {n\in\mathbb{N}} par v_n = \ln(0{,}5u_n+1{,}5). En utilisant la formule de la question 1.a, démontrer que (v_n) est arithmétique de raison \ln(0{,}9).

En remplaçant u_n par son expression 2\times0{,}9^n-3 : \begin{aligned}0{,}5u_n+1{,}5 &= 0{,}5\left(2\times0{,}9^n-3\right)+1{,}5 \\ &= 0{,}9^n-1{,}5+1{,}5 \\ &= 0{,}9^n\end{aligned}
Donc \begin{aligned}v_n &= \ln\left(0{,}9^n\right) \\ &= n\ln(0{,}9)\end{aligned}
Pour tout {n\in\mathbb{N}}, \begin{aligned}v_{n+1}-v_n &= (n+1)\ln(0{,}9)-n\ln(0{,}9) \\ &= \ln(0{,}9)\end{aligned} une constante.
Donc, la réponse est que (v_n) est arithmétique de raison \ln(0{,}9) (et de premier terme v_0=0).

3.b.Démontrer que, pour tout entier naturel n, u_n=v_n équivaut à g(u_n)=0.

Par définition, \begin{aligned}u_n = v_n &\iff u_n = \ln(0{,}5u_n+1{,}5) \\ &\iff \ln(0{,}5u_n+1{,}5)-u_n = 0 \\ &\iff g(u_n) = 0 \end{aligned} (puisque g est précisément définie par g(x)=\ln(0{,}5x+1{,}5)-x). Donc, la réponse est que \begin{aligned}u_n = v_n &\iff g(u_n) = 0 \end{aligned}.

3.c.Démontrer qu'il n'existe aucun rang {k\in\mathbb{N}} pour lequel u_k=\alpha.

Supposons qu'il existe {k\in\mathbb{N}} tel que u_k=\alpha, c'est-à-dire 2\times0{,}9^k-3=\alpha. Comme -2{,}889<\alpha<-2{,}888, cela donnerait 0{,}111 < 2\times0{,}9^k < 0{,}112, soit 0{,}0555 < 0{,}9^k < 0{,}056.
En appliquant le logarithme népérien (strictement croissant) : {\ln(0{,}0555) < k\ln(0{,}9) < \ln(0{,}056)}. Comme \ln(0{,}9)<0, diviser inverse les inégalités : \dfrac{\ln(0{,}056)}{\ln(0{,}9)} < k < \dfrac{\ln(0{,}0555)}{\ln(0{,}9)}.
Le calcul donne \dfrac{\ln(0{,}056)}{\ln(0{,}9)}\approx27{,}36 et \dfrac{\ln(0{,}0555)}{\ln(0{,}9)}\approx27{,}44 : il faudrait donc un entier k strictement compris entre 27,36 et 27,44, ce qui est impossible.
Donc, la réponse est qu'il n'existe aucun rang {k\in\mathbb{N}} tel que u_k=\alpha.

3.d.En déduire qu'il n'existe aucun rang {k\in\mathbb{N}} pour lequel v_k=u_k.

D'après la question 3.b, \begin{aligned}u_k = v_k &\iff g(u_k) = 0 \end{aligned} ce qui équivaut (par définition de \alpha comme unique solution de g(x)=0 sur {]-3~;~-1]}, intervalle auquel appartient u_k) à u_k=\alpha. Or la question 3.c montre qu'aucun rang k ne vérifie u_k=\alpha. Donc, la réponse est qu'il n'existe aucun rang {k\in\mathbb{N}} tel que v_k=u_k.