Bac Terminale Spé Maths : Asie 2024, Sujet 2

PartieA ; 1. Soit f(x) = x^2-x\ln(x) sur ]0~;~+\infty[. Déterminer les limites de f en 0 et en +\infty.

En 0 : x^2\to0 et, par croissances comparées, x\ln(x)\to0 : \lim\limits_{x\to0}f(x) = 0.
En +\infty : f(x) = x^2\left(1-\dfrac{\ln(x)}{x}\right), avec \dfrac{\ln(x)}{x}\to0 : le facteur entre parenthèses tend vers 1, et x^2\to+\infty, donc \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = +\infty.

PartieA ; 2. Calculer f'(x) pour tout réel x>0.

f'(x) = 2x-\ln(x)-x\times\dfrac1x = 2x-1-\ln(x).

PartieA ; 3. Montrer que f''(x) = \dfrac{2x-1}{x}.

f''(x) = 2-\dfrac1x = \dfrac{2x-1}{x}.

PartieA ; 4. Étudier les variations de f' sur ]0~;~+\infty[ et dresser son tableau de variations (avec la valeur exacte de l'extremum).

Sur ]0~;~+\infty[, x>0, donc f''(x) est du signe de 2x-1 : négatif sur \left]0~;~\dfrac12\right[, positif au-delà.
f' décroît puis croît, avec un minimum en x=\dfrac12 : f'\left(\dfrac12\right) = 1-1-\ln\left(\dfrac12\right) = \ln(2).

PartieA ; 5. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur ]0~;~+\infty[.

Le minimum de f' vaut \ln(2)>0 : f'(x)>0 sur tout l'intervalle, donc f est strictement croissante sur ]0~;~+\infty[.

PartieB ; 1. Soit g(x) = x-\ln(x) sur ]0~;~+\infty[. Calculer g'(x) et dresser le tableau des variations de g.

g'(x) = 1-\dfrac1x = \dfrac{x-1}{x}, du signe de x-1 : g décroît sur ]0~;~1] puis croît sur [1~;~+\infty[, avec un minimum \begin{aligned}g(1) &= 1-0 \\ &= 1\end{aligned}

PartieB ; 2. Sachant que 1 est l'unique solution de g(x)=1, résoudre l'équation f(x)=x sur ]0~;~+\infty[.

\begin{aligned}f(x) = x &\iff x^2-x\ln(x)-x = 0 \\ &\iff x\big(x-1-\ln(x)\big) = 0 \end{aligned} comme x>0, cela équivaut à {x-\ln(x) = 1}, soit g(x)=1.
L'unique solution est donc x=1.

PartieC ; 1. Soit (u_n) définie par u_0=\dfrac12 et u_{n+1}=f(u_n). Montrer par récurrence que, pour tout n, {\dfrac12\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant1}.

Initialisation : \begin{aligned}u_1 &= f\left(\dfrac12\right) \\ &= \dfrac14+\dfrac{\ln(2)}{2} \\ &\approx 0{,}597\end{aligned} donc {\dfrac12\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant1} : vrai au rang 0.
Hérédité : si {\dfrac12\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant1}, la stricte croissance de f donne {f\left(\dfrac12\right)\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant f(1)=1} ; comme \begin{aligned}f\left(\dfrac12\right) &\approx 0{,}6 \\ &\geqslant \dfrac12\end{aligned} l'encadrement est vrai au rang n+1.
Conclusion : par récurrence, pour tout n\in\mathbb{N}, {\dfrac12\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant1}.

PartieC ; 2. Justifier que la suite (u_n) converge.

(u_n) est croissante et majorée par 1 : elle converge vers une limite \ell avec {\dfrac12\leqslant\ell\leqslant1}.

PartieC ; 3. Sachant que la limite vérifie f(\ell)=\ell, déterminer \ell.

D'après la partie B, l'équation f(x)=x a pour unique solution 1 sur ]0~;~+\infty[ : \ell=1.

1.Léa estime que si elle gagne une partie, elle gagne la suivante dans 70 % des cas ; si elle perd, elle gagne la suivante avec probabilité 0,2 ; et g_1=0{,}5. Quelle est la valeur de P_{G_1}(D_2) ?

Si Léa gagne la première partie, elle perd la deuxième dans 1-0{,}7 = 0{,}3 des cas : P_{G_1}(D_2) = 0{,}3.

2.Compléter l'arbre de probabilités des deux premières parties.

P(G_1)=0{,}5, P(D_1)=0{,}5 ; P_{G_1}(G_2)=0{,}7, P_{G_1}(D_2)=0{,}3 ; P_{D_1}(G_2)=0{,}2, P_{D_1}(D_2)=0{,}8.

3.Calculer g_2.

Par les probabilités totales : \begin{aligned}g_2 &= 0{,}5\times0{,}7+0{,}5\times0{,}2 \\ &= 0{,}35+0{,}1 \\ &= 0{,}45\end{aligned}

4.aCompléter l'arbre pour les parties n et n+1.

Depuis G_n (probabilité g_n) : P_{G_n}(G_{n+1})=0{,}7, P_{G_n}(D_{n+1})=0{,}3 ; depuis D_n (probabilité 1-g_n) : P_{D_n}(G_{n+1})=0{,}2, P_{D_n}(D_{n+1})=0{,}8.

4.bJustifier que, pour tout entier naturel n non nul, g_{n+1} = 0{,}5g_n+0{,}2.

\{G_n,D_n\} forme une partition : \begin{aligned}g_{n+1} &= g_n\times0{,}7+(1-g_n)\times0{,}2 \\ &= 0{,}7g_n+0{,}2-0{,}2g_n \\ &= 0{,}5g_n+0{,}2\end{aligned}

5.aOn pose v_n = g_n-0{,}4. Montrer que (v_n) est géométrique, en précisant premier terme et raison.

\begin{aligned}v_{n+1} &= g_{n+1}-0{,}4 \\ &= 0{,}5g_n-0{,}2 \\ &= 0{,}5(v_n+0{,}4)-0{,}2 \\ &= 0{,}5v_n\end{aligned} (v_n) est géométrique de raison 0,5, de premier terme \begin{aligned}v_1 &= 0{,}5-0{,}4 \\ &= 0{,}1\end{aligned}

5.bMontrer que, pour tout n non nul, {g_n = 0{,}1\times0{,}5^{n-1}+0{,}4}.

\begin{aligned}v_n &= v_1\times0{,}5^{n-1} \\ &= 0{,}1\times0{,}5^{n-1}\end{aligned} donc \begin{aligned}g_n &= v_n+0{,}4 \\ &= 0{,}1\times0{,}5^{n-1}+0{,}4\end{aligned}

6.Étudier les variations de la suite (g_n).

g_{n+1}-g_n = 0{,}1\times0{,}5^{n-1}(0{,}5-1) = -0{,}1\times0{,}5^n < 0 : la suite (g_n) est strictement décroissante.

7.Donner la limite de la suite (g_n) et interpréter.

Comme {-1<0{,}5<1}, 0{,}5^{n-1}\to0 : \lim\limits_{n\to+\infty}g_n = 0{,}4. Sur le long terme, Léa gagne environ 40 % de ses parties.

8.Déterminer, par le calcul, le plus petit entier n tel que g_n-0{,}4\leqslant0{,}001.

\begin{aligned}0{,}1\times0{,}5^{n-1} \leqslant 0{,}001 &\iff 0{,}5^{n-1} \leqslant 0{,}01 \\ &\iff (n-1)\ln(0{,}5) \leqslant \ln(0{,}01) \end{aligned}
\begin{aligned}n-1 &\geqslant \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}5)} \\ &\approx 6{,}64\end{aligned} (le sens change car \ln(0{,}5)<0), donc n\geqslant7{,}64 : le plus petit entier est n=8.

9.Compléter la fonction Python seuil(e) (initialisée avec g=0.5, n=1) pour qu'elle renvoie le plus petit rang à partir duquel g_n\leqslant0{,}4+e.

Ligne 4 : while g > 0.4 + e : ; ligne 6 : n = n + 1.

Affirmation 1. Si, pour tout n, {\dfrac12 < u_n \leqslant \dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1}}, alors \lim u_n = \dfrac12. Vraie ou fausse ?

En factorisant par n^2 : \begin{aligned}\dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1} &= \dfrac{3+\frac4n+\frac{7}{n^2}}{6+\frac{1}{n^2}} \to \dfrac36 \\ &= \dfrac12\end{aligned}
(u_n) est encadrée par deux suites de limite \dfrac12 : par le théorème des gendarmes, \lim u_n = \dfrac12. L'affirmation est vraie.

Affirmation 2. La dérivée h' d'une fonction h est représentée graphiquement sur [-4~;~4]. La fonction h est convexe sur [-1~;~3]. Vraie ou fausse ?

Sur [-1~;~3], la courbe de h' n'est pas croissante (elle monte puis redescend) : h n'est donc pas convexe sur tout cet intervalle. L'affirmation est fausse.

Affirmation 3. Un code est composé de 4 chiffres (répétitions permises) suivis de 2 lettres distinctes parmi A, B, C. Il existe 20 634 codes contenant au moins un 0. Vraie ou fausse ?

Nombre total de codes : {10^4\times3\times2 = 60\,000}. Codes sans aucun 0 : {9^4\times3\times2 = 39\,366}.
Codes avec au moins un 0 : {60\,000-39\,366 = 20\,634}. L'affirmation est vraie.

Affirmation 4. La fonction f(x) = x\ln(x) est solution sur ]0~;~+\infty[ de l'équation différentielle xy'-y=x. Vraie ou fausse ?

f'(x) = \ln(x)+1, donc xf'(x)-f(x) = x\ln(x)+x-x\ln(x) = x : l'équation est bien vérifiée. L'affirmation est vraie.

PartieA ; 1. Dans un repère orthonormé, (P) : 2x+2y-3z+1=0, et A(1 ; 0 ; 1), B(2 ; -1 ; 1), C(-4 ; -6 ; 5). Vérifier pour chaque point s'il appartient à (P).

A : 2+0-3+1 = 0 : A appartient à (P). B : 4-2-3+1 = 0 : B appartient à (P).
C : \begin{aligned}-8-12-15+1 &= -34 \\ &\neq 0\end{aligned} C n'appartient pas à (P).

PartieA ; 2. Montrer que C′(0 ; -2 ; -1) est le projeté orthogonal de C sur le plan (P).

\overrightarrow{CC'}\begin{pmatrix}4 \\ 4 \\ -6\end{pmatrix} = 2\overrightarrow{n}, où \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ -3\end{pmatrix} est normal à (P) : la droite (CC′) est orthogonale à (P).
C′ vérifie l'équation de (P) : {0-4+3+1 = 0}. ✓ C′ est donc bien le projeté orthogonal de C sur (P).

PartieA ; 3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} dirige la droite passant par A : x=1+t, y=-t, z=1, avec t\in\mathbb{R}.

PartieA ; 4. Déterminer les coordonnées du point H de (AB) tel que (AB) et (HC) soient orthogonales.

Pour le point de paramètre t : \overrightarrow{CH}\begin{pmatrix}5+t \\ 6-t \\ -4\end{pmatrix}, et \begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CH} &= (5+t)-(6-t) \\ &= 2t-1\end{aligned}
L'orthogonalité impose 2t-1=0, soit t=\dfrac12 : H(1{,}5~;~-0{,}5~;~1) (c'est le milieu de [AB]).

PartieB ; 1. On admet \overrightarrow{HC}\begin{pmatrix}-\dfrac{11}{2} \\ -\dfrac{11}{2} \\ 4\end{pmatrix}. Calculer la valeur exacte de \|\overrightarrow{HC}\|.

\begin{aligned}\|\overrightarrow{HC}\| &= \sqrt{\dfrac{121}{4}+\dfrac{121}{4}+16} \\ &= \sqrt{\dfrac{153}{2}}\end{aligned}

PartieB ; 2. Déterminer la valeur exacte de l'aire S du triangle ABC.

H est le pied de la hauteur issue de C : \begin{aligned}S &= \dfrac{AB\times HC}{2} \\ &= \dfrac{\sqrt2\times\sqrt{\dfrac{153}{2}}}{2} \\ &= \dfrac{\sqrt{153}}{2}\end{aligned}

PartieC ; 1. On admet HC′ =\sqrt{\dfrac{17}{2}}. Soit \alpha = \widehat{CHC'}. Déterminer \cos(\alpha).

(CC′) est orthogonale à (P), donc à (C′H) : le triangle CHC′ est rectangle en C′.
\begin{aligned}\cos(\alpha) &= \dfrac{HC'}{HC} \\ &= \dfrac{\sqrt{\dfrac{17}{2}}}{\sqrt{\dfrac{153}{2}}} \\ &= \sqrt{\dfrac{17}{153}} \\ &= \sqrt{\dfrac19} \\ &= \dfrac13\end{aligned}

PartieC ; 2.a Montrer que les droites (C′H) et (AB) sont perpendiculaires.

(CH) est orthogonale à (AB) (définition de H), et (CC′), orthogonale au plan (P), est orthogonale à (AB) qui y est incluse.
(AB) est donc orthogonale à deux droites sécantes du plan (CC′H), donc à ce plan tout entier, et en particulier à (C′H). Ces deux droites étant sécantes en H : elles sont perpendiculaires.

PartieC ; 2.b Calculer S', l'aire du triangle ABC′ (valeur exacte).

[C′H] est la hauteur issue de C′ relative à la base [AB] : S' = \dfrac{AB\times C'H}{2} = \dfrac{\sqrt2\times\sqrt{\dfrac{17}{2}}}{2} = \dfrac{\sqrt{17}}{2}.

PartieC ; 2.c Donner une relation entre S, S' et \cos(\alpha).

\begin{aligned}\dfrac{S'}{S} &= \dfrac{C'H}{CH} \\ &= \cos(\alpha)\end{aligned} autrement dit S' = S\cos(\alpha) : l'aire du triangle projeté est celle du triangle initial multipliée par le cosinus de l'angle entre les deux plans.