Bac Terminale Spé Maths : Métropole 2024, Sujet 2

1.À l'issue d'un examen, 91,7 % des étudiants ont répondu « oui » à la question « Pensez-vous avoir réussi ? » ; 65 % des étudiants ayant échoué ont répondu « non », et 98 % de ceux ayant réussi ont répondu « oui ». Préciser P(Q) et P_{\overline{R}}(\overline{Q}).

P(Q) = 0{,}917 (proportion de « oui ») et P_{\overline{R}}(\overline{Q}) = 0{,}65 (probabilité d'avoir répondu « non » sachant qu'on a échoué).

2.aEn notant x = P(R), compléter l'arbre pondéré.

P(R)=x, P(\overline{R})=1-x ; P_R(Q)=0{,}98, P_R(\overline{Q})=0{,}02 ; P_{\overline{R}}(Q)=0{,}35, {P_{\overline{R}}(\overline{Q})=0{,}65}.

2.bMontrer que x=0{,}9.

Par les probabilités totales : \begin{aligned}P(Q) &= 0{,}98x+0{,}35(1-x) \\ &= 0{,}63x+0{,}35\end{aligned}
\begin{aligned}0{,}63x+0{,}35 = 0{,}917 &\iff 0{,}63x = 0{,}567 \\ &\iff x = 0{,}9 \end{aligned}

3.L'étudiant interrogé a répondu « oui ». Quelle est la probabilité qu'il ait réussi l'examen (à 10^{-3} près) ?

P_Q(R) = \dfrac{P(Q\cap R)}{P(Q)} = \dfrac{0{,}9\times0{,}98}{0{,}917} \approx 0,962.

4.La note N suit la loi binomiale de paramètres (20 ; 0,615). À partir de quelle note la directrice doit-elle récompenser pour que 65 % des étudiants le soient ?

À la calculatrice : P(N\geqslant11)\approx0{,}797 et P(N\geqslant12)\approx0{,}649 : en récompensant à partir de la note 11, environ 80 % des étudiants sont récompensés, ce qui est le premier seuil garantissant au moins 65 %.

5.Les notes N_1,\dots,N_{10} de dix étudiants sont indépendantes et suivent la même loi binomiale (20 ; 0,615). Calculer E(S) et V(S) pour S = N_1+\dots+N_{10}.

Pour chaque note : \begin{aligned}E(N_i) &= 20\times0{,}615 \\ &= 12{,}3\end{aligned} et \begin{aligned}V(N_i) &= 20\times0{,}615\times0{,}385 \\ &= 4{,}7355\end{aligned}
\begin{aligned}E(S) &= 10\times12{,}3 \\ &= 123\end{aligned} et, par indépendance, \begin{aligned}V(S) &= 10\times4{,}7355 \\ &= 47{,}355\end{aligned}

6.aOn pose M = \dfrac{S}{10}. Que modélise cette variable aléatoire ?

M modélise la moyenne des notes obtenues par les dix étudiants choisis au hasard.

6.bJustifier que E(M)=12{,}3 et {V(M)=0{,}47355}.

\begin{aligned}E(M) &= \dfrac{1}{10}E(S) \\ &= 12{,}3\end{aligned} et \begin{aligned}V(M) &= \dfrac{1}{100}V(S) \\ &= 0{,}47355\end{aligned}

6.cÀ l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, justifier que la probabilité que la moyenne de dix étudiants soit strictement comprise entre 10,3 et 14,3 est d'au moins 80 %.

L'intervalle ]10{,}3~;~14{,}3[ est centré sur E(M)=12{,}3 : l'évènement s'écrit {|M-12{,}3|<2}.
Bienaymé-Tchebychev : \begin{aligned}P(|M-12{,}3|\geqslant2) &\leqslant \dfrac{0{,}47355}{4} \\ &\approx 0{,}118\end{aligned} donc {P(|M-12{,}3|<2)\geqslant0{,}88\geqslant0{,}8}. L'affirmation est justifiée.

PartieA ; 1. La piscine d'Alain contient 50 m^{3} d'eau ; il ajoute chaque jour 15 g de chlore. Justifier que cet ajout fait augmenter le taux de 0,3 mg/L.

15 g = 15\,000 mg répartis dans 50\,000 L : \dfrac{15\,000}{50\,000} = 0{,}3 mg/L.

PartieA ; 2.a Le taux v_n vérifie v_0=0{,}7 et v_{n+1} = 0{,}92v_n+0{,}3. Montrer par récurrence que, pour tout n, {v_n\leqslant v_{n+1}\leqslant4}.

Initialisation : \begin{aligned}v_1 &= 0{,}92\times0{,}7+0{,}3 \\ &= 0{,}944\end{aligned} donc {v_0\leqslant v_1\leqslant4} : vrai au rang 0.
Hérédité : si {v_n\leqslant v_{n+1}\leqslant4}, en multipliant par 0,92 puis en ajoutant 0,3 : {v_{n+1}\leqslant v_{n+2}\leqslant3{,}98\leqslant4} : vrai au rang n+1.
Conclusion : par récurrence, pour tout n, {v_n\leqslant v_{n+1}\leqslant4}.

PartieA ; 2.b Montrer que la suite (v_n) est convergente et calculer sa limite.

(v_n) est croissante et majorée par 4 : elle converge.
La fonction de récurrence {x\longmapsto0{,}92x+0{,}3} étant continue, la limite vérifie \begin{aligned}\ell = 0{,}92\ell+0{,}3 &\iff 0{,}08\ell = 0{,}3 \\ &\iff \ell = 3{,}75 \end{aligned}

PartieA ; 3. À long terme, le taux de chlore sera-t-il conforme à la préconisation (entre 1 et 3 mg/L) ?

La suite converge vers 3,75 : à partir d'un certain rang, le taux dépasse strictement 3 mg/L. Le taux ne sera pas conforme à long terme.

PartieA ; 4. Compléter l'algorithme Python alerte_chlore(s) qui renvoie le plus petit entier n tel que v_n>s.

while u <= s :, puis n = n + 1 et u = 0.92*u + 0.3.

PartieA ; 5. Quelle valeur renvoie alerte_chlore(3) ? Interpréter.

\begin{aligned}v_{16} &\approx 2{,}95 \\ &\leqslant 3\end{aligned} et v_{17}\approx3{,}01>3 : la fonction renvoie 17. Avec ce protocole, le taux de chlore dépassera 3 mg/L au bout de 17 jours.

PartieB ; 1. Un modèle continu vérifie (E) : y' = -0{,}08y+\dfrac{q}{50}. Justifier que f est de la forme f(x) = Ce^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}.

Les solutions de y'=ay+b sont {x\longmapsto Ce^{ax}-\dfrac ba} ; ici a=-0{,}08 et b=\dfrac{q}{50}, donc \begin{aligned}-\dfrac ba &= \dfrac{q}{50\times0{,}08} \\ &= \dfrac{q}{4}\end{aligned} D'où f(x) = Ce^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}.

PartieB ; 2.a Exprimer, en fonction de q, la limite de f en +\infty.

e^{-0,08x}\to0 : \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = \dfrac{q}{4}.

PartieB ; 2.b Sachant que le taux initial est 0,7 mg/L et que l'on veut une stabilisation à 2 mg/L, déterminer C et q.

Stabilisation à 2 : \begin{aligned}\dfrac q4 = 2 &\iff q = 8 \end{aligned} (grammes de chlore par jour).
\begin{aligned}f(0) = 0{,}7 &\iff C+2 = 0{,}7 \\ &\iff C = -1{,}3 \end{aligned} La fonction est f(x) = -1{,}3e^{-0,08x}+2.

PartieA ; 1. La courbe \mathcal{C}_f passe par B(-1 ; -2), où sa tangente T passe aussi par A(0 ; -1). Préciser f(-1) et f'(-1).

f(-1) = -2 (ordonnée de B), et f'(-1) est le coefficient directeur de T = (AB) : \dfrac{-1-(-2)}{0-(-1)} = 1.

PartieA ; 2. La fonction f est-elle convexe sur son ensemble de définition ?

Non : la courbe passe en dessous de sa tangente T pour les abscisses proches de -2, ce qui est impossible pour une fonction convexe. Elle semble concave puis convexe, avec un point d'inflexion vers x\approx-1{,}4.

PartieA ; 3. Conjecturer le nombre de solutions de f(x)=0 et donner une valeur arrondie à 10^{-1} près.

La courbe ne coupe l'axe des abscisses qu'une seule fois, vers x\approx 0,1.

PartieB ; 1. On considère {f(x) = x^2+2x-1+\ln(x+2)} sur ]-2~;~+\infty[. Déterminer la limite de f en -2 et interpréter.

x^2+2x-1\to-1 et \ln(x+2)\to-\infty : \lim\limits_{x\to-2}f(x) = -\infty. La droite x=-2 est asymptote verticale à \mathcal{C}_f.

PartieB ; 2. Montrer que, pour tout x>-2, f'(x) = \dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}.

f'(x) = 2x+2+\dfrac{1}{x+2} = \dfrac{(2x+2)(x+2)+1}{x+2} = \dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}.

PartieB ; 3. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations complet.

Le numérateur 2x^2+6x+5 a pour discriminant {\Delta = 36-40 = -4<0} : il est strictement positif pour tout x ; le dénominateur x+2 est positif sur l'intervalle.
f'(x)>0 : f est strictement croissante sur ]-2~;~+\infty[, de -\infty à +\infty.

PartieB ; 4. Montrer que f(x)=0 admet une unique solution \alpha, et donner une valeur arrondie à 10^{-2} près.

f est continue, strictement croissante, de -\infty à +\infty : par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution \alpha. Par balayage : \alpha\approx0{,}12.

PartieB ; 5. En déduire le signe de f(x) sur ]-2~;~+\infty[.

f(x)<0 sur ]-2~;~\alpha[, f(\alpha)=0, et f(x)>0 sur ]\alpha~;~+\infty[.

PartieB ; 6. Montrer que \mathcal{C}_f admet un unique point d'inflexion et déterminer son abscisse.

f''(x) = \dfrac{(4x+6)(x+2)-(2x^2+6x+5)}{(x+2)^2} = \dfrac{2x^2+8x+7}{(x+2)^2}, du signe du numérateur.
Le trinôme 2x^2+8x+7 a pour discriminant \Delta = 64-56 = 8>0, avec pour racines -2\pm\dfrac{\sqrt2}{2} ; seule -2+\dfrac{\sqrt2}{2} appartient à l'intervalle.
f'' s'y annule en changeant de signe : l'unique point d'inflexion a pour abscisse -2+\dfrac{\sqrt2}{2}\approx-1{,}29.

PartieC ; 1. Soit g(x) = \ln(x+2), J(0 ; 1) et M le point de \mathcal{C}_g d'abscisse x. Justifier que \begin{aligned}h(x) &= JM^2 \\ &= x^2+[\ln(x+2)-1]^2\end{aligned}

\begin{aligned}JM^2 &= (x-0)^2+\big(g(x)-1\big)^2 \\ &= x^2+[\ln(x+2)-1]^2\end{aligned} (repère orthonormé).

PartieC ; 2.a On admet h'(x) = \dfrac{2f(x)}{x+2}. Dresser le tableau de variations de h.

\dfrac{2}{x+2}>0 sur l'intervalle : h'(x) est du signe de f(x). h décroît sur ]-2~;~\alpha] puis croît sur [\alpha~;~+\infty[, avec un minimum en \alpha.

PartieC ; 2.b En déduire que la distance JM est minimale pour x=\alpha.

La distance JM est minimale lorsque son carré h(x) est minimal (croissance de la racine carrée), c'est-à-dire pour x=\alpha.

PartieC ; 3.a Montrer que {\ln(\alpha+2) = 1-2\alpha-\alpha^2}.

\begin{aligned}f(\alpha) = 0 &\iff \alpha^2+2\alpha-1+\ln(\alpha+2) = 0 \\ &\iff \ln(\alpha+2) = 1-2\alpha-\alpha^2 \end{aligned}

PartieC ; 3.b En déduire que la tangente à \mathcal{C}_g en M_\alpha et la droite (JM_\alpha) sont perpendiculaires.

La tangente a pour coefficient directeur g'(\alpha) = \dfrac{1}{\alpha+2} ; la droite (JM_\alpha) a pour coefficient directeur \begin{aligned}\dfrac{\ln(\alpha+2)-1}{\alpha} &= \dfrac{-2\alpha-\alpha^2}{\alpha} \\ &= -2-\alpha\end{aligned}
Le produit vaut \dfrac{1}{\alpha+2}\times(-2-\alpha) = -1 : les deux droites sont perpendiculaires.

Affirmation 1. Avec A(2 ; 0 ; 0), C(4 ; 4 ; 1), D(0 ; 0 ; 4) : les points A, C, D définissent un plan \mathcal{P} d'équation 8x-5y+4z-16=0. Vraie ou fausse ?

\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2 \\ 4 \\ 1\end{pmatrix} et \overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ 4\end{pmatrix} ne sont pas colinéaires : les trois points définissent bien un plan.
Le vecteur \begin{pmatrix}8 \\ -5 \\ 4\end{pmatrix} vérifie \begin{aligned}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC} &= 16-20+4 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AD} &= -16+0+16 \\ &= 0\end{aligned} Il est normal au plan (ACD), et A vérifie l'équation (16-16=0).
L'affirmation est vraie.

Affirmation 2. Les points A, B(0 ; 4 ; 3), C, D sont coplanaires. Vraie ou fausse ?

Pour B : \begin{aligned}8\times0-5\times4+4\times3-16 &= -24 \\ &\neq 0\end{aligned} B n'appartient pas au plan (ACD). L'affirmation est fausse.

Affirmation 3. Les droites (AC) et (BH), avec H(-1 ; 1 ; 2), sont sécantes. Vraie ou fausse ?

\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2 \\ 4 \\ 1\end{pmatrix} et \overrightarrow{BH}\begin{pmatrix}-1 \\ -3 \\ -1\end{pmatrix} ne sont pas colinéaires : les droites sont sécantes ou non coplanaires.
La résolution du système d'intersection donne une solution unique (t=8, {s=-5}), correspondant au point (-8~;~-20~;~-5). L'affirmation est vraie.

Affirmation 4. Le plan (ABC) a pour équation x-y+2z-2=0. Le point H est le projeté orthogonal de D sur (ABC). Vraie ou fausse ?

H vérifie l'équation : -1-1+4-2 = 0. ✓
\overrightarrow{DH}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix} = -\overrightarrow{n} où \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix} est normal au plan : (DH) est orthogonale à (ABC).
L'affirmation est vraie : H est bien le projeté orthogonal de D sur (ABC).