Bac Terminale Spé Maths : Amérique du Nord 2025, Sujet 1

PartieA ; 1. Les connexions se répartissent : 25 % via A, 15 % via B, le reste via C ; 90 % des connexions via A sont stables, 80 % via B, 85 % via C. Compléter l'arbre pondéré.

Le reste des connexions transite via C, soit 1-0{,}25-0{,}15=0{,}6, donc {P(C)=0{,}6}.
Sur la première branche : P(A)=0{,}25, P(B)=0{,}15, {P(C)=0{,}6}.
Sur les branches suivantes : P_A(S)=0{,}9 et P_A(\overline{S})=0{,}1 ; P_B(S)=0{,}8 et {P_B(\overline{S})=0{,}2} ; P_C(S)=0{,}85 et P_C(\overline{S})=0{,}15.

PartieA ; 2. Démontrer que la probabilité que la connexion soit stable et passe par le serveur B est égale à 0,12.

\begin{aligned}P(S\cap B) &= P(B)\times P_B(S) \\ &= 0{,}15\times0{,}8 \\ &= 0{,}12\end{aligned}

PartieA ; 3. Calculer P(C \cap \overline{S}) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

\begin{aligned}P(C\cap\overline{S}) &= P(C)\times P_C(\overline{S}) \\ &= 0{,}6\times0{,}15 \\ &= 0{,}09\end{aligned}
Cela signifie que 9 % des connexions de l'entreprise transitent via le serveur C et sont instables.

PartieA ; 4. Démontrer que la probabilité de l'évènement S est P(S) = 0,855.

Les évènements A, B et C forment une partition de l'univers, donc, d'après la formule des probabilités totales :
\begin{aligned}P(S) &= P(A)\times P_A(S) + P(B)\times P_B(S) + P(C)\times P_C(S) \\ &= 0{,}25\times0{,}9+0{,}15\times0{,}8+0{,}6\times0{,}85 \\ &= 0{,}225+0{,}12+0{,}51 \\ &= 0{,}855\end{aligned}

PartieA ; 5. Sachant que la connexion est stable, calculer la probabilité qu'elle ait eu lieu via le serveur B (arrondie au millième).

P_S(B) = \dfrac{P(S\cap B)}{P(S)} = \dfrac{0{,}12}{0{,}855} \approx 0,140 (au millième).

PartieB ; 1.a On étudie un échantillon de 50 connexions choisies au hasard (assimilable à un tirage avec remise). On admet que le nombre X de connexions instables suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

Chaque connexion est une épreuve à deux issues : « instable », de probabilité \begin{aligned}p &= P(\overline{S}) \\ &= 1-0{,}855 \\ &= 0{,}145\end{aligned} répétée n=50 fois de façon indépendante.
X suit donc la loi binomiale de paramètres n=50 et p=0{,}145.

PartieB ; 1.b Donner la probabilité qu'au plus huit connexions soient instables (arrondie au millième).

À la calculatrice, P(X\leqslant8) \approx 0,704 (au millième).

PartieB ; 2.a On constitue un échantillon de n connexions ; X_n suit la loi binomiale de paramètres n et 0,145. Donner l'expression, en fonction de n, de la probabilité p_n qu'au moins une connexion soit instable.

« Au moins une connexion instable » est l'évènement contraire de « aucune connexion instable », c'est-à-dire {\{X_n=0\}}.
\begin{aligned}P(X_n=0) &= \binom{n}{0}\times0{,}145^{0}\times0{,}855^{n} \\ &= 0{,}855^{n}\end{aligned} donc p_n = 1-0{,}855^{n}.

PartieB ; 2.b Déterminer, en justifiant, la plus petite valeur de l'entier naturel n telle que p_n \geqslant 0,99.

\begin{aligned}p_n \geqslant 0{,}99 &\iff 1-0{,}855^{n} \geqslant 0{,}99 \\ &\iff 0{,}855^{n} \leqslant 0{,}01 \end{aligned}
En passant au logarithme népérien (croissant) : n\ln(0{,}855)\leqslant\ln(0{,}01), et comme \ln(0{,}855)<0, cela équivaut à n\geqslant\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}855)}.
Or \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}855)} \approx 29{,}4, donc c'est à partir de n= 30 que p_n\geqslant0{,}99.

PartieB ; 3.a On note F_n = X_n/n la fréquence de connexions instables dans un échantillon de n connexions. Calculer l'espérance E(F_n), sachant que {V(F_n)=0,123975/n}.

\begin{aligned}E(X_n) &= np \\ &= 0{,}145n\end{aligned} et par linéarité de l'espérance, {E(F_n) = \dfrac{1}{n}E(X_n) = \dfrac{1}{n}\times0{,}145n =} 0,145.

PartieB ; 3.b Vérifier que {P(|F_n - 0,145| \geqslant 0,1) \leqslant 12,5/n}.

D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à F_n avec une précision t=0{,}1 :
P(|F_n-E(F_n)|\geqslant t) \leqslant \dfrac{V(F_n)}{t^{2}}, donc \begin{aligned}P(|F_n-0{,}145|\geqslant0{,}1) &\leqslant \dfrac{0{,}123975/n}{0{,}01} \\ &= \dfrac{12{,}3975}{n}\end{aligned}
Comme 12{,}3975<12{,}5, on a bien P(|F_n-0{,}145|\geqslant0{,}1) \leqslant \dfrac{12{,}5}{n}.

PartieB ; 3.c Un responsable étudie un échantillon de 1 000 connexions et constate F_{1000}=0,3. Doit-il soupçonner un dysfonctionnement des serveurs ?

\begin{aligned}|0{,}3-0{,}145| &= 0{,}155 \\ &\geqslant 0{,}1\end{aligned} Cette observation réalise l'évènement \{|F_{1\,000}-0{,}145|\geqslant0{,}1\}.
D'après la question précédente, cet évènement a une probabilité inférieure ou égale à \dfrac{12{,}5}{1\,000}=0{,}0125 sous un fonctionnement normal : un tel écart est donc très peu probable si les serveurs fonctionnent normalement.
Le responsable a raison de soupçonner un dysfonctionnement.

1.On considère la suite (u_n) définie par u_0=2 et u_{n+1} = (2u_n+1)/(u_n+2). Calculer u_1.

\begin{aligned}u_1 &= \dfrac{2u_0+1}{u_0+2} \\ &= \dfrac{2\times2+1}{2+2} \\ &= \dfrac{5}{4} \\ &= 1{,}25\end{aligned}

2.aOn pose a_n = u_n/(u_n-1). Calculer a_0 et a_1.

\begin{aligned}a_0 &= \dfrac{u_0}{u_0-1} \\ &= \dfrac{2}{1} \\ &= 2\end{aligned} et \begin{aligned}a_1 &= \dfrac{u_1}{u_1-1} \\ &= \dfrac{1{,}25}{0{,}25} \\ &= 5\end{aligned}

2.bDémontrer que, pour tout entier naturel n, a_{n+1} = 3a_n - 1.

D'une part : \begin{aligned}a_{n+1} &= \dfrac{u_{n+1}}{u_{n+1}-1} \\ &= \dfrac{\frac{2u_n+1}{u_n+2}}{\frac{2u_n+1}{u_n+2}-\frac{u_n+2}{u_n+2}} \\ &= \dfrac{2u_n+1}{2u_n+1-u_n-2} \\ &= \dfrac{2u_n+1}{u_n-1}\end{aligned}
D'autre part : \begin{aligned}3a_n-1 &= \dfrac{3u_n}{u_n-1}-\dfrac{u_n-1}{u_n-1} \\ &= \dfrac{3u_n-(u_n-1)}{u_n-1} \\ &= \dfrac{2u_n+1}{u_n-1}\end{aligned}
Les deux expressions coïncident : a_{n+1}=3a_n-1.

2.cDémontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, a_n \geqslant 3n - 1.

Initialisation : a_1=5 et 3\times1-1=2, or 5\geqslant2 : la propriété est vraie au rang 1.
Hérédité : on suppose que, pour un entier n\geqslant1, a_n\geqslant3n-1. Comme 3>0 : \begin{aligned}3a_n &\geqslant 3(3n-1) \\ &= 9n-3\end{aligned} donc 3a_n-1\geqslant9n-4, soit {a_{n+1}\geqslant9n-4}.
Or 9n-4 = 3(n+1)-1+6(n-1) et 6(n-1)\geqslant0 pour n\geqslant1, donc {a_{n+1}\geqslant3(n+1)-1} : la propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel n\geqslant1, a_n\geqslant3n-1.

2.dEn déduire la limite de la suite (a_n).

Comme 3>0, \lim\limits_{n\to+\infty}(3n-1)=+\infty, et a_n\geqslant3n-1 pour tout n\geqslant1 : par comparaison, (a_n) diverge vers +\infty.

3.aDémontrer que, pour tout entier naturel n, u_n = a_n/(a_n-1).

\begin{aligned}a_n = \dfrac{u_n}{u_n-1} &\iff a_n(u_n-1) = u_n \\ &\iff a_nu_n-a_n-u_n = 0 \\ &\iff (a_n-1)u_n = a_n \\ &\iff u_n = \dfrac{a_n}{a_n-1} \end{aligned} (la division est licite car a_n\neq1, puisque son numérateur diffère de son dénominateur de exactement 1).

3.bEn déduire la limite de la suite (u_n).

\begin{aligned}a_0 &= 2 \\ &\neq 0\end{aligned} et, pour n\geqslant1, {a_n\geqslant3n-1>0} : donc a_n est non nul pour tout n, et \begin{aligned}u_n &= \dfrac{a_n}{a_n-1} \\ &= \dfrac{1}{1-\frac{1}{a_n}}\end{aligned}
Comme (a_n) diverge vers +\infty, \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{a_n}=0, donc \lim\limits_{n\to+\infty}\left(1-\dfrac{1}{a_n}\right)=1, et enfin \lim\limits_{n\to+\infty}u_n = 1.
La suite (u_n) converge donc vers 1.

4.aOn admet que la suite (u_n) est décroissante. On donne le programme Python : def algo(p): u=2 ; n=0 ; while u-1>p: u=(2*u+1)/(u+2) ; n=n+1 ; return (n,u). Interpréter les valeurs n et u renvoyées.

La fonction initialise u à u_0=2 et n à 0, puis à chaque tour de boucle calcule le terme suivant de la suite (u_n) et incrémente n, tant que l'écart entre le terme courant et la limite 1 reste strictement supérieur à p.
Les valeurs renvoyées sont donc l'indice et la valeur du premier terme de la suite pour lequel l'écart avec la limite 1 est inférieur ou égal à p.

4.bDonner, sans justifier, la valeur de n pour p = 0,001.

En parcourant la suite, u_5\approx1{,}0027 (écart >0{,}001) et u_6\approx1{,}0009 (écart {\leqslant0{,}001}) : la valeur de n est donc 6.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. La droite (d) a pour représentation paramétrique x = 3-2t, y = -1, z = 2-6t (t réel). On donne A(3 ; -3 ; -2), B(5 ; -4 ; -1), C le point de (d) d'abscisse 2, et H le projeté orthogonal de B sur le plan P d'équation x + 3z - 7 = 0. Affirmation 1 : la droite (d) et l'axe des ordonnées sont deux droites non coplanaires. Vraie ou fausse ?

(d) est dirigée par \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ -6\end{pmatrix} et l'axe des ordonnées par \overrightarrow{\jmath}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} : ces vecteurs ne sont pas colinéaires (ils sont même orthogonaux), donc les droites ne sont ni parallèles ni confondues.
L'axe des ordonnées passe par l'origine et a pour représentation paramétrique x = 0, y = s, z = 0. Chercher un point commun revient à résoudre 3-2t=0, -1=s, 2-6t=0, soit t=1{,}5 et t=\frac13 simultanément : système impossible, donc les droites ne sont pas sécantes.
Les droites ne sont ni parallèles, ni confondues, ni sécantes : elles sont donc non coplanaires. L'affirmation est vraie.

Affirmation 2 : le plan passant par A et orthogonal à la droite (d) a pour équation cartésienne x + 3z + 3 = 0. Vraie ou fausse ?

(d) est dirigée par \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ -6\end{pmatrix}, colinéaire à \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}, qui est donc un vecteur normal du plan cherché : une équation du plan est de la forme x+3z+d=0.
Le point A appartient au plan : \begin{aligned}3+3\times(-2)+d = 0 &\iff d = 3 \end{aligned}
Le plan a donc pour équation {x+3z+3=0}. L'affirmation est vraie.

Affirmation 3 : une mesure, en radian, de l'angle géométrique BAC est π/6. Vraie ou fausse ?

C appartient à (d) et a pour abscisse 2 : \begin{aligned}3-2t = 2 &\iff t = \frac12 \end{aligned} d'où \begin{aligned}z_C &= 2-6\times\frac12 \\ &= -1\end{aligned} soit C(2~;~-1~;~-1).
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}, donc \begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &= 2\times(-1)+(-1)\times2+1\times1 \\ &= -3\end{aligned}
\begin{aligned}\|\overrightarrow{AB}\| &= \sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+1^{2}} \\ &= \sqrt6\end{aligned} et \begin{aligned}\|\overrightarrow{AC}\| &= \sqrt{(-1)^{2}+2^{2}+1^{2}} \\ &= \sqrt6\end{aligned}
Or \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB\times AC\times\cos(\widehat{BAC}), donc \begin{aligned}\cos(\widehat{BAC}) &= \dfrac{-3}{\sqrt6\times\sqrt6} \\ &= -\dfrac12\end{aligned} soit \widehat{BAC}=\dfrac{2\pi}{3}.
\dfrac{2\pi}{3}\neq\dfrac{\pi}{6} : l'affirmation est fausse.

Affirmation 4 : la distance BH est égale à \surd\dfrac{10}{2}. Vraie ou fausse ?

Le vecteur \overrightarrow{u'}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}, normal au plan P, dirige la droite \Delta orthogonale à P passant par B : une représentation paramétrique de \Delta est x = 5+t, y = -4, z = -1+3t.
L'intersection avec P vérifie \begin{aligned}(5+t)+3(-1+3t)-7 = 0 &\iff 10t = 5 \\ &\iff t = \frac12 \end{aligned} donc H\left(\frac{11}{2}~;~-4~;~\frac12\right).
\overrightarrow{BH}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} \\ 0 \\ \dfrac{3}{2}\end{pmatrix}, donc \begin{aligned}\|\overrightarrow{BH}\|^{2} &= \frac14+\frac94 \\ &= \frac{10}{4}\end{aligned} soit \begin{aligned}BH &= \sqrt{\frac{10}{4}} \\ &= \dfrac{\sqrt{10}}{2}\end{aligned}
L'affirmation est vraie.

PartieA ; 1. Les courbes C_{1} et C_{2} représentent deux fonctions définies et dérivables sur \mathbb{R}, l'une étant la dérivée de l'autre ; C_{1} coupe l'axe des ordonnées en (0 ; 1), C_{2} le coupe en (0 ; 2) et coupe l'axe des abscisses en (-2 ; 0) et (1 ; 0). Associer à g et g' leur courbe.

La fonction représentée par \mathcal{C}_1 est décroissante sur ]-\infty~;~-2] et [1~;~+\infty[, croissante sur [-2~;~1].
La fonction représentée par \mathcal{C}_2 est négative sur ]-\infty~;~-2] et [1~;~+\infty[, positive sur [-2~;~1] : ce sont exactement les intervalles où la fonction de \mathcal{C}_1 croît ou décroît.
Le signe de la dérivée déterminant les variations, \mathcal{C}_1 représente g et \mathcal{C}_2 représente g'.

PartieA ; 2. Justifier que l'équation réduite de la tangente à la courbe de g au point d'abscisse 0 est y = 2x + 1.

La tangente en 0 a pour équation y=g'(0)x+g(0).
\mathcal{C}_1 coupe l'axe des ordonnées en (0~;~1) donc g(0)=1 ; \mathcal{C}_2 le coupe en (0~;~2) donc g'(0)=2.
L'équation de la tangente est donc {y=2x+1}.

PartieB ; 1. On considère l'équation différentielle (E) : y + y' = (2x+3)e^{-x}. Montrer que f_0(x) = (x^2+3x)e^{-x} est une solution particulière de (E).

f_0 est dérivable sur \mathbb{R} comme produit de fonctions dérivables : f_0'(x) = (2x+3)e^{-x} + (x^{2}+3x)(-e^{-x}) = (2x+3-x^{2}-3x)e^{-x} = (-x^{2}-x+3)e^{-x}.
f_0(x)+f_0'(x) = (x^{2}+3x)e^{-x} + (-x^{2}-x+3)e^{-x} = (2x+3)e^{-x} : f_0 vérifie bien (E).

PartieB ; 2. Résoudre l'équation différentielle (E_{0}) : y + y' = 0.

(E_0) équivaut à y'=-y : ses solutions sont les fonctions x\longmapsto Ce^{-x}, avec {C\in\mathbb{R}}.

PartieB ; 3. Déterminer les solutions de l'équation différentielle (E).

(E) est de la forme y'=ay+f avec f_0 solution particulière : ses solutions sont les fonctions {x\longmapsto Ce^{-x}+f_0(x) = (x^{2}+3x+C)e^{-x}}, avec {C\in\mathbb{R}}.

PartieB ; 4. On admet que g est solution de (E). Déterminer l'expression de g.

Il existe {C\in\mathbb{R}} tel que {g(x)=(x^{2}+3x+C)e^{-x}}. Comme g(0)=1 : \begin{aligned}1 &= (0+0+C)e^{0} \\ &= C\end{aligned}
g(x) = (x^{2}+3x+1)e^{-x}.

PartieB ; 5. Déterminer les solutions de (E) dont la courbe admet exactement deux points d'inflexion.

Une courbe admet exactement deux points d'inflexion si et seulement si sa dérivée seconde s'annule exactement deux fois en changeant de signe.
Soit f(x)=(x^{2}+3x+C)e^{-x} une solution de (E) : f'(x) = (-x^{2}-x+3-C)e^{-x} et f''(x) = (x^{2}-x-4+C)e^{-x}.
L'exponentielle étant strictement positive, f''(x) est du signe de {x^{2}-x-4+C}, dont le discriminant est \begin{aligned}\Delta &= 1-4(-4+C) \\ &= 17-4C\end{aligned}
Ce polynôme change deux fois de signe si et seulement si \Delta>0, soit C<\dfrac{17}{4}.
Les solutions cherchées sont les fonctions x\longmapsto(x^{2}+3x+C)e^{-x} avec C<\dfrac{17}{4}.

PartieC ; 1. On considère f(x) = (x^{2}+3x+2)e^{-x} sur \mathbb{R}. Démontrer que la limite de f en +\infty est égale à 0.

f(x) = \dfrac{x^{2}}{e^{x}}+3\dfrac{x}{e^{x}}+\dfrac{2}{e^{x}}.
Par croissances comparées, pour tout entier n non nul, \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^{n}}{e^{x}}=0 ; donc, par somme, \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0.

PartieC ; 2.a Vérifier que, pour tout réel x, f'(x) = (-x^{2} - x + 1)e^{-x}.

f'(x) = (2x+3)e^{-x}+(x^{2}+3x+2)(-e^{-x}) = (2x+3-x^{2}-3x-2)e^{-x} = (-x^{2}-x+1)e^{-x}.

PartieC ; 2.b Déterminer le signe de f' sur \mathbb{R} puis en déduire les variations de f.

L'exponentielle étant strictement positive, f'(x) est du signe de {-x^{2}-x+1}, de discriminant \Delta=1+4=5>0.
Ses racines sont x_1=\dfrac{-1-\sqrt5}{2} et {x_2=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}} ; le coefficient dominant étant négatif, -x^2-x+1 est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles.
f est décroissante sur ]-\infty~;~x_1] et sur [x_2~;~+\infty[, croissante sur [x_1~;~x_2].

PartieC ; 3. Expliquer pourquoi f est positive sur [0 ; +\infty[.

L'exponentielle étant strictement positive, f(x) est du signe de {x^{2}+3x+2=(x+2)(x+1)}, de racines -2 et -1.
Le coefficient dominant étant positif, ce polynôme est positif sur ]-1~;~+\infty[, donc en particulier sur [0~;~+\infty[ : f est positive sur [0~;~+\infty[.

PartieC ; 4. On admet que F(x) = (-x^{2} - 5x - 7)e^{-x} est une primitive de f. Pour \alpha réel positif, déterminer l'aire A(\alpha) du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe de f et les droites x = 0 et x = \alpha.

f étant positive sur [0~;~\alpha], l'aire cherchée est \begin{aligned}\displaystyle \mathcal{A}(\alpha) &= \displaystyle\int\limits_0^{\alpha}f(x)\,\mathrm{d}x \\ &= F(\alpha)-F(0)\end{aligned}
\begin{aligned}F(0) &= (0-0-7)e^{0} \\ &= -7\end{aligned} donc \mathcal{A}(\alpha) = (-\alpha^{2}-5\alpha-7)e^{-\alpha}+7 unités d'aire.