Bac Terminale Spé Maths : Amérique du Nord 2025, Sujet 2
Session 2025 : Amérique du Nord, Sujet 2 · Spécialité mathématiques, 4 exercices, 4 heures.
Exercice 1 5 points
PartieA ; 1. Victor réussit un panier à trois points avec une probabilité de 0,32. Il tente 15 lancers indépendants. On note N le nombre de paniers marqués. On admet que N suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
L'épreuve est répétée 15 fois de façon indépendante, avec une probabilité de succès de 0{,}32 à chaque lancer : N suit la loi binomiale \mathcal{B}(15~;~0{,}32).
PartieA ; 2. Calculer la probabilité que Victor réussisse exactement 4 paniers.
P(N=4) = \dbinom{15}{4}\times0{,}32^{4}\times0{,}68^{11} \approx 0,206 (au millième).
PartieA ; 3. Déterminer la probabilité que Victor réussisse au plus 6 paniers.
À la calculatrice, P(N\leqslant6) \approx 0,828.
PartieA ; 4. Déterminer l'espérance de N.
\begin{aligned}E(N) &= n\times p \\ &= 15\times0{,}32 \\ &= 4{,}8\end{aligned} En moyenne, sur une série de 15 lancers, Victor marque 4,8 paniers.
PartieA ; 5.a On note T le nombre de points marqués. Exprimer T en fonction de N.
Chaque panier réussi rapporte 3 points : T=3N.
PartieA ; 5.b En déduire l'espérance de T et interpréter cette valeur.
Par linéarité de l'espérance, \begin{aligned}E(T) &= E(3N) \\ &= 3E(N) \\ &= 3\times4{,}8 \\ &= 14{,}4\end{aligned} En moyenne, Victor marque 14,4 points par série de 15 lancers à trois points.
PartieA ; 5.c Calculer P(12 \leq T \leq 18).
\begin{aligned}P(12\leqslant T\leqslant18) &= P(12\leqslant3N\leqslant18) \\ &= P(4\leqslant N\leqslant6)\end{aligned}
P(4\leqslant N\leqslant6) = P(N=4)+P(N=5)+P(N=6) \approx 0{,}206+0{,}213+0{,}167 \approx 0,586.
PartieB ; 1.a On note X les points marqués par Victor lors d'un match, avec E(X) = 22 et V(X) = 65. Victor joue n = 50 matchs indépendants suivant la même loi que X ; on pose M_{50}=(X_1+\dots+X_{50})/50. Que représente M_{50} ?
M_{50} représente la moyenne empirique, sur 50 matchs, du nombre de points marqués par Victor.
PartieB ; 1.b Déterminer l'espérance et la variance de M_{50}.
Chaque X_i suit la même loi que X, donc \begin{aligned}E(M_{50}) &= E(X) \\ &= 22\end{aligned}
Les X_i étant indépendantes : \begin{aligned}V(M_{50}) &= \dfrac{1}{50}V(X) \\ &= \dfrac{65}{50} \\ &= 1{,}3\end{aligned}
PartieB ; 1.c Démontrer que {P(|M_{50}-22| \geqslant 3) \leqslant \dfrac{13}{90}}.
D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour tout réel a>0 : P(|X-E(X)|\geqslant a) \leqslant \dfrac{V(X)}{a^{2}}.
Ici : \begin{aligned}P(|M_{50}-22|\geqslant3) &\leqslant \dfrac{V(M_{50})}{3^{2}} \\ &= \dfrac{1{,}3}{9} \\ &= \dfrac{13}{90}\end{aligned}
PartieB ; 1.d En déduire que la probabilité de l'évènement « 19 < M_{50} < 25 » est strictement supérieure à 0,85.
L'évènement « 19<M_{50}<25 » équivaut à |M_{50}-22|<3, donc P(|M_{50}-22|<3) = 1-P(|M_{50}-22|\geqslant3).
Comme P(|M_{50}-22|\geqslant3) \leqslant \dfrac{13}{90}, on a P(19<M_{50}<25) \geqslant 1-\dfrac{13}{90} = \dfrac{77}{90} \approx 0{,}856 > 0{,}85.
PartieB ; 2. Indiquer, en justifiant, si l'affirmation suivante est vraie ou fausse : « il n'existe aucun entier naturel n tel que P(|M_n-22| \geqslant 3) < 0,01 ».
D'après la loi faible des grands nombres, \lim\limits_{n\to+\infty}P(|M_n-E(X)|\geqslant t)=0 pour tout réel t>0, donc en particulier \lim\limits_{n\to+\infty}P(|M_n-22|\geqslant3)=0.
Il existe donc un rang N à partir duquel P(|M_n-22|\geqslant3)<0{,}01 : l'affirmation est fausse.
Autre méthode : l'inégalité de concentration donne {P(|M_n-22|\geqslant3) \leqslant \dfrac{65}{9n}}, et \begin{aligned}\dfrac{65}{9n} \leqslant 0{,}01 &\iff n \geqslant \dfrac{6\,500}{9} \\ &\approx 722{,}2\end{aligned} Dès n\geqslant723, l'inégalité voulue est vérifiée, ce qui confirme que l'affirmation est fausse.
Exercice 2 5 points
PartieA ; 1.a On considère la suite (u_n) définie par u_0=2 et u_{n+1}=\sqrt{u_n}. Donner la valeur exacte de u_1 et u_2.
\begin{aligned}u_1 &= \sqrt{u_0} \\ &= \sqrt2\end{aligned} et \begin{aligned}u_2 &= \sqrt{u_1} \\ &= \sqrt{\sqrt2}\end{aligned}
PartieA ; 1.b Émettre une conjecture, à la calculatrice, sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite.
À la calculatrice, on conjecture que la suite (u_n) est décroissante et converge vers 1.
PartieA ; 2.a Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, {1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n}.
Initialisation : \begin{aligned}u_1 &= \sqrt2 \\ &\approx 1{,}414\end{aligned} et u_0=2, donc {1\leqslant u_1\leqslant u_0} : la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : on suppose que, pour un entier n, {1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n}. La fonction racine carrée étant croissante sur \mathbb{R}^{+} : {\sqrt1\leqslant\sqrt{u_{n+1}}\leqslant\sqrt{u_n}}, soit {1\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}} : la propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel n, {1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n}.
PartieA ; 2.b En déduire que la suite (u_n) est convergente.
D'après la question précédente, (u_n) est minorée par 1 et décroissante : toute suite décroissante et minorée étant convergente, (u_n) converge vers une limite \ell\geqslant1.
PartieA ; 2.c Résoudre dans [0 ; +\infty[ l'équation \sqrt{x} = x.
Pour x\geqslant0 : \begin{aligned}\sqrt{x} = x &\iff x = x^{2} \\ &\iff x^{2}-x = 0 \\ &\iff x(x-1) = 0 \\ &\iff x = 0 \end{aligned} ou x=1.
L'équation admet deux solutions sur [0~;~+\infty[ : 0 et 1.
PartieA ; 2.d Déterminer, en justifiant, la limite de la suite (u_n).
(u_n) converge vers \ell et vérifie {u_{n+1}=f(u_n)} avec f la fonction racine carrée, continue sur [0~;~+\infty[ : par le théorème du point fixe, \ell est solution de f(x)=x.
D'après la question précédente, les solutions sont 0 et 1, et comme \ell\geqslant1, on a \ell=1.
La suite (u_n) converge vers 1.
PartieB ; 1.a On pose v_n = \ln(u_n). Démontrer que la suite (v_n) est géométrique de raison \dfrac{1}{2}.
Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}v_{n+1} &= \ln(u_{n+1}) \\ &= \ln(\sqrt{u_n}) \\ &= \dfrac12\ln(u_n) \\ &= \dfrac12v_n\end{aligned}
(v_n) est géométrique de raison \dfrac12, de premier terme \begin{aligned}v_0 &= \ln(u_0) \\ &= \ln(2)\end{aligned}
PartieB ; 1.b Exprimer v_n en fonction de n.
\begin{aligned}v_n &= v_0\times\left(\dfrac12\right)^{n} \\ &= \dfrac{\ln(2)}{2^{n}}\end{aligned}
PartieB ; 1.c En déduire que, pour tout entier naturel n, ln(2) = 2ⁿ ln(u_n).
Comme v_n=\ln(u_n) et v_n=\dfrac{\ln(2)}{2^{n}}, on a \dfrac{\ln(2)}{2^{n}}=\ln(u_n), soit \ln(2)=2^{n}\ln(u_n).
PartieB ; 2.a Déterminer à la calculatrice le plus petit entier naturel k tel que u_k appartienne à ]0,99 ; 1,01[, et une valeur approchée de u_k à 10^{-5} près.
À la calculatrice, pour tout k<7, {u_k>1{,}01}, et u_7\approx1{,}00543 : la plus petite valeur est k=7.
PartieB ; 2.b En déduire une approximation de ln(u_k).
En prenant x-1 comme approximation de \ln(x) pour x\in\,]0{,}99~;~1{,}01[ : \begin{aligned}\ln(u_7) &\approx u_7-1 \\ &\approx 0{,}00543\end{aligned}
PartieB ; 2.c Déduire des questions précédentes une approximation de ln(2).
D'après ce qui précède, {\ln(2)\approx2^{7}\ln(u_7) \approx 2^{7}\times0{,}00543 \approx} 0,695.
PartieB ; 3. On généralise à tout réel a strictement supérieur à 1. Compléter l'algorithme Python (from math import * ; def Briggs(a): n=0 ; while a>=1.01: a=sqrt(a) ; n=n+1 ; L=... ; return L) pour que Briggs(a) approche ln(a).
En s'appuyant sur la relation {\ln(a)\approx2^{n}(a-1)} établie précédemment, il faut compléter la ligne par L = 2n * (a-1).
Exercice 3 5 points
PartieA : ABCDEFGH est un cube d'arête 1 ; I, J, K, L, M sont les milieux respectifs de [AB], [BF], [AE], [CD], [DH]. Affirmation 1 : JH = 2BI + DM - CB. Vraie ou fausse ?
\begin{aligned}\overrightarrow{JH} &= \overrightarrow{JF}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{EH} \\ &= \dfrac12\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\end{aligned}
Or \begin{aligned}\dfrac12\overrightarrow{BF} &= \dfrac12\overrightarrow{DH} \\ &= \overrightarrow{DM}\end{aligned} (M milieu de [DH]) et {\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BI}-\overrightarrow{CB}} (I milieu de [AB]), donc \overrightarrow{JH} = \overrightarrow{DM}+2\overrightarrow{BI}-\overrightarrow{CB}.
L'affirmation est vraie.
PartieA : Affirmation 2 : le triplet de vecteurs (AB, AH, AG) est une base de l'espace. Vraie ou fausse ?
\begin{aligned}\overrightarrow{AG} &= \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG} \\ &= \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AH}\end{aligned} \overrightarrow{AG} s'exprime comme combinaison linéaire de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AH}.
Les trois vecteurs sont donc coplanaires : l'affirmation est fausse.
PartieA : Affirmation 3 : IB \cdot LM = -\dfrac{1}{4}. Vraie ou fausse ?
\overrightarrow{LM} = \overrightarrow{IK}, donc \overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{LM} = \overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{IK}.
K se projette orthogonalement en A sur (AB), donc \overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{IK} = \overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{IA}, or ces deux vecteurs sont colinéaires de sens contraires : \begin{aligned}\overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{IA} &= -IB\times IA \\ &= -\dfrac12\times\dfrac12 \\ &= -\dfrac14\end{aligned} (arête de longueur 1, I milieu de [AB]).
L'affirmation est vraie.
PartieB : Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère le plan P : 2x - y + 3z + 6 = 0, A(2 ; 0 ; -1) et B(5 ; -3 ; 7). Affirmation 4 : le plan P et la droite (AB) sont parallèles. Vraie ou fausse ?
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3 \\ -3 \\ 8\end{pmatrix} dirige (AB) ; \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix} est normal à P.
\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{n} &= 3\times2+(-3)\times(-1)+8\times3 \\ &= 6+3+24 \\ &= 33 \\ &\neq 0\end{aligned}
Le vecteur normal au plan et le vecteur directeur de la droite ne sont pas orthogonaux : l'affirmation est fausse (le plan et la droite ne sont pas parallèles).
PartieB : Affirmation 5 : le plan P' parallèle à P passant par B a pour équation cartésienne -2x + y - 3z + 34 = 0. Vraie ou fausse ?
P et P' étant parallèles, \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix} est aussi normal à P' : une équation de P' est de la forme 2x-y+3z+d=0.
Le point B appartient à P' : \begin{aligned}2\times5-(-3)+3\times7+d = 0 &\iff 10+3+21+d = 0 \\ &\iff d = -34 \end{aligned}
P' a donc pour équation {2x-y+3z-34=0}, soit, en multipliant par -1 : -2x+y-3z+34=0. L'affirmation est vraie.
PartieB : Affirmation 6 : la distance du point A au plan P est égale à \surd\dfrac{14}{2}. Vraie ou fausse ?
Notons H le projeté orthogonal de A sur P : \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix} dirige la droite \Delta orthogonale à P passant par A, de représentation paramétrique x = 2+2t, y = -t, z = -1+3t.
L'intersection avec P vérifie \begin{aligned}2(2+2t)-(-t)+3(-1+3t)+6 = 0 &\iff 14t = -7 \\ &\iff t = -\dfrac12 \end{aligned} donc H\left(1~;~\dfrac12~;~-\dfrac52\right).
\overrightarrow{AH}\begin{pmatrix}-1 \\ \dfrac{1}{2} \\ -\dfrac{3}{2}\end{pmatrix}, donc \begin{aligned}\|\overrightarrow{AH}\|^{2} &= 1+\dfrac14+\dfrac94 \\ &= \dfrac{14}{4}\end{aligned} soit AH=\dfrac{\sqrt{14}}{2}.
L'affirmation est vraie.
PartieB : On note (d) la droite de représentation paramétrique x = -12+2k, y = 6, z = 3-5k (k réel). Affirmation 7 : les droites (AB) et (d) ne sont pas coplanaires. Vraie ou fausse ?
(d) est dirigée par \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ -5\end{pmatrix} et (AB) par \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3 \\ -3 \\ 8\end{pmatrix} : ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites ne sont ni parallèles ni confondues.
(AB) a pour représentation paramétrique x = 2+3t, y = -3t, z = -1+8t. Chercher un point commun revient à résoudre 2+3t=-12+2k, -3t=6, -1+8t=3-5k, soit t=-2 et k=4 dans les trois équations : le système admet une solution.
Les droites sont donc sécantes, au point C(-4~;~6~;~-17), donc coplanaires. L'affirmation est fausse.
Exercice 4 5 points
PartieA ; 1.a On considère f(x) = eˣsin(x) sur [0 ; π]. Démontrer que f'(x) = eˣ[sin(x) + cos(x)] sur cet intervalle.
f est un produit de fonctions dérivables : f'(x) = e^{x}\sin(x)+e^{x}\cos(x) = e^{x}[\sin(x)+\cos(x)].
PartieA ; 1.b Justifier que f est strictement croissante sur [0 ; π/2].
Sur \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right], \cos(x)\geqslant0 et \sin(x)\geqslant0, et ils ne s'annulent jamais simultanément (\sin ne s'annule qu'en 0 où \cos(0)=1, \cos ne s'annule qu'en \frac{\pi}{2} où {\sin(\frac{\pi}{2})=1}) : donc \sin(x)+\cos(x)>0 sur cet intervalle.
Comme e^{x}>0 pour tout réel x, f'(x)>0 comme produit de deux facteurs strictement positifs : f est strictement croissante sur \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right].
PartieA ; 2.a Déterminer une équation de la tangente T à la courbe de f au point d'abscisse 0.
\begin{aligned}f(0) &= e^{0}\sin(0) \\ &= 0\end{aligned} et f'(0) = e^{0}[\sin(0)+\cos(0)] = 1.
La tangente en 0 a pour équation y=f'(0)x+f(0), soit y=x.
PartieA ; 2.b Démontrer que f est convexe sur [0 ; π/2].
Pour tout réel x : f''(x) = e^{x}[\sin(x)+\cos(x)] + e^{x}[\cos(x)-\sin(x)] = 2e^{x}\cos(x).
Sur \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right], \cos(x)\geqslant0 et e^{x}>0, donc f''(x)\geqslant0 : f est convexe sur \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right].
PartieA ; 2.c En déduire que, pour tout réel x de [0 ; π/2], eˣsin(x) \geq x.
La courbe d'une fonction convexe est au-dessus de toutes ses tangentes, en particulier au-dessus de la tangente T d'équation y=x au point d'abscisse 0.
Donc, pour tout x\in\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right], f(x)\geqslant x, c'est-à-dire e^{x}\sin(x)\geqslant x.
PartieA ; 3. Justifier que le point d'abscisse π/2 de la courbe de f est un point d'inflexion.
f''(x)=2e^{x}\cos(x) s'annule en changeant de signe en x=\dfrac{\pi}{2} (positive avant, négative après, car \cos change de signe en \frac{\pi}{2}) : le point d'abscisse \dfrac{\pi}{2} est donc un point d'inflexion de la courbe de f.
PartieB : On note I = ∫₀^{π/2} eˣsin(x) dx et J = ∫₀^{π/2} eˣcos(x) dx. En intégrant par parties de deux manières différentes, établir I = 1 + J et I = e^{π/2} - J.
En posant u(x)=e^{x}, v'(x)=\sin(x) (donc u'(x)=e^{x}, v(x)=-\cos(x)), l'intégration par parties donne : \begin{aligned}\displaystyle I &= \left[-\cos(x)e^{x}\right]_0^{\pi/2} + \displaystyle\int\limits_0^{\pi/2}e^{x}\cos(x)\,\mathrm{d}x \\ &= 0+1+J \\ &= 1+J\end{aligned}
En posant u(x)=\sin(x), v'(x)=e^{x} (donc u'(x)=\cos(x), v(x)=e^{x}), l'intégration par parties donne : \begin{aligned}\displaystyle I &= \left[\sin(x)e^{x}\right]_0^{\pi/2} - \displaystyle\int\limits_0^{\pi/2}e^{x}\cos(x)\,\mathrm{d}x \\ &= e^{\pi/2}-J\end{aligned}
On obtient donc bien I=1+J et {I=e^{\pi/2}-J}.
PartieB : En déduire que I = (1 + e^{π/2}) / 2.
En additionnant les deux relations : \begin{aligned}2I &= 1+J+e^{\pi/2}-J \\ &= 1+e^{\pi/2}\end{aligned} donc I = \dfrac{1+e^{\pi/2}}{2}.
PartieB : On note g(x) = x. Calculer l'aire exacte du domaine hachuré entre les courbes de f et g sur [0 ; π/2].
D'après la partie A, f(x)\geqslant g(x) sur \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right], donc l'aire cherchée est \begin{aligned}\displaystyle \mathcal{A} &= \displaystyle\int\limits_0^{\pi/2}(f(x)-x)\,\mathrm{d}x \\ &= I - \left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_0^{\pi/2}\end{aligned}
\begin{aligned}\mathcal{A} &= \dfrac{1+e^{\pi/2}}{2} - \dfrac12\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{2} \\ &= \dfrac{1+e^{\pi/2}}{2} - \dfrac{\pi^{2}}{8}\end{aligned} unités d'aire (\approx1{,}67 u.a.).
Corrigé rédigé par Logimaths à partir du sujet officiel du Ministère de l'Éducation nationale (éduscol.education.gouv.fr).