Bac Terminale Spé Maths : Asie 2025, Sujet 1
Session 2025 : Asie, Sujet 1 · Spécialité mathématiques, 4 exercices, 4 heures.
Exercice 1 5 points
L'espace est muni d'un repère orthonormé. On donne \alpha réel, A(1 ; 1 ; 0), B(2 ; 1 ; 0), C(\alpha ; 3 ; \alpha), et (d) : x=1+t, y=2t, z=-t. Affirmation 1 : pour toute valeur de \alpha, A, B, C définissent un plan dont un vecteur normal est ȷ(0 ; 1 ; 0). Vraie ou fausse ?
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}\alpha-1 \\ 2 \\ \alpha\end{pmatrix} ne sont jamais colinéaires (leurs deuxièmes coordonnées sont 0 et 2) : A, B, C définissent bien un plan quel que soit \alpha.
Le repère étant orthonormé : \begin{aligned}\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{\jmath} &= (\alpha-1)\times0+2\times1+\alpha\times0 \\ &= 2 \\ &\neq 0\end{aligned}
\overrightarrow{\jmath} n'est donc pas orthogonal à \overrightarrow{AC}, donc ce n'est pas un vecteur normal au plan (ABC). L'affirmation est fausse.
Affirmation 2 : il existe exactement une valeur de \alpha telle que (AC) et (d) soient parallèles. Vraie ou fausse ?
(d) est dirigée par \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix} et (AC) par \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}\alpha-1 \\ 2 \\ \alpha\end{pmatrix} : ces deux vecteurs ont la même deuxième coordonnée (2), donc pour qu'ils soient colinéaires, il faudrait qu'ils soient égaux.
Cela exigerait \alpha-1=1 (soit \alpha=2) et \alpha=-1 simultanément, ce qui est impossible.
Quel que soit \alpha, les vecteurs ne sont donc jamais colinéaires : l'affirmation est fausse.
Affirmation 3 : une mesure de l'angle OAB est 135^{\circ}. Vraie ou fausse ?
\overrightarrow{AO}\begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} et \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, donc \begin{aligned}\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB} &= -1\times1+(-1)\times0+0\times0 \\ &= -1\end{aligned}
\begin{aligned}AO &= \sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}} \\ &= \sqrt2\end{aligned} et \begin{aligned}AB &= \sqrt{1^{2}} \\ &= 1\end{aligned} donc \begin{aligned}\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB} &= AO\times AB\times\cos(\widehat{OAB}) \\ &= \sqrt2\cos(\widehat{OAB})\end{aligned}
\begin{aligned}-1 = \sqrt2\cos(\widehat{OAB}) &\iff \cos(\widehat{OAB}) = -\dfrac{1}{\sqrt2} \\ &\iff \cos(\widehat{OAB}) = -\dfrac{\sqrt2}{2}\end{aligned} ce qui correspond à un angle de \pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}, soit 135^{\circ}. L'affirmation est vraie.
Affirmation 4 : le projeté orthogonal de A sur (d) est le point H(1 ; 2 ; 2). Vraie ou fausse ?
Pour que x_H=1+t avec x_H=1, il faut t=0 ; mais alors \begin{aligned}y &= 2\times0 \\ &= 0 \\ &\neq 2\end{aligned} et \begin{aligned}z &= -0 \\ &= 0 \\ &\neq 2\end{aligned} H ne vérifie pas la représentation paramétrique de (d), donc H n'appartient même pas à (d) : l'affirmation est fausse.
Affirmation 5 : la sphère de centre O et de rayon 1 rencontre (d) en deux points distincts. Vraie ou fausse ?
Un point M_t de (d) vérifie \begin{aligned}OM_t &= \sqrt{(1+t)^{2}+(2t)^{2}+(-t)^{2}} \\ &= \sqrt{6t^{2}+2t+1}\end{aligned}
\begin{aligned}OM_t = 1 &\iff 6t^{2}+2t+1 = 1 \\ &\iff 6t^{2}+2t = 0 \\ &\iff 2t(3t+1) = 0 \\ &\iff t = 0 \end{aligned} ou t=-\dfrac13.
Cette équation a deux solutions distinctes : la sphère rencontre bien (d) en deux points. L'affirmation est vraie.
Exercice 2 5 points
PartieA ; 1. 95 % des jouets réussissent le test de fabrication F ; parmi eux, 98 % réussissent le test de sécurité S. Donner P(F) et P_F(S).
D'après l'énoncé : P(F)=0{,}95 et P_F(S)=0{,}98.
PartieA ; 2.a Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
L'arbre a pour première branche P(F)=0{,}95 et P(\overline{F})=0{,}05 ; sur la branche F, P_F(S)=0{,}98 et P_F(\overline{S})=0{,}02 ; sur la branche \overline{F}, les probabilités P_{\overline{F}}(S) et P_{\overline{F}}(\overline{S}) restent à déterminer.
PartieA ; 2.b 1 % des jouets ne réussissent aucun des deux tests. Montrer que {P_{\overline{F}}(\overline{S}) = 0,2}.
D'après l'énoncé, P(\overline{F}\cap\overline{S})=0{,}01.
\begin{aligned}P_{\overline{F}}(\overline{S}) &= \dfrac{P(\overline{F}\cap\overline{S})}{P(\overline{F})} \\ &= \dfrac{0{,}01}{0{,}05} \\ &= 0{,}2\end{aligned}
PartieA ; 3. Calculer la probabilité que le jouet choisi réussisse les deux tests.
\begin{aligned}P(F\cap S) &= P(F)\times P_F(S) \\ &= 0{,}95\times0{,}98 \\ &= 0{,}931\end{aligned} soit 0,93 arrondi au centième.
PartieA ; 4. Montrer que la probabilité que le jouet réussisse le test de sécurité vaut 0,97 arrondi au centième.
\{F,\overline{F}\} forme une partition, donc, d'après la formule des probabilités totales : P(S) = P(F\cap S)+P(\overline{F}\cap S).
\begin{aligned}P(\overline{F}\cap S) &= P(\overline{F})\times P_{\overline{F}}(S) \\ &= 0{,}05\times0{,}8 \\ &= 0{,}04\end{aligned}, car \begin{aligned}P_{\overline{F}}(S) &= 1-0{,}2 \\ &= 0{,}8\end{aligned}
P(S) = 0{,}931+0{,}04 = 0{,}971 \approx 0,97.
PartieA ; 5. Lorsque le jouet a réussi le test de sécurité, quelle est la probabilité qu'il réussisse le test de fabrication (arrondie au centième) ?
P_S(F) = \dfrac{P(F\cap S)}{P(S)} = \dfrac{0{,}931}{0{,}971} \approx 0,96.
PartieB ; 1. On note S_n le nombre de jouets sur n réussissant le test de fabrication, suivant la loi binomiale de paramètres n et 0,95. Exprimer E(S_n) et V(S_n) en fonction de n.
\begin{aligned}E(S_n) &= np \\ &= 0{,}95n\end{aligned} et \begin{aligned}V(S_n) &= np(1-p) \\ &= n\times0{,}95\times0{,}05 \\ &= 0{,}0475n\end{aligned}
PartieB ; 2.a Pour n = 150, déterminer une valeur approchée de P(S_{150} = 145) à 10^{-3} près et interpréter.
À la calculatrice : P(S_{150}=145) \approx 0,109.
Cela signifie que, dans environ 10,9 % des cas, exactement 145 des 150 jouets du lot réussissent le test de fabrication.
PartieB ; 2.b Déterminer la probabilité qu'au moins 94 % des jouets du lot réussissent le test de fabrication (arrondie à 10^{-3}).
94 % de 150 jouets correspond à 141 jouets : la probabilité cherchée est P(S_{150}\geqslant141).
À la calculatrice, P(S_{150}\geqslant141) \approx 0,781.
PartieB ; 3.a On pose F_n = S_n/n. Montrer que E(F_n) = 0,95 et V(F_n) = 0,0475/n.
\begin{aligned}E(F_n) &= E\left(\dfrac{S_n}{n}\right) \\ &= \dfrac{E(S_n)}{n} \\ &= \dfrac{0{,}95n}{n} \\ &= 0{,}95\end{aligned}
\begin{aligned}V(F_n) &= V\left(\dfrac{S_n}{n}\right) \\ &= \dfrac{V(S_n)}{n^{2}} \\ &= \dfrac{0{,}0475n}{n^{2}} \\ &= \dfrac{0{,}0475}{n}\end{aligned}
PartieB ; 3.b On note I l'évènement « la proportion de jouets réussissant le test de fabrication est strictement comprise entre 93 % et 97 % ». Déterminer, à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, une taille de lot n à partir de laquelle P(I) \geq 0,96.
L'évènement I s'écrit |F_n-0{,}95|<0{,}02, donc P(I) = 1-P(|F_n-0{,}95|\geqslant0{,}02).
D'après Bienaymé-Tchebychev, avec t=0{,}02 : \begin{aligned}P(|F_n-0{,}95|\geqslant0{,}02) &\leqslant \dfrac{V(F_n)}{0{,}02^{2}} \\ &= \dfrac{0{,}0475}{0{,}0004\,n}\end{aligned}
On veut \begin{aligned}1-\dfrac{0{,}0475}{0{,}0004n} \geqslant 0{,}96 &\iff \dfrac{0{,}0475}{0{,}0004n} \leqslant 0{,}04 \\ &\iff n \geqslant \dfrac{0{,}0475}{0{,}04\times0{,}0004} \\ &\iff n \geqslant 2\,968{,}75\end{aligned}
Il faut donc un lot d'au moins 2 969 jouets pour garantir P(I)\geqslant0{,}96.
Exercice 3 5 points
PartieA ; 1. Un patient prend 2 mL de médicament chaque heure. On pose u_1 = 2 et u_{n+1} = 2 + 0,8u_n pour tout n \geq 1 (u_n = quantité présente après n prises). Calculer u_2.
\begin{aligned}u_2 &= 2+0{,}8\times u_1 \\ &= 2+0{,}8\times2 \\ &= 2+1{,}6 \\ &= 3{,}6\end{aligned} mL.
PartieA ; 2. Montrer par récurrence que u_n = 10 - 8 \times 0,8^{n-1} pour tout entier n \geq 1.
Initialisation : pour n=1, \begin{aligned}10-8\times0{,}8^{0} &= 10-8 \\ &= 2 \\ &= u_1\end{aligned} La propriété est vraie au rang 1.
Hérédité : on suppose que, pour un entier n\geqslant1, u_n=10-8\times0{,}8^{n-1}. Alors : \begin{aligned}u_{n+1} &= 2+0{,}8u_n \\ &= 2+0{,}8(10-8\times0{,}8^{n-1}) \\ &= 2+8-8\times0{,}8^{n} \\ &= 10-8\times0{,}8^{n}\end{aligned} La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel n\geqslant1, {u_n = 10-8\times0{,}8^{n-1}}.
PartieA ; 3. Déterminer la limite de u_n et interpréter.
Comme {-1<0{,}8<1}, \lim\limits_{n\to+\infty}0{,}8^{n-1}=0, donc \lim\limits_{n\to+\infty}u_n = 10.
Cela signifie qu'après un grand nombre de prises, la quantité de médicament dans l'organisme se rapproche indéfiniment de 10 mL, sans jamais l'atteindre.
PartieA ; 4. L'inéquation u_N \geqslant 10 admet-elle des solutions pour N entier naturel non nul ? Interpréter.
\begin{aligned}u_N \geqslant 10 &\iff 10-8\times0{,}8^{N-1} \geqslant 10 \\ &\iff -8\times0{,}8^{N-1} \geqslant 0 \end{aligned}
Or -8\times0{,}8^{N-1} est strictement négatif pour tout N : cette inéquation n'a pas de solution.
Cela signifie que la quantité de médicament dans l'organisme reste toujours strictement inférieure à 10 mL, quel que soit le nombre de prises.
PartieA ; 5. Déterminer à partir de combien de prises la quantité de médicament est strictement supérieure à 9 mL.
u_n>9 \iff 10-8\times0{,}8^{n-1}>9 \iff -8\times0{,}8^{n-1}>-1 \iff 0{,}8^{n-1}<\dfrac18 (en divisant par -8<0, ce qui inverse le sens de l'inégalité).
En passant au logarithme népérien (croissant) : (n-1)\ln(0{,}8)<-\ln(8), et comme \ln(0{,}8)<0 : {n-1>-\dfrac{\ln(8)}{\ln(0{,}8)} \approx 9{,}3}, soit n>10{,}3.
Les solutions entières sont donc les entiers n\geqslant11 : c'est à partir de la 11e prise que la quantité dépasse 9 mL.
PartieB ; 1. On pose {S_n = (u_1+u_2+\dots+u_n)/n}. Calculer S_2.
\begin{aligned}S_2 &= \dfrac{u_1+u_2}{2} \\ &= \dfrac{2+3{,}6}{2} \\ &= 2{,}8\end{aligned}
PartieB ; 2. Montrer que u_1 + u_2 + \dots + u_n = 10n - 40 + 40 \times 0,8^n.
En sommant l'expression explicite de u_k pour k de 1 à n : \begin{aligned}\sum_{k=1}^n u_k &= \sum_{k=1}^n\left(10-8\times0{,}8^{k-1}\right) \\ &= 10n - 8\sum_{k=1}^n0{,}8^{k-1}\end{aligned}
La somme géométrique \begin{aligned}\sum_{k=1}^n0{,}8^{k-1} &= \dfrac{1-0{,}8^{n}}{1-0{,}8} \\ &= 5(1-0{,}8^{n})\end{aligned}
Donc \begin{aligned}\sum_{k=1}^n u_k &= 10n - 8\times5(1-0{,}8^{n}) \\ &= 10n-40+40\times0{,}8^{n}\end{aligned}
PartieB ; 3. Calculer la limite de S_n.
D'après la question précédente, {S_n = 10-\dfrac{40}{n}+\dfrac{40}{n}\times0{,}8^{n}}.
\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{40}{n}=0 et \lim\limits_{n\to+\infty}0{,}8^{n}=0, donc \lim\limits_{n\to+\infty}S_n = 10 : la quantité moyenne de médicament tend elle aussi vers 10 mL.
PartieB ; 4. On donne la fonction mystere(k) (n=1, s=2 ; while s<k: n=n+1, s=10-40/n+40*0.8n/n ; return n). Que représente mystere(9) ?
La fonction calcule les termes successifs de S_n (avec la formule explicite de la question précédente) jusqu'à ce que S_n dépasse le seuil k : mystere(9) renvoie donc le premier rang n à partir duquel la quantité moyenne de médicament dans l'organisme dépasse 9 mL.
PartieB ; 5. Justifier que cette valeur est strictement supérieure à 10.
D'après la partie A, u_n<9 pour tout n\leqslant10 (la quantité ne dépasse 9 mL qu'à partir de la 11e prise).
Or S_n est la moyenne de u_1,\dots,u_n : si tous les u_k (pour k\leqslant10) sont inférieurs à 9, alors S_{10} l'est aussi.
La valeur renvoyée par mystere(9) est donc nécessairement strictement supérieure à 10.
Exercice 4 5 points
1.aOn considère g(x) = e^{\sqrt{x}} sur ]0 ; +\infty[, et f(x) = e^{\sqrt{x}} / (2\sqrt{x}). Montrer que g'(x) = f(x).
g est dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme composée de fonctions dérivables : g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\times e^{\sqrt{x}} = \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} = f(x).
1.bCalculer f'(x) et montrer que f'(x) = e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x} - 1) / (4x\sqrt{x}).
f est dérivable comme quotient de fonctions dérivables sur ]0~;~+\infty[. En dérivant f=\dfrac{g}{2\sqrt{x}} (avec g'=f) : f'(x) = \dfrac{f(x)\times2\sqrt{x} - g(x)\times\frac{1}{\sqrt{x}}}{4x} = \dfrac{e^{\sqrt{x}} - \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}{4x}.
En réduisant au même dénominateur : f'(x) = \dfrac{\frac{\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}{4x} = \dfrac{e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)}{4x\sqrt{x}}.
2.aDéterminer la limite de f en 0.
\lim\limits_{x\to0}e^{\sqrt{x}}=1 et \lim\limits_{x\to0}2\sqrt{x}=0^{+}, avec f(x)>0 : donc \lim\limits_{x\to0}f(x)=+\infty.
2.bInterpréter graphiquement ce résultat.
La courbe \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=0.
3.aDéterminer la limite de f en +\infty.
Par croissances comparées, \lim\limits_{u\to+\infty}\dfrac{e^{u}}{u}=+\infty ; en posant u=\sqrt{x} (qui tend vers +\infty quand x\to+\infty), par composition, \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.
3.bÉtudier le sens de variation de f sur ]0 ; +\infty[ et dresser son tableau de variation.
Pour tout x>0, e^{\sqrt{x}}>0 et 4x\sqrt{x}>0, donc f'(x) est du signe de \sqrt{x}-1.
\begin{aligned}\sqrt{x}-1 \geqslant 0 &\iff x \geqslant 1 \end{aligned} f est donc décroissante sur ]0~;~1] et croissante sur [1~;~+\infty[, avec un minimum f(1)=\dfrac{e}{2}.
3.cMontrer que l'équation f(x) = 2 admet une unique solution sur [1 ; +\infty[, avec une valeur approchée à 10^{-1} près.
Sur [1~;~+\infty[, f est continue et strictement croissante, de \begin{aligned}f(1) &= \dfrac{e}{2} \\ &\approx 1{,}36\end{aligned} à +\infty.
Comme 2\in\left[\dfrac{e}{2}~;~+\infty\right[, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=2 admet une unique solution \alpha sur [1~;~+\infty[.
À la calculatrice, \alpha\approx4{,}6.
4.aOn pose I = ∫₁^{2} f(x) dx. Calculer I.
D'après la question 1.a, g est une primitive de f sur ]0~;~+\infty[.
\begin{aligned}I &= \left[g(x)\right]_1^{2} \\ &= \left[e^{\sqrt{x}}\right]_1^{2} \\ &= e^{\sqrt2}-e\end{aligned}
4.bInterpréter graphiquement ce résultat.
f étant positive, I=e^{\sqrt2}-e représente l'aire du domaine compris entre la courbe \mathcal{C}_f, l'axe des abscisses et les droites x=1 et x=2, en unités d'aire.
5.aOn admet que f''(x) = e^{\sqrt{x}}(x - 3\sqrt{x} + 3) / (8x^2\sqrt{x}). En posant X = \sqrt{x}, montrer que x - 3\sqrt{x} + 3 > 0 sur ]0 ; +\infty[.
En posant X=\sqrt{x}, l'expression devient X^{2}-3X+3, un polynôme du second degré de discriminant {\Delta = 9-12 = -3 < 0}.
Comme \Delta<0 et que le coefficient dominant est positif, X^{2}-3X+3>0 pour tout réel X, donc {x-3\sqrt{x}+3>0} pour tout x>0.
5.bÉtudier la convexité de f sur ]0 ; +\infty[.
Pour tout x>0 : e^{\sqrt{x}}>0, {x-3\sqrt{x}+3>0} (question précédente) et 8x^{2}\sqrt{x}>0, donc f''(x)>0 : f est convexe sur ]0~;~+\infty[.
Corrigé rédigé par Logimaths à partir du sujet officiel du Ministère de l'Éducation nationale (éduscol.education.gouv.fr).