Bac Terminale Spé Maths : Polynésie 2025, Sujet 1

PartieA ; 1. Aux États-Unis, 17 % des enfants vivent en zone rurale (R), dont 6,2 % ont une allergie alimentaire (A) ; 9 % des enfants au total sont allergiques. Traduire par un arbre de probabilité.

L'arbre a pour première branche P(R)=0{,}17, P(\overline{R})=0{,}83, puis {P_R(A)=0{,}062}, P_R(\overline{A})=0{,}938 (les probabilités P_{\overline{R}}(A) et P_{\overline{R}}(\overline{A}) restent à déterminer).

PartieA ; 2.a Calculer la probabilité que l'enfant interrogé habite en zone rurale et soit allergique.

\begin{aligned}P(R\cap A) &= P(R)\times P_R(A) \\ &= 0{,}17\times0{,}062 \\ &= 0{,}01054\end{aligned}

PartieA ; 2.b En déduire la probabilité que l'enfant habite en zone urbaine et soit allergique.

\{R,\overline{R}\} forme une partition, donc, d'après la formule des probabilités totales : P(A) = P(R\cap A)+P(\overline{R}\cap A).
0{,}09 = 0{,}01054+P(\overline{R}\cap A), donc \begin{aligned}P(\overline{R}\cap A) &= 0{,}09-0{,}01054 \\ &= 0{,}07946\end{aligned}

PartieA ; 2.c Sachant que l'enfant habite en zone urbaine, quelle est la probabilité qu'il soit allergique (arrondie à 10^{-4}) ?

P_{\overline{R}}(A) = \dfrac{P(\overline{R}\cap A)}{P(\overline{R})} = \dfrac{0{,}07946}{0{,}83} \approx 0,0957.

PartieB ; 1. On interroge 100 enfants (tirage avec remise) ; X compte les enfants allergiques (probabilité 0,09). Justifier la loi et les paramètres de X.

L'épreuve « être allergique » (probabilité 0,09) est répétée 100 fois de façon indépendante : X suit la loi binomiale de paramètres n=100 et p=0{,}09.

PartieB ; 2. Quelle est la probabilité qu'au moins 10 enfants sur 100 soient allergiques (arrondie à 10^{-4}) ?

À la calculatrice, P(X\geqslant10) \approx 0,4125.

PartieC ; 1. On étudie l'âge d'apparition des symptômes pour 20 enfants allergiques, modélisé par A_1,\dots,A_{20} (indépendantes, même loi d'espérance 4 et variance 2,25). On pose M_{20}=(A_1+\dots+A_{20})/20. Que représente M_{20} ?

M_{20} représente l'âge moyen d'apparition des premiers symptômes allergiques sur cet échantillon de 20 enfants.

PartieC ; 2. Déterminer l'espérance et la variance de M_{20}.

\begin{aligned}E(M_{20}) &= E(A) \\ &= 4\end{aligned} et \begin{aligned}V(M_{20}) &= \dfrac{V(A)}{20} \\ &= \dfrac{2{,}25}{20} \\ &= 0{,}1125\end{aligned}

PartieC ; 3. Justifier, à l'aide de l'inégalité de concentration, que P(2 < M_{20} < 6) > 0,97, et interpréter.

L'évènement « 2<M_{20}<6 » équivaut à |M_{20}-4|<2, donc {P(|M_{20}-4|<2) = 1-P(|M_{20}-4|\geqslant2)}.
D'après l'inégalité de concentration, avec n=20 et t=2 : \begin{aligned}P(|M_{20}-4|\geqslant2) &\leqslant \dfrac{2{,}25}{20\times2^{2}} \\ &= \dfrac{2{,}25}{80}\end{aligned}
Donc P(|M_{20}-4|<2) \geqslant 1-\dfrac{2{,}25}{80} = \dfrac{311}{320} \approx 0{,}9719 > 0{,}97.
Cela signifie que, dans plus de 97 % des cas, les premiers symptômes apparaissent entre 2 et 6 ans.

1.L'espace est muni d'un repère orthonormé (le sol est le plan z=0). L'avion Bêta suit la droite d_B : x=-11+5t, y=-5+t, z=11-4t. Déterminer les coordonnées du point S où il touchera le sol.

L'avion touche le sol quand z=0 : \begin{aligned}11-4t = 0 &\iff t = \dfrac{11}{4} \end{aligned}
\begin{aligned}x &= -11+5\times\dfrac{11}{4} \\ &= \dfrac{11}{4}\end{aligned} et \begin{aligned}y &= -5+\dfrac{11}{4} \\ &= -\dfrac{9}{4}\end{aligned} D'où S\left(\dfrac{11}{4}~;~-\dfrac{9}{4}~;~0\right).

2.aL'avion Alpha est en A(-7 ; 1 ; 7), dirigé par u(2 ; -1 ; -3). Déterminer une représentation paramétrique de d_A.

d_A : x=-7+2s, y=1-s, z=7-3s, avec s\in\mathbb{R}.

2.bLes deux avions peuvent-ils entrer en collision ?

Une collision suppose que d_A et d_B soient sécantes : on cherche (t,s) tel que -11+5t=-7+2s, -5+t=1-s, 11-4t=7-3s.
En substituant t=6-s (issu de la deuxième équation) dans la première : \begin{aligned}-11+5(6-s) = -7+2s &\iff 26 = 7s \\ &\iff s = \dfrac{26}{7} \end{aligned} mais la troisième équation donne {s=\dfrac{20}{7}} : incohérent.
Le système n'a pas de solution : les droites ne sont pas sécantes, les avions ne peuvent pas entrer en collision.

3.aDémontrer que l'avion Alpha passe par la position E(-3 ; -1 ; 1).

En résolvant -3=-7+2s, -1=1-s, 1=7-3s, on trouve s=2 dans les trois équations : E est bien sur la trajectoire de l'avion Alpha (point de paramètre s=2).

3.bJustifier qu'une équation cartésienne du plan P_E (passant par E, perpendiculaire à d_A) est 2x - y - 3z + 8 = 0.

\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ -3\end{pmatrix} dirige d_A, donc c'est un vecteur normal à P_E : ce plan a une équation de la forme {2x-y-3z+d=0}.
E appartient au plan : \begin{aligned}2\times(-3)-(-1)-3\times1+d = 0 &\iff -6+1-3+d = 0 \\ &\iff d = 8 \end{aligned}
P_E a donc pour équation {2x-y-3z+8=0}.

3.cVérifier que F(-1 ; -3 ; 3) est le point d'intersection de P_E et de d_B.

En substituant la représentation paramétrique de d_B dans l'équation de P_E : \begin{aligned}2(-11+5t)-(-5+t)-3(11-4t)+8 = 0 &\iff 21t = 42 \\ &\iff t = 2 \end{aligned}
Pour t=2 : x=-1, y=-3, z=3 : c'est bien le point F.

3.dCalculer la valeur exacte de la distance EF, puis vérifier que cela correspond à environ 3 464 m (à 1 m près).

\begin{aligned}EF &= \sqrt{(-1-(-3))^{2}+(-3-(-1))^{2}+(3-1)^{2}} \\ &= \sqrt{4+4+4} \\ &= \sqrt{12} \\ &= 2\sqrt3\end{aligned} km.
2\sqrt3 \approx 3{,}4641 km, soit environ 3 464 m à 1 m près.

4.La règle impose au moins 3 milles nautiques (1 852 m) entre deux avions. Si les avions sont en E et F au même instant, la distance de sécurité est-elle respectée ?

\dfrac{3\,464}{1\,852} \approx 1{,}87 milles nautiques (moins de 2), ce qui est inférieur à 3 milles nautiques.
La distance de sécurité n'est donc pas respectée.

PartieA ; 1.a Pour n \geq 1, on pose {f_n(x) = x^n e^{-x}} sur [0 ; +\infty[. Montrer que f_n'(x) = (n-x)x^{n-1}e^{-x}.

f_n est dérivable comme produit de fonctions dérivables : f_n'(x) = nx^{n-1}e^{-x}+x^{n}(-e^{-x}) = (nx^{n-1}-x^{n})e^{-x} = (n-x)x^{n-1}e^{-x} (en factorisant par x^{n-1}).

PartieA ; 1.b Justifier le tableau de variation de f_n (croissante sur [0 ; n], décroissante sur [n ; +\infty[, maximum (n/e) puissance n).

Sur [0~;~+\infty[, e^{-x}>0 et x^{n-1}\geqslant0, donc f_n'(x) est du signe de n-x : positif sur [0~;~n[, nul en n, négatif sur ]n~;~+\infty[.
f_n est donc croissante sur [0~;~n] puis décroissante sur [n~;~+\infty[, avec {f_n(0)=0} et \begin{aligned}f_n(n) &= n^{n}e^{-n} \\ &= \left(\dfrac{n}{e}\right)^{n}\end{aligned}
Par croissances comparées, {\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{n}}=+\infty}, donc \lim\limits_{x\to+\infty}f_n(x)=0 : la courbe admet une asymptote horizontale y=0 en +\infty.

PartieA ; 2. Justifier par le calcul que le point A(1 ; e^{-1}) appartient à la courbe \mathcal{C}_n.

\begin{aligned}f_n(1) &= 1^{n}\times e^{-1} \\ &= e^{-1}\end{aligned} Le point A appartient bien à \mathcal{C}_n pour tout n\geqslant1.

PartieB ; 1.a On pose \displaystyle I_n = \int\limits_0^1 f_n(x)\,dx pour n \geq 0. Donner une interprétation graphique de I_n.

f_n étant positive sur [0~;~1], I_n représente l'aire du domaine délimité par la courbe \mathcal{C}_n, l'axe des abscisses et les droites x=0 et x=1.

PartieB ; 1.b Par lecture graphique, quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de (I_n) ?

Les courbes \mathcal{C}_n pour n croissant délimitent des aires de plus en plus petites : on conjecture que la suite (I_n) tend vers 0.

PartieB ; 2. Calculer I_0.

\begin{aligned}\displaystyle I_0 &= \displaystyle\int\limits_0^1 e^{-x}\,\mathrm{d}x \\ &= \left[-e^{-x}\right]_0^1 \\ &= -e^{-1}+1 \\ &= 1-e^{-1}\end{aligned}

PartieB ; 3.a Démontrer que, pour tout x de [0 ; 1], {0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n}.

Pour x\in[0~;~1] : {0\leqslant x\leqslant1}, donc en multipliant par x^{n}\geqslant0 : {0\leqslant x^{n+1}\leqslant x^{n}}.

PartieB ; 3.b En déduire que, pour tout entier naturel n, {0 \leqslant I_{n+1} \leqslant I_n}.

En multipliant l'inégalité précédente par e^{-x}>0 : {0\leqslant x^{n+1}e^{-x}\leqslant x^{n}e^{-x}}, soit {0\leqslant f_{n+1}(x)\leqslant f_n(x)}.
Par positivité et croissance de l'intégrale sur [0~;~1] : {0\leqslant I_{n+1}\leqslant I_n}.

PartieB ; 4. Démontrer que la suite (I_n) est convergente, vers une limite positive ou nulle ℓ.

D'après la question précédente, (I_n) est décroissante et minorée par 0 : elle converge donc vers une limite \ell\geqslant0.

PartieB ; 5. En utilisant une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n, I_{n+1} = (n+1)I_n - 1/e.

On pose u(x)=x^{n+1} et v'(x)=e^{-x} (donc u'(x)=(n+1)x^{n} et v(x)=-e^{-x}).
\begin{aligned}\displaystyle I_{n+1} &= \left[-x^{n+1}e^{-x}\right]_0^1 + (n+1)\displaystyle\int\limits_0^1x^{n}e^{-x}\,\mathrm{d}x \\ &= -e^{-1}+0+(n+1)I_n\end{aligned}
Donc I_{n+1} = (n+1)I_n-\dfrac1e.

PartieB ; 6.a Démontrer que si ℓ > 0, l'égalité de la question précédente conduit à une contradiction.

Si \ell>0, alors \lim\limits_{n\to+\infty}(n+1)I_n=+\infty (produit d'une suite qui tend vers +\infty par une suite qui tend vers \ell>0), donc \lim\limits_{n\to+\infty}I_{n+1}=+\infty.
Or (I_{n+1}) a la même limite que (I_n), qui converge vers \ell (fini) : contradiction avec l'unicité de la limite.

PartieB ; 6.b Démontrer que ℓ = 0.

L'hypothèse \ell>0 conduisant à une contradiction, on a \ell\leqslant0 ; or on sait déjà que \ell\geqslant0 : donc \ell=0, la suite (I_n) converge vers 0.

PartieB ; 7. Un script Python calcule I = 1 - 1/e puis applique I = (i+1)*I - 1/e pour i de 0 à n-1, stockant chaque valeur dans une liste L. Que renvoie mystere(100) ?

Le script applique la relation de récurrence de (I_n) 100 fois à partir de I_0=1-\dfrac1e : mystere(100) renvoie donc la liste des 101 premiers termes de la suite (I_n), de I_0 à I_{100}.

Onconsidère (E) : y' = y/2 + 4. Affirmation 1 : les solutions de (E) sont les fonctions f(x) = ke^{x/2} - 8, k \in \mathbb{R}. Vraie ou fausse ?

Les équations y'=ay+b (avec a\neq0) ont pour solutions x\longmapsto ke^{ax}-\dfrac{b}{a}. Ici a=\dfrac12, b=4, donc les solutions sont x\longmapsto ke^{x/2}-\dfrac{4}{\dfrac{1}{2}} = ke^{x/2}-8. L'affirmation est vraie.

Dansune classe de 18 filles et 14 garçons, on choisit au hasard 3 filles et 3 garçons pour une équipe de volley. Affirmation 2 : il y a 297 024 possibilités. Vraie ou fausse ?

Le choix des 3 filles (sans ordre) parmi 18 se fait de \dbinom{18}{3}=816 façons, et celui des 3 garçons parmi 14 de {\dbinom{14}{3}=364} façons.
Par principe multiplicatif : {816\times364 = 297\,024} équipes possibles. L'affirmation est vraie.

Onpose v_n = n/(2+\cos(n)). Affirmation 3 : la suite (v_n) diverge vers +\infty. Vraie ou fausse ?

Pour tout entier n : {-1\leqslant\cos(n)\leqslant1}, donc {1\leqslant2+\cos(n)\leqslant3}, donc {\dfrac13\leqslant\dfrac{1}{2+\cos(n)}}.
En multipliant par n\geqslant0 : \dfrac{n}{3}\leqslant v_n. Or \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n}{3}=+\infty, donc par comparaison, \lim\limits_{n\to+\infty}v_n=+\infty. L'affirmation est vraie.

Ondonne A(1 ; 1 ; 2), B(5 ; -1 ; 8), C(2 ; 1 ; 3). Affirmation 4 : AB\cdotAC = 10 et l'angle BAC mesure 30^{\circ}. Vraie ou fausse ?

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4 \\ -2 \\ 6\end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, donc \begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &= 4+0+6 \\ &= 10\end{aligned} La première partie est vraie.
\begin{aligned}AB &= \sqrt{16+4+36} \\ &= \sqrt{56} \\ &= 2\sqrt{14}\end{aligned} et \begin{aligned}AC &= \sqrt{1+0+1} \\ &= \sqrt2\end{aligned} donc \begin{aligned}\cos(\widehat{BAC}) &= \dfrac{10}{2\sqrt{14}\times\sqrt2} \\ &= \dfrac{10}{4\sqrt7} \\ &= \dfrac{5\sqrt7}{14}\end{aligned}
Or \begin{aligned}\cos(30^{\circ}) &= \dfrac{\sqrt3}{2} \\ &\neq \dfrac{5\sqrt7}{14}\end{aligned} (l'angle vaut en réalité environ 19^{\circ}) : l'affirmation est fausse.

Onconsidère h sur ]0 ; +\infty[ avec h''(x) = x ln(x) - 3x. Affirmation 5 : h est convexe sur [e^{3} ; +\infty[. Vraie ou fausse ?

h''(x) = x(\ln(x)-3), et x>0, donc h''(x) est du signe de \ln(x)-3.
Pour x\geqslant e^{3} : \ln(x)\geqslant3 (croissance du logarithme), donc h''(x)\geqslant0.
h'' étant positive sur [e^{3}~;~+\infty[, h est convexe sur cet intervalle : l'affirmation est vraie.