Bac Terminale Spé Maths : Polynésie 2025, Sujet 2

PartieA ; 1.a Une donnée binaire (0 ou 1) est transmise de machine en machine, fidèlement (90 %) ou de façon contraire (10 %). V_n : « la n-ième machine détient 1 ». Compléter l'arbre de probabilité.

Chaque transmission fidèle a une probabilité 0,9 et chaque transmission contraire 0,1 : l'arbre a pour branches P_{V_n}(V_{n+1})=0{,}9, P_{V_n}(\overline{V_{n+1}})=0{,}1, P_{\overline{V_n}}(V_{n+1})=0{,}1, P_{\overline{V_n}}(\overline{V_{n+1}})=0{,}9.

PartieA ; 1.b Démontrer que P(V_3) = 0,82 et interpréter.

\{V_2,\overline{V_2}\} forme une partition, donc, d'après la formule des probabilités totales : P(V_3) = P(V_2)\times P_{V_2}(V_3)+P(\overline{V_2})\times P_{\overline{V_2}}(V_3).
P(V_2)=0{,}9 (car P(V_1)=1), donc \begin{aligned}P(V_3) &= 0{,}9\times0{,}9+0{,}1\times0{,}1 \\ &= 0{,}81+0{,}01 \\ &= 0{,}82\end{aligned}
Cela signifie qu'il y a 82 % de chances que la troisième machine détienne la valeur 1.

PartieA ; 1.c Sachant que la troisième machine a reçu 1, calculer la probabilité que la deuxième ait aussi reçu 1.

P_{V_3}(V_2) = \dfrac{P(V_2\cap V_3)}{P(V_3)} = \dfrac{0{,}9\times0{,}9}{0{,}82} = \dfrac{81}{82} \approx 0,988.

PartieA ; 2.a On note p_n=P(V_n), p_1=1. Démontrer que, pour tout entier n \geq 1, p_{n+1} = 0,8p_n + 0,1.

\{V_n,\overline{V_n}\} forme une partition, donc \begin{aligned}p_{n+1} &= P(V_n)\times P_{V_n}(V_{n+1})+P(\overline{V_n})\times P_{\overline{V_n}}(V_{n+1}) \\ &= 0{,}9p_n+0{,}1(1-p_n)\end{aligned}
\begin{aligned}p_{n+1} &= 0{,}9p_n+0{,}1-0{,}1p_n \\ &= 0{,}8p_n+0{,}1\end{aligned}

PartieA ; 2.b Démontrer par récurrence que, pour tout entier n \geq 1, {p_n = 0,5 \times 0,8^{n-1} + 0,5}.

Initialisation : pour n=1, \begin{aligned}0{,}5\times0{,}8^{0}+0{,}5 &= 0{,}5+0{,}5 \\ &= 1 \\ &= p_1\end{aligned} La propriété est vraie au rang 1.
Hérédité : on suppose que, pour un entier n\geqslant1, {p_n=0{,}5\times0{,}8^{n-1}+0{,}5}. Alors : \begin{aligned}p_{n+1} &= 0{,}8p_n+0{,}1 \\ &= 0{,}8(0{,}5\times0{,}8^{n-1}+0{,}5)+0{,}1 \\ &= 0{,}5\times0{,}8^{n}+0{,}4+0{,}1 \\ &= 0{,}5\times0{,}8^{n}+0{,}5\end{aligned} La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel n\geqslant1, {p_n=0{,}5\times0{,}8^{n-1}+0{,}5}.

PartieA ; 2.c Calculer la limite de p_n et interpréter.

Comme {-1<0{,}8<1}, \lim\limits_{n\to+\infty}0{,}8^{n-1}=0, donc \lim\limits_{n\to+\infty}p_n = 0{,}5.
Quand le nombre de machines tend vers l'infini, la probabilité que la dernière détienne la valeur 1 tend vers 0,5 (la donnée devient totalement aléatoire).

PartieB ; 1. On donne un script Python simulation(n) (donnee=1 ; puis pour chaque étape : if rand()<0.1: donnee=1-donnee). Déterminer le rôle des lignes « if rand()<0.1 » et « donnee=1-donnee ».

rand() renvoie un nombre aléatoire de [0~;~1[ ; la condition rand()<0.1 est donc vraie avec une probabilité de 0{,}1 (proportionnelle à la longueur de l'intervalle [0~;~0{,}1[).
Cette ligne simule donc l'évènement « transmission contraire » (probabilité 0,1) ; la ligne donnee = 1 - donnee inverse alors la valeur (0 devient 1, 1 devient 0), simulant cette transmission contraire.

PartieB ; 2. Calculer la probabilité que simulation(4) renvoie [1,1,1,1,1] et que simulation(6) renvoie [1,0,1,0,0,1,1].

[1,1,1,1,1] correspond à 4 transmissions fidèles successives : {P = 0{,}9^{4} = 0{,}6561 \approx} 0,656.
[1,0,1,0,0,1,1] correspond à 3 transmissions contraires, puis fidèle, puis contraire, puis fidèle : P = 0{,}1^{3}\times0{,}9\times0{,}1\times0{,}9 = 0{,}9^{2}\times0{,}1^{4} = 8{,}1\times10^{-5} \approx 0,000 (au millième).

1.On considère f(x) = x ln(x-2) sur ]2 ; +\infty[, dont la courbe est donnée. Conjecturer le sens de variation, les limites aux bornes et les asymptotes éventuelles.

D'après le graphique, f semble strictement croissante sur ]2~;~+\infty[, avec \lim\limits_{x\to2}f(x)=-\infty (asymptote verticale x=2) et \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

2.Résoudre l'équation f(x) = 0 sur ]2 ; +\infty[.

\begin{aligned}f(x) = 0 &\iff x\ln(x-2) = 0 \\ &\iff x = 0 \end{aligned} ou \ln(x-2)=0. Comme x>2, x\neq0, donc \begin{aligned}\ln(x-2) = 0 &\iff x-2 = 1 \\ &\iff x = 3 \end{aligned}
L'équation a une unique solution : x=3.

3.Calculer la limite de f(x) quand x tend vers 2 par valeurs supérieures. Ce résultat confirme-t-il une conjecture de la question 1 ?

\lim\limits_{x\to2^{+}}(x-2)=0^{+}, donc par composition \lim\limits_{x\to2^{+}}\ln(x-2)=-\infty ; et \lim\limits_{x\to2^{+}}x=2, donc par produit \lim\limits_{x\to2^{+}}f(x)=-\infty.
Ce résultat confirme la conjecture de limite en 2 et l'asymptote verticale d'équation x=2.

4.Démontrer que, pour tout x de ]2 ; +\infty[, f'(x) = ln(x-2) + x/(x-2).

f est un produit de fonctions dérivables : f'(x) = 1\times\ln(x-2)+x\times\dfrac{1}{x-2} = \ln(x-2)+\dfrac{x}{x-2}.

5.aOn pose g(x) = f'(x). Démontrer que, pour tout x de ]2 ; +\infty[, g'(x) = (x-4)/(x-2)^{2}.

g'(x) = f''(x) = \dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1\times(x-2)-x\times1}{(x-2)^{2}} = \dfrac{x-2}{(x-2)^{2}}-\dfrac{2}{(x-2)^{2}} = \dfrac{x-4}{(x-2)^{2}}.

5.bOn admet que la limite de g en 2 (à droite) et en +\infty vaut +\infty. En déduire le tableau de variation de g, avec la valeur exacte de son extremum.

(x-2)^{2}>0, donc g'(x) est du signe de x-4 : négatif sur ]2~;~4[, positif sur ]4~;~+\infty[.
g est donc décroissante sur ]2~;~4] puis croissante sur [4~;~+\infty[, avec un minimum \begin{aligned}g(4) &= \ln(2)+\dfrac{4}{2} \\ &= 2+\ln(2)\end{aligned}

5.cEn déduire que, pour tout x de ]2 ; +\infty[, g(x) > 0.

Le minimum de g est g(4)=2+\ln(2) ; comme \ln(2)>0, {g(4)>2>0} : g(x)>0 pour tout x de ]2~;~+\infty[.

5.dEn déduire le sens de variation de f sur ]2 ; +\infty[.

g=f' est strictement positive sur ]2~;~+\infty[ : f est donc strictement croissante sur cet intervalle.

6.Étudier la convexité de f sur ]2 ; +\infty[ et préciser les coordonnées d'un éventuel point d'inflexion.

f'=g est décroissante sur ]2~;~4] (donc f concave) et croissante sur [4~;~+\infty[ (donc f convexe) : f change de convexité en x=4.
\begin{aligned}f(4) &= 4\ln(2) \\ &= \ln(16)\end{aligned} Le point d'inflexion a pour coordonnées (4~;~\ln(16)).

7.Combien de valeurs de x donnent une tangente à la courbe de f de coefficient directeur 3 ?

On cherche f'(x)=3, soit g(x)=3. Or \begin{aligned}g(4) &= 2+\ln(2) \\ &\approx 2{,}7\end{aligned}
Sur ]2~;~4], g est continue et strictement décroissante de +\infty à 2{,}7 : comme 3 est dans cet intervalle, il existe une unique solution \alpha.
Sur [4~;~+\infty[, g est continue et strictement croissante de 2{,}7 à +\infty : il existe de même une unique solution \beta.
Il existe donc exactement deux valeurs de x pour lesquelles la tangente a un coefficient directeur égal à 3.

1.L'espace est muni d'un repère orthonormé. On donne A(1 ; 3 ; 0), B(-1 ; 4 ; 5), C(0 ; 1 ; 0), D(-2 ; 2 ; 1). Montrer que A, B, C déterminent un plan.

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 5\end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix} ne sont pas colinéaires : A, B, C ne sont pas alignés, ils déterminent bien un plan.

2.Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.

\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &= -2\times(-1)+1\times(-2)+5\times0 \\ &= 2-2+0 \\ &= 0\end{aligned} \overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}, donc le triangle ABC est rectangle en A.

3.aSoit \Delta la droite passant par D, de vecteur directeur u(2 ; -1 ; 1). Démontrer que \Delta est orthogonale au plan (ABC).

\begin{aligned}\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{AB} &= 2\times(-2)+(-1)\times1+1\times5 \\ &= -4-1+5 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{AC} &= 2\times(-1)+(-1)\times(-2)+1\times0 \\ &= -2+2+0 \\ &= 0\end{aligned}
\overrightarrow{u} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : \Delta (dirigée par \overrightarrow{u}) est donc orthogonale au plan (ABC).

3.bJustifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne 2x - y + z + 1 = 0.

\overrightarrow{u} étant normal à (ABC), ce plan a une équation de la forme 2x-y+z+d=0 ; A appartient au plan : \begin{aligned}2\times1-3+0+d = 0 &\iff d = 1 \end{aligned} soit 2x-y+z+1=0.

3.cDéterminer une représentation paramétrique de la droite \Delta.

\Delta passe par D et est dirigée par \overrightarrow{u} : x=-2+2t, y=2-t, z=1+t, avec t\in\mathbb{R}.

4.On appelle H le point de coordonnées (-\dfrac{2}{3} ; \dfrac{4}{3} ; \dfrac{5}{3}). Vérifier que H est le projeté orthogonal de D sur (ABC).

Le point de \Delta appartenant à (ABC) vérifie \begin{aligned}2(-2+2t)-(2-t)+(1+t)+1 = 0 &\iff 6t-4 = 0 \\ &\iff t = \dfrac23 \end{aligned}
Pour t=\dfrac23 : x=-\dfrac23, y=\dfrac43, z=\dfrac53 : on retrouve H. Comme \Delta\perp(ABC), H est bien le projeté orthogonal de D sur (ABC).

5.aMontrer que DH = 2\surd\dfrac{6}{3}.

\begin{aligned}DH &= \sqrt{\left(\frac43\right)^{2}+\left(-\frac23\right)^{2}+\left(\frac23\right)^{2}} \\ &= \sqrt{\frac{16}{9}+\frac49+\frac49} \\ &= \sqrt{\frac{24}{9}} \\ &= \dfrac{2\sqrt6}{3}\end{aligned}

5.bEn déduire le volume du tétraèdre ABCD.

En prenant ABC (rectangle en A) comme base : son aire est \begin{aligned}B &= \dfrac{AB\times AC}{2} \\ &= \dfrac{\sqrt{30}\times\sqrt5}{2} \\ &= \dfrac{\sqrt{150}}{2} \\ &= \dfrac52\sqrt6\end{aligned}
La hauteur relative à cette base est DH=\dfrac{2\sqrt6}{3}, donc \begin{aligned}V &= \dfrac13\times B\times DH \\ &= \dfrac13\times\dfrac52\sqrt6\times\dfrac{2\sqrt6}{3} \\ &= \dfrac{10}{3} \\ &\approx 3{,}33\end{aligned}

6.On considère la droite d : x=1-2k, y=-3k, z=1+k. La droite d et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?

d est dirigée par \overrightarrow{u'}\begin{pmatrix}-2 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix}. \begin{aligned}\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u'} &= 2\times(-2)+(-1)\times(-3)+1\times1 \\ &= -4+3+1 \\ &= 0\end{aligned}
\overrightarrow{u'} est orthogonal au vecteur normal \overrightarrow{u} du plan (ABC), donc \overrightarrow{u'} dirige une droite parallèle au plan.
Le point E(1~;~0~;~1) de d (pour k=0) ne vérifie pas \begin{aligned}2\times1-0+1+1 &= 4 \\ &\neq 0\end{aligned} E n'appartient pas au plan, donc d est strictement parallèle au plan (ABC).

Ondonne E = {1,...,7} et F = {0,...,9}. Affirmation 1 : il y a plus de 3-uplets d'éléments distincts de E que de combinaisons à 4 éléments de F. Vraie ou fausse ?

Les 3-uplets d'éléments distincts de E (ordre compté, sans répétition) : \begin{aligned}\dfrac{7!}{4!} &= 7\times6\times5 \\ &= 210\end{aligned}
Les combinaisons à 4 éléments de F : \begin{aligned}\dbinom{10}{4} &= \dfrac{10\times9\times8\times7}{4\times3\times2} \\ &= 210\end{aligned}
Les deux quantités sont égales (210 = 210), pas l'une supérieure à l'autre : l'affirmation est fausse.

Onreprésente la fonction carré f et un carré ABCD de côté 3. Affirmation 2 : la zone hachurée (sous la courbe de f entre 0 et 3) et le carré ABCD ont la même aire. Vraie ou fausse ?

L'aire du carré ABCD est 3^{2}=9 unités d'aire.
L'aire sous la courbe (f positive) est \begin{aligned}\displaystyle \displaystyle\int\limits_0^3x^{2}\,\mathrm{d}x &= \left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_0^3 \\ &= 9\end{aligned} unités d'aire.
Les deux aires sont égales : l'affirmation est vraie.

Onconsidère J, l'intégrale de x ln(x) entre 1 et 2. Affirmation 3 : une intégration par parties donne J = \dfrac{7}{11}. Vraie ou fausse ?

On pose u(x)=\dfrac12x^{2} et v(x)=\ln(x) (donc u'(x)=x et v'(x)=\dfrac1x).
\begin{aligned}\displaystyle J &= \left[\dfrac12x^{2}\ln(x)\right]_1^{2} - \displaystyle\int\limits_1^2\dfrac12x\,\mathrm{d}x \\ &= 2\ln(2) - \dfrac12\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_1^2 \\ &= 2\ln(2)-\dfrac34 \\ &\approx 0{,}636\end{aligned}
Or \dfrac{7}{11}\approx0{,}6364 : J\neq\dfrac{7}{11} (l'écart est réel bien que très faible). L'affirmation est fausse.

Onconsidère (E) : y' = 2y - e^{x}. Affirmation 4 : f(x) = e^{x} + e^{2x} est solution de (E). Vraie ou fausse ?

f'(x) = e^{x}+2e^{2x}.
2f(x)-e^{x} = 2(e^{x}+e^{2x})-e^{x} = e^{x}+2e^{2x} = f'(x).
f vérifie bien (E) : l'affirmation est vraie.

Soitx \in [0 ; 1[. On pose {u_n = (x-1)e^n + \cos(n)}. Affirmation 5 : la suite (u_n) diverge vers -\infty. Vraie ou fausse ?

x\in[0~;~1[, donc x-1\in[-1~;~0[ est strictement négatif.
\lim\limits_{n\to+\infty}e^{n}=+\infty et (x-1)<0, donc \lim\limits_{n\to+\infty}(x-1)e^{n}=-\infty, puis {\lim\limits_{n\to+\infty}[(x-1)e^{n}+1]=-\infty}.
Comme \cos(n)\leqslant1 pour tout n : {u_n\leqslant(x-1)e^{n}+1}, donc par comparaison, \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=-\infty. L'affirmation est vraie.