Bac Terminale Spé Maths : Asie 2026, Sujet 1

1.Donner la valeur de p_{1} et montrer que p_{2} = \dfrac{17}{30}.

p_1 = \dfrac{1}{2} (probabilité donnée d'atteindre le centre au premier tir).
Les évènements T_1 et \overline{T_1} formant une partition de l'univers, d'après la formule des probabilités totales :
p_2 = P(T_1)\times P_{T_1}(T_2) + P(\overline{T_1})\times P_{\overline{T_1}}(T_2) = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{12}{30}+\dfrac{5}{30} = \dfrac{17}{30}.

2.Recopier l'arbre et compléter les pointillés.

Sur la première branche : P(T_n) = p_n et P(\overline{T_n}) = 1-p_n.
Sur les branches issues de T_n : P_{T_n}(T_{n+1}) = \dfrac{4}{5} et P_{T_n}(\overline{T_{n+1}}) = \dfrac{1}{5}.
Sur les branches issues de \overline{T_n} : P_{\overline{T_n}}(T_{n+1}) = \dfrac{1}{3} et P_{\overline{T_n}}(\overline{T_{n+1}}) = \dfrac{2}{3}.

3.Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, p_{n+1} = (\dfrac{7}{15}) p_{n} + \dfrac{1}{3}.

T_n et \overline{T_n} formant une partition de l'univers, d'après la formule des probabilités totales :
\begin{aligned}p_{n+1} &= P(T_n)\times P_{T_n}(T_{n+1}) + P(\overline{T_n})\times P_{\overline{T_n}}(T_{n+1}) \\ &= p_n\times\dfrac{4}{5} + (1-p_n)\times\dfrac{1}{3}\end{aligned}
= p_n\left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{1}{3} = p_n\times\dfrac{12-5}{15}+\dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{15}p_n+\dfrac{1}{3}.

4.aMontrer que (u_{n}) est géométrique de raison \dfrac{7}{15}.

u_n = p_n-\dfrac{5}{8}, donc p_n = u_n+\dfrac{5}{8}, et u_{n+1} = p_{n+1}-\dfrac{5}{8}.
\begin{aligned}u_{n+1} &= \dfrac{7}{15}p_n+\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{8} \\ &= \dfrac{7}{15}\left(u_n+\dfrac{5}{8}\right)+\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{8}\end{aligned}
= \dfrac{7}{15}u_n + \dfrac{7}{15}\times\dfrac{5}{8}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{8} = \dfrac{7}{15}u_n+\dfrac{7}{24}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{8}.
Or \begin{aligned}\dfrac{7}{24}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{8} &= \dfrac{7}{24}+\dfrac{8}{24}-\dfrac{15}{24} \\ &= 0\end{aligned} donc u_{n+1}= \dfrac{7}{15}u_n.
(u_n) est donc géométrique de raison \dfrac{7}{15}.

4.bDéterminer une expression de u_{n} en fonction de n.

\begin{aligned}u_1 &= p_1-\dfrac{5}{8} \\ &= \dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{8} \\ &= -\dfrac{1}{8}\end{aligned}
(u_n) étant géométrique de raison \dfrac{7}{15} et de premier terme u_1 : u_n = -\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{7}{15}\right)^{n-1}.

4.cEn déduire une expression de p_{n} en fonction de n.

p_n = u_n+\dfrac{5}{8} = \dfrac{5}{8}-\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{7}{15}\right)^{n-1}.

5.Déterminer la limite de la suite (p_{n}) et interpréter.

Comme {0<\dfrac{7}{15}<1}, \lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{7}{15}\right)^{n-1} = 0, donc, par somme, \lim\limits_{n\to+\infty} p_n = \dfrac{5}{8}.
Dans le contexte, au fil des tirs, la probabilité que le tireur atteigne le centre de la cible se stabilise autour de \dfrac{5}{8} = 0{,}625.

6.Compléter la fonction Python seuil renvoyant le plus petit n tel que p_{n} \geq 0,6.

7.Résoudre dans \mathbb{N} l'inéquation p_{n} \geq 0,6.

\begin{aligned}p_n \geq 0{,}6 &\Leftrightarrow \dfrac{5}{8}-\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{7}{15}\right)^{n-1} \geq 0{,}6 \\ &\Leftrightarrow \left(\dfrac{7}{15}\right)^{n-1} \leq 8\left(\dfrac{5}{8}-0{,}6\right) \\ &\Leftrightarrow \left(\dfrac{7}{15}\right)^{n-1} \leq 0{,}2\end{aligned}
\Leftrightarrow (n-1)\ln\left(\dfrac{7}{15}\right)\leq\ln(0{,}2) (le logarithme népérien est croissant).
Comme \ln\left(\dfrac{7}{15}\right)<0, l'inégalité change de sens en divisant : n-1\geq\dfrac{\ln(0{,}2)}{\ln\left(\frac{7}{15}\right)}, soit \begin{aligned}n &\geq 1+\dfrac{\ln(0{,}2)}{\ln\left(\frac{7}{15}\right)} \\ &\approx 3{,}1\end{aligned}
Les solutions dans \mathbb{N} sont donc les entiers n\geq 4 (c'est à partir du 4^{\text{e}} tir que la probabilité d'atteindre le centre dépasse 0,6).

Affirmation 1 : f(x) = (x-1)/\surd(x^{2}-1) admet pour limite 1 en +\infty. Vrai ou faux ?

Pour x>1 : x-1>0, donc {x-1=\sqrt{(x-1)^{2}}}, d'où \begin{aligned}f(x) &= \sqrt{\dfrac{(x-1)^{2}}{x^{2}-1}} \\ &= \sqrt{\dfrac{(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}} \\ &= \sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}} \\ &= \sqrt{\dfrac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}}\end{aligned}
Comme \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0, on a {\dfrac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}\to\dfrac{1}{1}=1}, donc par composition avec la racine carrée, f(x)\to\sqrt{1}=1.
L'affirmation 1 est VRAIE.

Affirmation 2 : w_{n} = (n+1)^{2} pour tout n. Vrai ou faux ?

Montrons-le par récurrence. Initialisation : w_0=1 et (0+1)^{2}=1 : vrai au rang 0.
Hérédité : supposons {w_n=(n+1)^{2}}. Alors \begin{aligned}w_{n+1} &= w_n+2n+3 \\ &= (n+1)^{2}+2n+3 \\ &= n^{2}+2n+1+2n+3 \\ &= n^{2}+4n+4 \\ &= (n+2)^{2}\end{aligned} La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : d'après le principe de récurrence, pour tout n\in\mathbb{N}, {w_n=(n+1)^{2}}. L'affirmation 2 est VRAIE.

Affirmation 3 : P(X=1) = 3p - 6p^{2} + 3p^{3}. Vrai ou faux ?

X suit la loi binomiale de paramètres 3 et p, donc \begin{aligned}P(X=1) &= \dbinom{3}{1}p^{1}(1-p)^{2} \\ &= 3p(1-p)^{2} \\ &= 3p(1-2p+p^{2}) \\ &= 3p-6p^{2}+3p^{3}\end{aligned}
L'affirmation 3 est VRAIE.

Affirmation 4 : v_{n} = eⁿ/n. Vrai ou faux ?

Une primitive de x\mapsto e^{nx} est x\mapsto\dfrac{1}{n}e^{nx}, donc \begin{aligned}v_n &= \left[\dfrac{1}{n}e^{nx}\right]_0^{1} \\ &= \dfrac{e^{n}}{n}-\dfrac{1}{n} \\ &= \dfrac{e^{n}-1}{n} \\ &\neq \dfrac{e^{n}}{n}\end{aligned}
L'affirmation 4 est FAUSSE (il manque le -1 au numérateur).

Affirmation 5 : on peut réaliser C(16,3) coloriages différents. Vrai ou faux ?

Colorier les 16 cases avec 3 couleurs (répétitions autorisées) revient à choisir, pour chacune des 16 cases, une couleur parmi 3 : il y a donc 3^{16} = 43\,046\,721 coloriages possibles.
Or \begin{aligned}\dbinom{16}{3} &= 560 \\ &\neq 43\,046\,721\end{aligned} (ce nombre correspondrait plutôt au nombre de façons de choisir 3 cases parmi les 16, pas au nombre de coloriages).
L'affirmation 5 est FAUSSE.

1.aMontrer que les points B, C et E ne sont pas alignés.

\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix} et \overrightarrow{BE}\begin{pmatrix}1 \\ -4 \\ -1\end{pmatrix} ont des coordonnées non proportionnelles (par exemple \frac{2}{1}\neq\frac{1}{-4}).
Les vecteurs ne sont donc pas colinéaires : les points B, C et E ne sont pas alignés, ils définissent bien un plan (BCE).

1.bJustifier que le vecteur AF est normal au plan (BCE).

\overrightarrow{AF}\begin{pmatrix}3 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}.
\begin{aligned}\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BC} &= 3\times2+0\times1+3\times(-2) \\ &= 6-6 \\ &= 0\end{aligned} \overrightarrow{AF} et \overrightarrow{BC} sont orthogonaux.
\begin{aligned}\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BE} &= 3\times1+0\times(-4)+3\times(-1) \\ &= 3-3 \\ &= 0\end{aligned} \overrightarrow{AF} et \overrightarrow{BE} sont orthogonaux.
\overrightarrow{AF} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCE) : il est donc normal à (BCE).

1.cEn déduire qu'une équation cartésienne du plan (BCE) est x + z - 4 = 0.

Une équation de (BCE) est de la forme 3x+3z+d=0 (coordonnées de \overrightarrow{AF}). Comme B(1;2;3)\in(BCE) : \begin{aligned}3\times1+3\times3+d &= 0 \\ &\Leftrightarrow d = -12\end{aligned}
Une équation cartésienne est donc 3x+3z-12=0, soit, en divisant par 3 : x+z-4=0.

2.aMontrer que le point G n'appartient pas au plan (BCE).

\begin{aligned}x_G+z_G-4 &= 5+2-4 \\ &= 3 \\ &\neq 0\end{aligned} G n'appartient donc pas au plan (BCE).

2.bMontrer que les vecteurs BE, BC et AG ne sont pas coplanaires.

\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}5 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}. Comme \overrightarrow{BC} et \overrightarrow{BE} ne sont pas colinéaires (question 1.a), les trois vecteurs sont coplanaires si et seulement s'il existe a,b réels tels que \overrightarrow{AG} = a\overrightarrow{BC}+b\overrightarrow{BE}.
Cela donne le système \begin{cases}2a+b=5 \\ a-4b=1 \\ -2a-b=1\end{cases}. En additionnant la 1^{\text{re}} et la 3^{\text{e}} équation : 0=6, ce qui est impossible.
Le système n'a pas de solution : les vecteurs \overrightarrow{BE}, \overrightarrow{BC} et \overrightarrow{AG} ne sont donc pas coplanaires.

2.cEn déduire que la droite (AG) et le plan (BCE) sont sécants.

Puisque \overrightarrow{AG} n'est pas coplanaire avec deux vecteurs directeurs de (BCE), la droite (AG) n'est ni incluse dans (BCE) ni parallèle à (BCE).
Une droite et un plan de l'espace n'ayant que trois positions relatives possibles, et deux étant exclues, la droite (AG) et le plan (BCE) sont donc sécants.

3.aMontrer qu'une représentation paramétrique de (AG) est donnée par le système proposé.

La droite (AG) passe par A(0;0;1) et est dirigée par \overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}5 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, d'où la représentation paramétrique \begin{cases}x=5t \\ y=t \\ z=1+t\end{cases}, t\in\mathbb{R}.

3.bEn déduire les coordonnées du point P.

P appartient à (AG), donc P(5t\,;\,t\,;\,1+t), et appartient aussi à (BCE) : \begin{aligned}5t+(1+t)-4 &= 0 \\ &\Leftrightarrow 6t = 3 \\ &\Leftrightarrow t = 0{,}5\end{aligned}
P a pour coordonnées (2{,}5\,;\,0{,}5\,;\,1{,}5).

3.cMontrer que P est le milieu du segment [EC].

Le milieu de [EC] a pour coordonnées \left(\dfrac{2+3}{2}\,;\,\dfrac{-2+3}{2}\,;\,\dfrac{2+1}{2}\right) = (2{,}5\,;\,0{,}5\,;\,1{,}5).
Ce sont exactement les coordonnées de P (question précédente) : P est donc bien le milieu de [EC].

4.Déterminer l'intersection des plans (BCE) et (ACG).

Les deux plans partagent le point C, et ne sont pas confondus (G appartient à (ACG) mais pas à (BCE), question 2.a) : ils sont donc sécants selon une droite.
Le point P appartient à (AG), donc à (ACG), et appartient aussi à (BCE) par construction : P est un second point commun aux deux plans.
L'intersection des plans (BCE) et (ACG) est donc la droite (CP).

1.aMontrer que g'(x) = -x sin(x).

g(x) = x\cos(x) - \sin(x) est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables : g'(x) = 1\times\cos(x) + x\times(-\sin(x)) - \cos(x) = -x\sin(x).

1.bJustifier les éléments du tableau de variations de g.

\begin{aligned}g(0) &= 0\times\cos(0)-\sin(0) \\ &= 0\end{aligned} \begin{aligned}g(\pi) &= \pi\times(-1)-0 \\ &= -\pi\end{aligned} \begin{aligned}g(2\pi) &= 2\pi\times1-0 \\ &= 2\pi\end{aligned}
Sur ]0;2\pi], -x<0. Sur ]0;\pi[, \sin(x)>0 (arc du cercle trigonométrique au-dessus de l'axe des abscisses) : donc g'(x)=-x\sin(x)<0, g est strictement décroissante sur [0;\pi].
Sur ]\pi;2\pi[, \sin(x)<0 : donc g'(x)=-x\sin(x)>0, g est strictement croissante sur [\pi;2\pi], ce qui justifie bien le tableau.

1.cMontrer qu'il existe un unique \alpha dans [π ; 2π] tel que g(\alpha) = 0.

g est continue (car dérivable) et strictement croissante sur [\pi;2\pi], avec g(\pi)=-\pi<0 et {g(2\pi)=2\pi>0}.
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution \alpha à g(x)=0 dans [\pi;2\pi].

1.dEn déduire le tableau de signes de g sur [0 ; 2π].

g est décroissante sur [0;\pi] à partir de g(0)=0, donc g(x)\leq0 sur [0;\pi], puis reste négative jusqu'à \alpha (minimum -\pi en \pi puis remontée), et devient positive après \alpha (croissante jusqu'à {g(2\pi)=2\pi>0}).
g est donc négative (ou nulle) sur [0;\alpha] et positive sur [\alpha;2\pi], s'annulant en 0 et en \alpha.

2.aMontrer que f'(x) = g(x)/x^{2}.

Par la formule de dérivation d'un quotient : f'(x) = \dfrac{\cos(x)\times x - \sin(x)\times1}{x^{2}} = \dfrac{x\cos(x)-\sin(x)}{x^{2}} = \dfrac{g(x)}{x^{2}}.

2.bÉtudier le signe de f' sur ]0 ; 2π].

Comme x^{2}>0 sur ]0;2\pi], le signe de f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^{2}} est celui de g(x) : f' est négative sur ]0;\alpha] et positive sur [\alpha;2\pi].

2.cEn déduire le sens de variation de f sur ]0 ; 2π].

D'après le signe de f' : f est strictement décroissante sur ]0;\alpha] puis strictement croissante sur [\alpha;2\pi].

2.dDéterminer la limite de f en 0.

Pour x\neq0, le taux d'accroissement de la fonction sinus entre 0 et x est \begin{aligned}\dfrac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0} &= \dfrac{\sin(x)}{x} \\ &= f(x)\end{aligned}
La fonction sinus étant dérivable en 0, ce taux admet une limite finie quand x\to0, égale au nombre dérivé \sin'(0)=\cos(0)=1.
Donc \lim\limits_{x\to0} f(x) = 1.

3.Montrer que r/s < sin(r)/sin(s) pour 0 < r < s < π.

Comme \alpha\in[\pi;2\pi], \pi\leq\alpha, donc {]0;\pi[\subset]0;\alpha[} où f est strictement décroissante.
r<s (tous deux dans ]0;\pi[) {\Rightarrow f(r)>f(s) \Rightarrow \dfrac{\sin(r)}{r} > \dfrac{\sin(s)}{s}}.
Comme s\in]0;\pi[, \sin(s)>0 : en divisant par \sin(s) (positif) : \dfrac{\sin(r)}{r\sin(s)} > \dfrac{1}{s}.
Comme r\in]0;\pi[, r>0 : en multipliant par r (positif) : \dfrac{\sin(r)}{\sin(s)} > \dfrac{r}{s}.
On a donc bien établi que \dfrac{r}{s} < \dfrac{\sin(r)}{\sin(s)}.