Brevet : Métropole, Antilles, Guyane

1.Expliquer pourquoi la probabilité que la bille s'arrête sur le numéro 7 est \dfrac{1}{37}.

La roue est numérotée de 0 à 36, ce qui fait 37 numéros possibles (0, 1, 2, …, 36).
Comme la bille a la même chance de s'arrêter sur chacun d'eux, chaque numéro a la probabilité \dfrac{1}{37}.

2.Déterminer la probabilité que la bille s'arrête sur une case à la fois noire et paire.

Sur la roue, il y a 19 cases blanches, donc 18 cases noires.
En repérant celles qui portent en plus un numéro pair, on en compte 10 (2, 4, 6, 8, 10, 20, 22, 24, 26, 28).
La probabilité cherchée est donc \dfrac{10}{37}.

3.aDéterminer la probabilité que la bille s'arrête sur un numéro inférieur ou égal à 6.

Les numéros de 0 à 6 sont au nombre de 7, donc P = \dfrac{7}{37}.

3.bEn déduire la probabilité que la bille s'arrête sur un numéro supérieur ou égal à 7.

C'est l'évènement contraire du précédent : \begin{aligned}P &= 1 - \dfrac{7}{37} \\ &= \dfrac{30}{37}\end{aligned}

3.cUn joueur affirme qu'on a plus de 3 chances sur 4 d'obtenir un numéro supérieur ou égal à 7. A-t-il raison ?

On compare \dfrac{30}{37} \approx 0{,}811 à \dfrac{3}{4} = 0{,}75.
Comme 0{,}811 > 0{,}75, le joueur a raison.

1.aVérifier que, si on choisit 5 comme nombre de départ, le résultat du programme A est 56.

1.bQuel résultat obtient-on avec le programme B si on choisit -9 comme nombre de départ ?

2.aParmi les trois propositions, recopier l'expression qui donne le résultat du programme B.

Le programme B calcule (x + 2) puis (x - 1), puis multiplie les deux : c'est donc E_2 = (x + 2) \times (x - 1).

2.bExprimer en fonction de x le résultat obtenu avec le programme A.

3.Démontrer que le résultat du programme A est toujours le double du résultat du programme B.

On factorise le résultat de A par 2 : 2x^{2} + 2x - 4 = 2(x^{2} + x - 2).
On développe ensuite E_2 : \begin{aligned}(x + 2)(x - 1) &= x^{2} - x + 2x - 2 \\ &= x^{2} + x - 2\end{aligned}
Les deux parenthèses sont identiques, donc le résultat de A est bien le double du résultat de B, quel que soit x choisi au départ.

1.Justifier que le diamètre [AB] mesure 9 cm.

Un diamètre mesure deux fois le rayon : AB = 2 \times R = 2 \times 4{,}5 = 9 cm.

2.Démontrer que le triangle ABD est rectangle en D.

D'une part, \begin{aligned}AB^{2} &= 9^{2} \\ &= 81\end{aligned}
D'autre part, \begin{aligned}AD^{2} + DB^{2} &= 7{,}2^{2} + 5{,}4^{2} \\ &= 51{,}84 + 29{,}16 \\ &= 81\end{aligned}
On a donc AB^{2} = AD^{2} + DB^{2}, l'égalité de Pythagore est vérifiée.
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABD est rectangle en D.

3.Calculer AF.

Les points A, E, B sont alignés et les points A, F, D sont alignés dans le même ordre.
Les droites (EF) et (BD) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{AE}{AB} &= \dfrac{AF}{AD} \\ &= \dfrac{EF}{BD}\end{aligned}
d'où \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AD}
donc AF = \dfrac{AE \times AD}{AB} = \dfrac{2{,}7 \times 7{,}2}{9} = 2,16 cm.

4.aJustifier que l'aire du triangle ABD est égale à 19,44 cm^{2}.

Le triangle ABD est rectangle en D, donc [DB] et [DA] sont ses deux côtés de l'angle droit :
Aire = \dfrac{BD \times DA}{2} = \dfrac{5{,}4 \times 7{,}2}{2} = 19,44 cm^{2}.

4.bCalculer l'aire du disque, arrondie au centième.

Aire = \pi \times R^{2} = \pi \times 4{,}5^{2} = \pi \times 20{,}25 \approx 63,62 cm^{2}.

5.Quel pourcentage de l'aire du disque représente l'aire du triangle ABD ?

On calcule \dfrac{19{,}44}{63{,}62} \times 100 \approx 30,6 %.

1.f(x) = 3x - 2. Image de -4 ?

\begin{aligned}f(-4) &= 3 \times (-4) - 2 \\ &= -12 - 2 \\ &= -14\end{aligned}
Donc, la réponse est A.

2.Combien vaut (-5)^{3} ?

\begin{aligned}(-5) \times (-5) \times (-5) &= 25 \times (-5) \\ &= -125\end{aligned}
Donc, la réponse est A.

3.Image du point J par la translation qui transforme C en A ?

Sur le quadrillage, aller de C à A revient à se décaler d'une colonne vers la gauche et d'une ligne vers le bas.
En appliquant ce même déplacement à J, on arrive sur E.
Donc, la réponse est B.

4.Antécédent de 3 par la fonction représentée graphiquement ?

On cherche sur le graphique l'abscisse du point de la courbe dont l'ordonnée vaut 3 : c'est 0.
Donc, la réponse est C.

5.Médiane des tailles 1,46 ; 1,6 ; 1,65 ; 1,67 ; 1,7 ; 1,72 ; 1,75 ?

Les 7 valeurs sont déjà rangées dans l'ordre croissant : la médiane est la valeur du milieu, la 4e sur 7, soit 1,67.
Donc, la réponse est B.

6.Dans le triangle rectangle en A, valeur de cos \alpha ?

D'après SOH-CAH-TOA, \cos(\alpha) est égal au côté adjacent divisé par l'hypoténuse.
Soit \begin{aligned}\cos(\alpha) &= \dfrac{4}{5} \\ &= 0{,}8\end{aligned}
Donc, la réponse est A.

A.1Pourquoi n'est-il pas possible de faire 15 sachets ?

\dfrac{330}{15} = 22 (nombre entier), mais \dfrac{132}{15} = 8{,}8, qui n'est pas un nombre entier.
On ne pourrait donc pas répartir les 132 drapeaux également dans 15 sachets.

A.2.aDécomposer 330 et 132 en produits de facteurs premiers.

330 = 2 \times 3 \times 5 \times 11.
132 = 2^{2} \times 3 \times 11.

A.2.bEn déduire le plus grand nombre de sachets réalisables.

Les facteurs premiers communs aux deux décompositions sont 2, 3 et 11, soit 2 \times 3 \times 11 = 66.
C'est le plus grand nombre de sachets identiques possible (le PGCD de 330 et 132).

A.2.cCombien d'autocollants et de drapeaux par sachet ?

\dfrac{330}{66} = 5 autocollants par sachet.
\dfrac{132}{66} = 2 drapeaux par sachet.

B.Combien coûte le remplissage de la piscine ?

Volume du pavé droit : \begin{aligned}V &= 25 \times 15 \times 2 \\ &= 750\end{aligned} m^{3}.
Rempli aux \dfrac{9}{10} : 750 \times 0{,}9 = 675 m^{3}.
Coût : 675 \times 4{,}14 = 2 794,50 €.