Contrôle de 2nde : ensembles et intervalles
Lycée Saint-Érembert (Saint-Germain-en-Laye), année 2022-2023, classe de 2nde. Contrôle noté sur 20, calculatrice interdite.
- la numérotation passe de l'exercice 1 à l'exercice 3, mais il ne manque rien : les barèmes annoncés font bien 6 + 4{,}5 + 7 + 2{,}5 = 20 points ;
- à la question 4 de l'exercice 1, la consigne parle des « nombres E et F » alors que les deux nombres proposés s'appellent A et D. Ce sont bien A et D qu'il faut calculer.
Exercice 1 6 points
1)L'ensemble des réels strictement négatifs est noté …
Il s'écrit \mathbb{R}^{-*}, c'est-à-dire l'intervalle \left]-\infty\,;0\right[.
- Le petit signe - en exposant sélectionne les nombres négatifs : \mathbb{R}^{-} = \left]-\infty\,;0\right], zéro compris.
- L'étoile enlève zéro. Comme on veut les réels strictement négatifs, il faut les deux : \mathbb{R}^{-*}.
2)Compléter à l'aide du signe qui convient.
La question à se poser avant chaque case : est-ce que je compare un nombre à un ensemble (alors \in ou \notin) ou bien deux ensembles (alors \subset ou \not\subset) ?
- \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}
Deux ensembles. Tout entier relatif n s'écrit \dfrac{n}{1}, c'est donc un quotient de deux entiers. - 0 \notin \mathbb{N}^{*}
Un nombre et un ensemble. \mathbb{N}^{*} est justement \mathbb{N} privé de zéro. - \left\{\dfrac{1}{3}\,;\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{1}{4}\right\} \not\subset \mathbb{D}
Les accolades annoncent un ensemble : on compare donc deux ensembles.
\dfrac{1}{2} = 0{,}5 et \dfrac{1}{4} = 0{,}25 sont bien décimaux, mais \dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots ne l'est pas.
Un seul élément en dehors de \mathbb{D} suffit à casser l'inclusion. - \sqrt{196} \in \mathbb{N}
196 = 14 \times 14, donc \sqrt{196} = 14, qui est un entier naturel. - \{2\} \not\subset \left]2\,;3\right[
Le crochet ouvert exclut la borne : 2 \notin \left]2\,;3\right[, donc l'ensemble \{2\} n'est pas contenu dans cet intervalle.
Le piège des accolades. \{2\} n'est pas le nombre 2 : c'est l'ensemble qui contient le nombre 2. Entre deux ensembles, on écrit \subset ou \not\subset, jamais \in.
3)Donner la définition de l'ensemble \mathbb{Q}.
\mathbb{Q} est l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire comme quotient de deux entiers relatifs, le dénominateur étant non nul :
\mathbb{Q} = \left\{\dfrac{a}{b} \ \text{avec}\ a \in \mathbb{Z} \ \text{et}\ b \in \mathbb{Z}^{*}\right\}
On les appelle les nombres rationnels.
4)Calculer les nombres A et D, puis dire à quel ensemble ils appartiennent (le plus petit possible).
Calcul de A.
On développe le carré avec l'identité (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 :
\left(1-\sqrt{2}\right)^{2} = 1^{2} - 2 \times 1 \times \sqrt{2} + \left(\sqrt{2}\right)^{2}
\left(1-\sqrt{2}\right)^{2} = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2}
On simplifie ensuite la racine :
\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}
D'où :
A = 3 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3
Les deux termes en \sqrt{2} se compensent : A = 3, donc A \in \mathbb{N}.
On factorise le dénominateur :
4\pi - 8 = 2 \times (2\pi - 4)
Comme \pi > 3, on a 2\pi - 4 > 2 > 0 : ce facteur n'est pas nul, on peut donc simplifier.
D = -\dfrac{2\pi - 4}{2 \times (2\pi - 4)} = -\dfrac{1}{2} = -0{,}5
-0{,}5 n'est pas un entier, mais son écriture décimale s'arrête : D \in \mathbb{D}.
Le piège des apparences. A contient des racines carrées et D contient \pi, mais après calcul ce sont deux nombres très simples. On ne conclut jamais « c'est irrationnel » sur la seule présence d'un \sqrt{\ } ou d'un \pi. Et « le plus petit possible » renvoie à la chaîne \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.
Exercice 3 4,5 points
- On place I et J sur deux droites graduées superposées.
- I \cap J (intersection) est la zone où les deux traits se superposent : ce qui est dans I et dans J.
- I \cup J (réunion) est tout ce qui est recouvert par au moins un des deux traits.
- Chaque borne conserve le crochet qu'elle avait : un crochet ouvert reste ouvert.
a)I = \left[-\dfrac{2}{3}\,;\dfrac{3}{5}\right[ et J = \left]-\dfrac{5}{7}\,;\dfrac{1}{2}\right]
Avant de dessiner, il faut ranger les quatre bornes. On les compare deux à deux en les mettant au même dénominateur :
-\dfrac{2}{3} = -\dfrac{14}{21} et -\dfrac{5}{7} = -\dfrac{15}{21}, donc -\dfrac{5}{7} < -\dfrac{2}{3}
\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{10} et \dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10}, donc \dfrac{1}{2} < \dfrac{3}{5}
L'ordre est donc : -\dfrac{5}{7} < -\dfrac{2}{3} < \dfrac{1}{2} < \dfrac{3}{5}
I \cap J = \left[-\dfrac{2}{3}\,;\dfrac{1}{2}\right]
La réunion, elle, part de la plus petite borne et va jusqu'à la plus grande :
I \cup J = \left]-\dfrac{5}{7}\,;\dfrac{3}{5}\right[
À surveiller. Avec des fractions, il est tentant de comparer -\dfrac{2}{3} et -\dfrac{5}{7} « à l'œil ». Sur les négatifs, le plus grand numérateur donne le plus petit nombre : le passage au même dénominateur est indispensable.
b)I = \left]-\infty\,;-3\right] \cup \left[1\,;+\infty\right[ et J = \left]-6\,;-1\right] \cup \left]0\,;1\right]
- \left]-\infty\,;-3\right] et \left]-6\,;-1\right] se chevauchent sur \left]-6\,;-3\right] ;
- \left[1\,;+\infty\right[ et \left]0\,;1\right] n'ont que le nombre 1 en commun.
- à gauche, \left]-\infty\,;-3\right] \cup \left]-6\,;-1\right] = \left]-\infty\,;-1\right] (le second intervalle prolonge le premier jusqu'à -1) ;
- à droite, \left]0\,;1\right] \cup \left[1\,;+\infty\right[ = \left]0\,;+\infty\right[ (les deux se touchent en 1, qui appartient aux deux).
Le piège du point isolé. Le nombre 1 appartient à I (grâce au crochet fermé de \left[1\,;+\infty\right[) et à J (grâce au crochet fermé de \left]0\,;1\right]) : il fait donc partie de l'intersection, alors qu'aucun intervalle ne l'entoure. Une intersection peut très bien se réduire à un seul nombre. Écrire \{1\}, et non \left]1\,;1\right[ qui serait vide.
c)I est l'ensemble des réels x tels que x \leqslant -5 ou x > 3, et J celui des réels x tels que x \neq -1 et x > 3.
On traduit d'abord chaque phrase en intervalles.
Pour I, le « ou » donne une réunion :
I = \left]-\infty\,;-5\right] \cup \left]3\,;+\infty\right[
Pour J, les deux conditions doivent être vraies en même temps. Or tout nombre strictement supérieur à 3 est déjà différent de -1 : la condition x \neq -1 ne retire rien du tout.
J = \left]3\,;+\infty\right[
I \cap J = \left]3\,;+\infty\right[ = J
I \cup J = \left]-\infty\,;-5\right] \cup \left]3\,;+\infty\right[ = I
À surveiller. Une condition peut être décorative. Ici x \neq -1 ne sert à rien puisque x > 3 l'impose déjà. En revanche, si l'énoncé avait dit x > -3, alors il aurait fallu retirer -1 et J se serait écrit \left]-3\,;-1\right[ \cup \left]-1\,;+\infty\right[ : il faut donc toujours vérifier si la valeur interdite est dans la zone ou non.
Exercice 4 7 points
- |x - a| = r : les deux points situés à la distance r de a ;
- |x - a| \leqslant r : tout ce qui est à moins de r de a, donc un intervalle centré en a ;
- |x - a| > r : tout ce qui est loin de a, donc deux morceaux, un de chaque côté.
a)|x - 2| = \sqrt{5}
La distance entre x et 2 vaut \sqrt{5} : il y a exactement deux nombres possibles, un de chaque côté de 2.
x = 2 - \sqrt{5} ou x = 2 + \sqrt{5}
x \in \left\{2-\sqrt{5}\,;2+\sqrt{5}\right\}
Pour placer ces deux nombres sans calculatrice, on encadre \sqrt{5} :
4 < 5 < 9, donc 2 < \sqrt{5} < 3
d'où x_1 = 2-\sqrt{5} \in \left]-1\,;0\right[ et x_2 = 2+\sqrt{5} \in \left]4\,;5\right[.
a)|x| \leqslant \dfrac{1}{4}
|x| est la distance entre x et 0. On cherche donc les nombres situés à au plus \dfrac{1}{4} de zéro :
x \in \left[-\dfrac{1}{4}\,;\dfrac{1}{4}\right]
Les deux bornes sont fermées, car l'inégalité est large.
a)\left|x + \dfrac{2}{3}\right| > \dfrac{1}{6}
Il faut d'abord faire apparaître une soustraction pour lire le centre :
\left|x + \dfrac{2}{3}\right| = \left|x - \left(-\dfrac{2}{3}\right)\right|
L'énoncé demande donc les nombres dont la distance à -\dfrac{2}{3} dépasse strictement \dfrac{1}{6} : on sort de l'intervalle centré en -\dfrac{2}{3}, des deux côtés.
Borne de gauche : -\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{6} = -\dfrac{4}{6} - \dfrac{1}{6} = -\dfrac{5}{6}
Borne de droite : -\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6} = -\dfrac{4}{6} + \dfrac{1}{6} = -\dfrac{3}{6} = -\dfrac{1}{2}
x \in \left]-\infty\,;-\dfrac{5}{6}\right[ \cup \left]-\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[
Deux pièges d'un coup. Le signe + à l'intérieur des barres : le centre est -\dfrac{2}{3} et non \dfrac{2}{3}. Et le sens de l'inégalité : avec > la réponse est une réunion de deux intervalles, alors qu'avec < ou \leqslant ce serait un seul intervalle.
b)Compléter le tableau.
- le centre, milieu des deux bornes : c = \dfrac{a+b}{2} ;
- le rayon, moitié de la longueur : r = \dfrac{b-a}{2}.
Les cases en grisé étaient déjà remplies dans le sujet.
| Inégalité vérifiée par x | Distance | Valeur absolue | Intervalle | |
|---|---|---|---|---|
| a) | 5 < x < 13 | d(x\,;9) < 4 | |x - 9| < 4 | x \in \left]5\,;13\right[ |
| b) | -18 \leqslant x \leqslant -2 | d(x\,;-10) \leqslant 8 | |x + 10| \leqslant 8 | x \in \left[-18\,;-2\right] |
| c) | -10 < x < 11 | d(x\,;0{,}5) < 10{,}5 | |x - 0{,}5| < 10{,}5 | x \in \left]-10\,;11\right[ |
| d) | x \leqslant -5 ou x \geqslant 1 | d(x\,;-2) \geqslant 3 | |x + 2| \geqslant 3 | x \in \left]-\infty\,;-5\right] \cup \left[1\,;+\infty\right[ |
- a) centre 9, rayon 4 : on part de 9 et on avance de 4 de chaque côté, 9-4 = 5 et 9+4 = 13. L'inégalité étant stricte, les crochets sont ouverts.
- b) d(x\,;-10) = |x - (-10)| = |x + 10|. Centre -10, rayon 8 : -10-8 = -18 et -10+8 = -2. Inégalité large, donc crochets fermés.
- c) centre \dfrac{-10+11}{2} = 0{,}5 et rayon \dfrac{11-(-10)}{2} = 10{,}5. Un centre décimal n'a rien d'anormal : l'intervalle n'est simplement pas centré sur un entier.
- d) ici x est à l'extérieur de \left]-5\,;1\right[. Ce trou a pour centre \dfrac{-5+1}{2} = -2 et pour rayon \dfrac{1-(-5)}{2} = 3, d'où |x + 2| \geqslant 3, avec une inégalité dans l'autre sens.
Exercice 5 2,5 points
A)Compléter le tableau d'exécution de l'algorithme.
Le symbole \% donne le reste de la division euclidienne :
18 = 1 \times 12 + 6, donc 18\ \%\ 12 = 6.
On exécute ensuite les lignes une par une, dans l'ordre, en ne modifiant que la variable écrite à gauche du signe =.
| Ligne | Instruction | a | b | c |
|---|---|---|---|---|
| 1 | a = 12 | 12 | ||
| 2 | b = 18 | 12 | 18 | |
| 3 | c = b\ \%\ a | 12 | 18 | 6 |
| 4 | a = b | 18 | 18 | 6 |
| 5 | b = a + c | 18 | 24 | 6 |
Le piège de la ligne 5. À ce moment-là, a ne vaut plus 12 : la ligne 4 vient de lui donner la valeur 18. On calcule donc b = 18 + 6 = 24, et non 12 + 6 = 18. Un tableau d'exécution se remplit toujours ligne après ligne, avec les valeurs du moment.
B)Dire si chaque proposition est vraie ou fausse.
À la fin de l'algorithme, a = 18.
Or 18 > 12 : la valeur sort de l'intervalle.
La proposition est fausse.
À la fin de l'algorithme, c = 6.
Or le crochet de droite est ouvert, donc 6 est exclu de \left[0\,;6\right[.
La proposition est fausse (elle aurait été vraie avec \left[0\,;6\right]).
Un crochet vaut un point. C'est exactement le genre de question où tout se joue sur le sens du crochet. Le réflexe : entourer la borne concernée et se demander « est-ce que je la prends ou non ? ».
Bonus écriture fractionnaire
Déterminer la fraction égale à x = 0{,}8\overline{3} (le chiffre 3 se répète indéfiniment) et préciser à quel ensemble ce nombre appartient.
L'astuce consiste à fabriquer deux nombres qui ont exactement la même partie décimale, puis à les soustraire pour la faire disparaître.
x = 0{,}8333\ldots
10x = 8{,}333\ldots
100x = 83{,}333\ldots
Les deux dernières lignes ont la même partie après la virgule : on les soustrait.
100x - 10x = 83{,}333\ldots - 8{,}333\ldots = 75
90x = 75
x = \dfrac{75}{90} = \dfrac{75 \div 15}{90 \div 15} = \dfrac{5}{6}
x = \dfrac{5}{6}
C'est un quotient de deux entiers, donc x \in \mathbb{Q}.
Mais ce n'est pas un décimal : sous forme irréductible, le dénominateur 6 se décompose en 2 \times 3, et ce facteur 3 empêche l'écriture décimale de s'arrêter (un décimal a toujours un dénominateur fait uniquement de 2 et de 5).
Le plus petit ensemble est donc \mathbb{Q}.
Ce qu'il fallait maîtriser pour refaire le contrôle
- Le bon symbole au bon endroit. \in relie un nombre à un ensemble, \subset relie deux ensembles. Des accolades dans l'énoncé imposent \subset.
- Calculer avant de classer. \left(1-\sqrt{2}\right)^{2}+\sqrt{8} vaut 3 : c'est un entier naturel, malgré les racines de départ.
- Les crochets. Ouvert, la borne est exclue ; fermé, elle est prise. C'est ce qui décide de \{1\} dans une intersection, ou de la fausseté de c \in \left[0\,;6\right[.
- La valeur absolue est une distance. |x-a| \leqslant r donne un intervalle centré en a de rayon r ; |x-a| > r donne deux morceaux.
- Un tableau d'exécution se remplit ligne à ligne, avec la valeur courante de chaque variable, jamais avec sa valeur initiale.
Pour t'entraîner sur ces notions : la fiche sur les nombres réels et la fiche sur la valeur absolue, avec leurs exercices interactifs.
Corrigé rédigé par LOGIMATHS à partir d'un sujet transmis par un élève via le formulaire « Fais corriger ton contrôle ». Le sujet d'origine n'est pas reproduit ici.