CRPE : Groupement 1, session 2023

1.Montrer que l'angle \widehat{CFE} est droit.

D'une part, dans le triangle CFE, \begin{aligned}CF^{2}+FE^{2} &= 6^{2}+3{,}2^{2} \\ &= 36+10{,}24 \\ &= 46{,}24\end{aligned}
D'autre part, \begin{aligned}CE^{2} &= 6{,}8^{2} \\ &= 46{,}24\end{aligned}
On a donc l'égalité CF^{2}+FE^{2} = CE^{2}.
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CFE est rectangle en F : l'angle \widehat{CFE} est droit.

2.Déterminer la longueur totale du parcours.

Le parcours BCEFCDB a pour longueur BC+CE+EF+FC+CD+DB, avec BC=7{,}5 km, CE=6{,}8 km, EF=3{,}2 km, FC=6 km et CD=8{,}5 km : il reste à déterminer DB.
Le triangle BCD est rectangle en B (repéré sur la figure), donc d'après le théorème de Pythagore :
CD^{2} = BC^{2}+BD^{2}
\begin{aligned}BD^{2} &= CD^{2}-BC^{2} \\ &= 8{,}5^{2}-7{,}5^{2} \\ &= 72{,}25-56{,}25 \\ &= 16\end{aligned}
\begin{aligned}BD &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned} km.
Longueur totale : 7{,}5+6{,}8+3{,}2+6+8{,}5+4 = 36 km.

3.Sachant que la vitesse moyenne du groupe est de 14 km/h, la classe fera-t-elle le parcours en moins de 2 h 45 min ? Justifier la réponse.

Le temps nécessaire est \begin{aligned}t &= \dfrac{d}{v} \\ &= \dfrac{36}{14} \\ &= \dfrac{18}{7} \\ &\approx 2{,}57\end{aligned} heures.
Or 2 h 45 min = 2+\dfrac{45}{60} = 2{,}75 heures.
Comme \dfrac{18}{7}\approx2{,}57 < 2{,}75, la classe fera le parcours en moins de 2 h 45 min.

1.aDéterminer la proportion que représente c par rapport à la somme totale.

Une fois versées la part de A (\dfrac{1}{4} de la somme totale S) et celle de B (\dfrac{1}{3} de S), il reste \begin{aligned}1-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3} &= \dfrac{12}{12}-\dfrac{3}{12}-\dfrac{4}{12} \\ &= \dfrac{5}{12}\end{aligned} de S à partager entre C et D.
Comme C et D reçoivent chacun le même montant, c = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{5}{12} = \dfrac{5}{24} de la somme totale.

1.bD reçoit 55 €. Déterminer les valeurs de a, b et c.

Comme c=d et que D reçoit 55 €, on a aussi c=55 €.
Or c = \dfrac{5}{24}S, donc \begin{aligned}S &= \dfrac{24}{5}\times55 \\ &= 264\end{aligned} €.
\begin{aligned}a &= \dfrac{1}{4}\times264 \\ &= 66\end{aligned} € et \begin{aligned}b &= \dfrac{1}{3}\times264 \\ &= 88\end{aligned} €.
A reçoit 66 €, B reçoit 88 € et C (comme D) reçoit 55 €.

2.Exprimer la part de chacun en fonction de s.

Comme g=h et g+h = \dfrac{1}{3}s, on a {2g = \dfrac{1}{3}s}, donc \begin{aligned}g &= h \\ &= \dfrac{1}{6}s\end{aligned}
Comme e+f+g+h=s, on a \begin{aligned}e+f &= s-\dfrac{1}{3}s \\ &= \dfrac{2}{3}s\end{aligned}
Or e=3f, donc 3f+f = \dfrac{2}{3}s, soit {4f = \dfrac{2}{3}s}, d'où f = \dfrac{1}{6}s.
Donc e = 3f = \dfrac{1}{2}s, et \begin{aligned}f &= g \\ &= h \\ &= \dfrac{1}{6}s\end{aligned}.

1.aQuelles sont les coordonnées du point de départ du tracé ?

Le point de départ du tracé a pour coordonnées (-75~;~50).

1.bCombien de triangles sont dessinés par le script ?

Le script exécute le bloc Triangle 5 fois : 5 triangles sont dessinés.

1.cQuelle est la nature des triangles dessinés ?

Le bloc Triangle avance trois fois de la même longueur (la variable « côté ») en tournant de 120^{\circ} à chaque fois, soit l'angle extérieur d'un triangle équilatéral : les triangles dessinés sont équilatéraux.

1.dQuelle est la longueur (en pas) d'un côté du deuxième triangle tracé ?

La variable « côté » vaut 100 pas lors du premier passage dans la boucle, puis diminue de 20 après chaque triangle tracé (et le déplacement qui suit) : 100, puis 100-20=80 pour le deuxième triangle.
La longueur d'un côté du deuxième triangle est donc de 80 pas.

2.Tracer le dessin obtenu par ce programme en prenant comme échelle 1 cm pour 20 pas.

3.Si au lieu de triangles on voulait obtenir des hexagones réguliers, que devrait-on changer dans les instructions du bloc triangle ?

A.1Justifier que la largeur du terrain correspondant au segment [CA] est égale à 8 m.

La longueur du terrain est \begin{aligned}CE &= CD+DF+FE \\ &= 6{,}5+2+4 \\ &= 12{,}5\end{aligned} m.
L'aire du rectangle ABEC vaut 100 m^{2}, donc la largeur est CA = \dfrac{100}{12{,}5} = 8 m.

A.2Tracer un plan du terrain avec les différentes zones à l'échelle 1 : 80.

A.3.aMontrer que AD = \sqrt{106{,}25} m.

Le triangle ACD est rectangle en C (angle du rectangle ABEC). D'après le théorème de Pythagore :
\begin{aligned}AD^{2} &= AC^{2}+CD^{2} \\ &= 8^{2}+6{,}5^{2} \\ &= 64+42{,}25 \\ &= 106{,}25\end{aligned}
Donc, AD = \sqrt{106{,}25} m.

A.3.bDéterminer la longueur de la bordure qu'il doit acheter. On donnera le résultat en mètre, arrondi à l'unité.

La bordure entoure les trois côtés de la zone 1 (triangle ACD) : \begin{aligned}AC+CD+AD &= 8+6{,}5+\sqrt{106{,}25} \\ &= 14{,}5+\sqrt{106{,}25} \\ &\approx 24{,}81\end{aligned} m.
Arrondie à l'unité, la longueur de bordure à acheter est d'environ 25 mètres.

A.3.cLes bordures sont vendues par rouleaux de 4 mètres. Déterminer le nombre de rouleaux nécessaire pour entourer la zone 1.

\dfrac{25}{4} = 6{,}25 rouleaux : comme on ne peut acheter que des rouleaux entiers et qu'il en faut assez pour tout le pourtour, il faut 7 rouleaux.

A.4.aCalculer l'aire de la zone 1, en mètre carré.

L'aire du triangle ACD (rectangle en C) est \dfrac{AC\times CD}{2} = \dfrac{8\times6{,}5}{2} = 26 m^{2}.

A.4.bCalculer l'aire de la zone 2, où on plante des radis, en mètre carré.

L'aire du triangle BEF (rectangle en E) est \dfrac{BE\times EF}{2} = \dfrac{8\times4}{2} = 16 m^{2}.

A.4.cEn déduire l'aire de la zone 3, où on plante des fraisiers (sans la zone « Entrée » hachurée), en mètre carré. Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième.

L'entrée est un demi-disque de diamètre DF=2 m, donc de rayon 1 m : son aire est \dfrac{\pi\times1^{2}}{2} = \dfrac{\pi}{2} m^{2}.
L'aire de la zone 3 s'obtient en retirant à l'aire totale du terrain les aires des zones 1, 2 et de l'entrée : {100-26-16-\dfrac{\pi}{2} = 58-\dfrac{\pi}{2}}.
Valeur exacte : 58-\dfrac{\pi}{2} m^{2}, soit environ 56,4 m^{2} arrondi au dixième.

5.Sachant qu'on peut planter 6 pieds de fraisiers par m^{2} et qu'un pied de fraisier produit en moyenne 650 grammes de fraises par année, quelle masse de fraises les élèves peuvent-ils espérer récolter ? On donnera le résultat en kilogramme, arrondi à l'unité.

Sur les 56{,}4 m^{2} de la zone 3, on peut planter 6\times56{,}4 = 338{,}4, soit environ 338 pieds de fraisiers.
Chaque pied produisant en moyenne 650 g =0{,}65 kg de fraises par an, la récolte espérée est 338\times0{,}65 = 219{,}7 kg, soit environ 220 kg, arrondi à l'unité.

B.1Quelle masse de sucre, arrondi au kilogramme, le directeur doit-il acheter pour respecter cette recette ?

Notons x la masse de sucre (en kg). La masse totale avant cuisson est 25+x (fraises et sucre), et l'énoncé impose x = 0{,}55\times(25+x).
x = 13{,}75+0{,}55x
0{,}45x = 13{,}75
\begin{aligned}x &= \dfrac{13{,}75}{0{,}45} \\ &\approx 30{,}56\end{aligned}
Le directeur doit acheter environ 31 kg de sucre, arrondi au kilogramme.

B.2Sachant que 3 kg de fraises permettent de réaliser 4,8 L de confiture, combien de litres de confiture peut-on réaliser ?

Par proportionnalité, 25 kg de fraises donnent \dfrac{25\times4{,}8}{3} = 40 litres de confiture.

B.3Sachant que les pots ne peuvent être remplis qu'au 8/9 de leur capacité maximale, déterminer le nombre de pots de confiture qu'il devrait réaliser.

Le rayon de la base d'un pot est {\dfrac{8{,}4}{2} = 4{,}2} cm, pour une hauteur de 11 cm.
Volume maximal d'un pot : \begin{aligned}V &= \pi\times r^{2}\times h \\ &= \pi\times4{,}2^{2}\times11 \\ &= \pi\times194{,}04 \\ &\approx 609{,}6\end{aligned} cm^{3}.
Un pot n'étant rempli qu'aux \dfrac{8}{9} de sa capacité, le volume utile par pot est \dfrac{8}{9}\times609{,}6 \approx 541{,}9 cm^{3}.
Le volume total de confiture est 40 L {= 40\,000} cm^{3}.
Le nombre de pots que l'on peut entièrement remplir est \dfrac{40\,000}{541{,}9} \approx 73{,}8, soit 73 pots.

1.Montrer qu'il faudra 83 feuilles pour réaliser la frise.

La frise doit couvrir les murs nord, est et sud, soit une longueur totale de {8{,}8+7+8{,}8 = 24{,}6} m = 2\,460 cm.
Une feuille A4 utilisée dans le sens de la longueur apporte 29{,}7 cm à la frise.
\dfrac{2\,460}{29{,}7} \approx 82{,}83
Comme 82 feuilles (82\times29{,}7 = 2\,435{,}4 cm) ne suffiraient pas à couvrir les 2\,460 cm requis, il faut 83 feuilles.

2.Par combien de centimètres est représentée une année sur cette frise chronologique ? Arrondir au millimètre près.

La frise représente la période allant de 476 à 2023 (année de l'épreuve), soit 2023-476 = 1\,547 années, sur une longueur de 2\,460 cm.
\dfrac{2\,460}{1\,547} \approx 1{,}59
Arrondi au millimètre près, une année est représentée par environ 1,6 cm.

3.aProposer une formule à valider dans la cellule C2, pouvant être étirée vers le bas afin de trouver tous les résultats de la colonne C.

Il faut calculer, pour l'année de la cellule B (colonne « Année »), le nombre de centimètres depuis le début de la frise (l'année 476 correspond à 0 cm) : =(B2-476)*2460/1547, formule à étirer vers le bas.

3.bSachant que la formule validée dans la cellule D2 est « =ENT(C2/29,7) + 1 », déterminer à quoi correspondent les nombres de la colonne D au sein de la salle de classe.

Ces nombres indiquent, pour chaque date, le numéro de la feuille A4 (parmi les 83 assemblées) sur laquelle elle doit être positionnée.

4.Sur quel mur de la classe se trouvera l'événement « l'accostage de Christophe Colomb sur le continent américain », marquant la fin du Moyen-Âge, si on le positionne sur la frise ?

Pour l'année 1492 : distance {= (1492-476)\times\dfrac{2460}{1547} \approx 1615{,}6} cm, soit environ 16{,}16 m depuis le départ de la frise.
Le mur nord couvre les 8{,}8 premiers mètres, puis le mur est couvre de 8{,}8 m à 8{,}8+7=15{,}8 m.
Comme 16{,}16 m dépasse 15{,}8 m, cet évènement se situe au-delà du mur est : il se trouve sur le mur sud.

1.Reproduire et compléter le tableau suivant.

2.aQuelle est la probabilité pour que ce soit un garçon ?

P(\text{garçon}) = \dfrac{70}{150} = \dfrac{7}{15}.

2.bQuelle est la probabilité que ce soit une fille musicienne ?

P(\text{fille musicienne}) = \dfrac{20}{150} = \dfrac{2}{15}.

2.cQuelle est la probabilité que ce soit un élève non-musicien ?

P(\text{non-musicien}) = \dfrac{114}{150} = \dfrac{19}{25}.

3.L'élève interrogé est un garçon. Quelle est la probabilité qu'il soit musicien ?

Parmi les 70 garçons, 16 sont musiciens, donc P(\text{musicien sachant garçon}) = \dfrac{16}{70} = \dfrac{8}{35}.

4.30 % des filles musiciennes jouent d'un instrument à vent. Quel pourcentage cela représente-t-il par rapport à l'effectif total de l'école ?

30\,\% des 20 filles musiciennes représentent 0{,}3\times20 = 6 élèves.
Par rapport à l'effectif total de l'école, cela représente \dfrac{6}{150} = 0{,}04 = 4 %.