CRPE : Groupement 2, session 2023

1.Calculer la longueur du segment [CD].

Les points A, B et D sont alignés et, d'après le codage de la figure, (BC) est perpendiculaire à (AB) : (BC) est donc aussi perpendiculaire à (BD).
Comme AFED est un rectangle, ses côtés opposés ont même longueur : \begin{aligned}AD &= FE \\ &= 80\end{aligned} m, donc \begin{aligned}BD &= AD-AB \\ &= 80-50 \\ &= 30\end{aligned} m.
Le triangle BDC est rectangle en B, donc d'après le théorème de Pythagore :
\begin{aligned}DC^{2} &= BD^{2}+BC^{2} \\ &= 30^{2}+40^{2} \\ &= 900+1600 \\ &= 2500\end{aligned}
DC = \sqrt{2500} = 50 mètres.

2.Montrer que la longueur du parcours, arrondie au mètre, est 309 m.

Le parcours est composé des segments [AF], [FE], [ED], de l'arc (demi-cercle de diamètre [CD]) et des segments [CB], [BA].
\begin{aligned}ED &= AF \\ &= 30\end{aligned} m (côtés opposés du rectangle AFED) et FE = 80 m.
Le demi-cercle a pour diamètre {CD = 50} m, donc pour rayon 25 m ; sa longueur est \dfrac{2\pi\times25}{2} = 25\pi m.
Longueur totale : \begin{aligned}AF+FE+ED+25\pi+CB+BA &= 30+80+30+25\pi+40+50 \\ &= 230+25\pi \\ &\approx 230+78{,}54 \\ &= 308{,}54\end{aligned} m.
Arrondie au mètre, la longueur du parcours est bien 309 mètres.

3.Construire un plan du parcours à l'échelle 1/800.

À l'échelle \dfrac{1}{800}, une longueur réelle de 1 m (soit 1000 mm) est représentée par \dfrac{1000}{800} = 1{,}25 mm sur le plan.
On en déduit les longueurs à reporter sur le plan pour chaque côté :
AB = 50 m \rightarrow 50\times1{,}25 = 62{,}5 mm = 6,25 cm
BC = 40 m \rightarrow 40\times1{,}25 = 50 mm = 5 cm
{CD = 50} m (diamètre du demi-cercle) \rightarrow 6,25 cm (donc un demi-cercle de rayon 3,125 cm)
ED = 30 m et FA = 30 m {\rightarrow 30\times1{,}25 = 37{,}5} mm = 3,75 cm (chacun)
FE = 80 m \rightarrow 80\times1{,}25 = 100 mm = 10 cm
Le plan s'obtient en reportant ces six longueurs bout à bout dans le même ordre et selon les mêmes angles (droits en B, D, E, F) que la figure de l'énoncé, en reliant C à D par un demi-cercle de rayon 3,125 cm.

4.Killian a effectué un tour complet en 3 minutes. À quelle vitesse moyenne a-t-il couru ?

3 minutes =180 secondes. La vitesse moyenne est v=\dfrac{d}{t}=\dfrac{309}{180}\approx 1,72 m/s (arrondi au centième).
En kilomètre par heure : 1{,}71\overline{6}\times3{,}6 \approx 6,2 km/h (arrondi au dixième).

5.aSophia court à 7 km/h. Combien de tours complets pourrait-elle effectuer en 18 minutes ?

18 minutes =\dfrac{18}{60}=0{,}3 heure. La distance parcourue est \begin{aligned}d &= 7\times0{,}3 \\ &= 2{,}1\end{aligned} km =2100 m.
Nombre de tours : \dfrac{2100}{309} \approx 6{,}8, donc 6 tours complets (avec un reste).

5.bPlacer le point S, position de Sophia au bout de 18 minutes, sur le plan réalisé à la question 3.

Après 6 tours complets (6\times309 = 1854 m), il reste 2100-1854 = 246 m parcourus sur le 7^{\text{e}} tour.
Il manque donc 309-246 = 63 m pour boucler ce tour. Le dernier segment du parcours est [BA] (50 m) : comme {63>50}, le point S se trouve avant ce dernier segment, sur le segment [CB] qui le précède.
Précisément, 63-50 = 13 m : le point S se situe sur le segment [CB], à 13 m du point B (soit à 40-13=27 m du point C), en suivant le sens de parcours A\rightarrowF\rightarrowE\rightarrowD\rightarrow(arc)\rightarrowC\rightarrowB\rightarrowA indiqué par la flèche de départ et le sens antihoraire de l'énoncé.

6.aQuel est le nombre moyen de tours complets effectués ?

Moyenne =\dfrac{2\times52+3\times52+4\times78+5\times65+6\times39+7\times26+8\times13}{52+52+78+65+39+26+13} = \dfrac{1417}{325} = 4,36 tours.

6.bQuelle est l'étendue de cette série statistique ?

L'étendue est l'écart entre la plus grande et la plus petite valeur : 8-2 = 6 tours.

6.cDéterminer la médiane de cette série statistique.

L'effectif total est 325 (nombre impair), donc la médiane est la \dfrac{325+1}{2} = 163^{\text{e}} valeur de la série ordonnée.
Effectifs cumulés croissants : 52 (jusqu'à 2 tours), 104 (jusqu'à 3), 182 (jusqu'à 4), 247 (jusqu'à 5), 286 (jusqu'à 6), 312 (jusqu'à 7), 325 (jusqu'à 8).
La 163^{\text{e}} valeur se situe dans le groupe « 4 tours » (rangs 105 à 182) : la médiane est 4 tours.

6.dInterpréter le résultat de la question 6.c.

Au moins la moitié des élèves ont fait 4 tours ou moins, et au moins la moitié en ont fait 4 ou plus.

6.eDéterminer le premier et le troisième quartile de cette série.

Le premier quartile est la plus petite valeur pour laquelle au moins 25 % des effectifs cumulés sont atteints : {325\times0{,}25 = 81{,}25}, donc le 82^{\text{e}} rang. D'après les effectifs cumulés (52, 104, 182, 247, 286, 312, 325), ce rang appartient au groupe « 3 tours » (rangs 53 à 104) : Q_1 = 3 tours.
Le troisième quartile correspond à 325\times0{,}75 = 243{,}75, donc au 244^{\text{e}} rang, qui appartient au groupe « 5 tours » (rangs 183 à 247) : Q_3 = 5 tours.

6.fQuel pourcentage d'élèves a réussi à faire au moins 4 tours ?

Élèves ayant fait au moins 4 tours : 325-52-52 = 221 (ou directement 78+65+39+26+13=221).
Pourcentage : \dfrac{221}{325} = 0{,}68 = 68 %.

1.Un quadrilatère qui possède deux angles droits est-il un rectangle ? Justifier.

Non. Si les deux angles droits sont consécutifs (par exemple en A et en B d'un quadrilatère ABCD), les côtés (AD) et (BC), tous deux perpendiculaires à (AB), sont parallèles entre eux : on obtient seulement un trapèze rectangle, qui n'a pas forcément ses deux autres angles droits.
Si les deux angles droits sont opposés (en A et en C), le quadrilatère est seulement inscriptible dans un cercle de diamètre [AC] (angle inscrit droit), sans que les côtés soient nécessairement parallèles deux à deux : c'est un quadrilatère quelconque, pas un rectangle.
Un contre-exemple dans chacun des deux cas suffit à répondre non à la question.

2.aPréciser en quoi la réponse de l'élève A (côtés opposés de même longueur) ne pourrait pas être admise comme définition mathématique du rectangle.

Un quadrilatère dont les côtés opposés sont de même longueur est un parallélogramme, mais un parallélogramme n'est pas forcément un rectangle : ses angles peuvent ne pas être droits (parallélogramme « penché »).

2.bPréciser en quoi la réponse de l'élève B (diagonales de même longueur) ne pourrait pas être admise comme définition mathématique du rectangle.

Un quadrilatère dont les diagonales sont de même longueur n'est pas forcément un rectangle : c'est le cas par exemple d'un trapèze isocèle, dont les diagonales sont égales sans que le quadrilatère ait ses quatre angles droits. Il faudrait en plus que les diagonales se coupent en leur milieu.

3.Quelle est la nature d'un rectangle dont les diagonales sont perpendiculaires ?

Un rectangle a des diagonales de même longueur qui se coupent en leur milieu. Si elles sont de plus perpendiculaires, le quadrilatère a alors ses quatre côtés de même longueur (propriété du losange) : c'est donc un rectangle qui est aussi un losange, autrement dit un carré.

4.En s'appuyant sur le codage du quadrilatère ABCD dessiné à main levée, préciser sa nature en justifiant.

Le codage indique un seul trait sur chacun des quatre côtés [AB], [BC], [CD] et [DA] : ces quatre côtés sont donc de même longueur. Un quadrilatère ayant ses quatre côtés égaux est, par définition, un losange.

1.Montrer que si l'utilisateur saisit le nombre 2, le programme A retourne le nombre 54.

Avec a=2 : \begin{aligned}b &= 2\times2+5 \\ &= 4+5 \\ &= 9\end{aligned} et \begin{aligned}c &= 5\times2-4 \\ &= 10-4 \\ &= 6\end{aligned}
d = b\times c = 9\times6 = 54, ce qui confirme le résultat attendu.

2.Calculer le résultat obtenu avec le programme A si le nombre saisi est 1,15.

\begin{aligned}b &= 2\times1{,}15+5 \\ &= 2{,}3+5 \\ &= 7{,}3\end{aligned} et \begin{aligned}c &= 5\times1{,}15-4 \\ &= 5{,}75-4 \\ &= 1{,}75\end{aligned}
d = 7{,}3\times1{,}75 = 12,775.

3.Pour quel(s) nombre(s) de départ le programme A retourne-t-il le nombre 0 ?

En notant a le nombre de départ, le programme retourne {d = (2a+5)(5a-4)}. Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
\begin{aligned}2a+5 &= 0 \\ &\Leftrightarrow a = -\dfrac{5}{2} \\ &\Leftrightarrow a = -2{,}5\end{aligned}
\begin{aligned}5a-4 &= 0 \\ &\Leftrightarrow a = \dfrac{4}{5} \\ &\Leftrightarrow a = 0{,}8\end{aligned}
Le programme A retourne 0 pour les nombres de départ -2{,}5 et 0{,}8, exclusivement.

4.aSi l'utilisateur saisit le nombre 3, quel résultat le programme B retourne-t-il ?

2\times3 = 6, puis 6+5=11, puis 11^{2} = 121.

4.bSi l'utilisateur saisit le nombre \dfrac{3}{4}, quel résultat le programme B retourne-t-il ?

2\times\dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2}, puis \begin{aligned}\dfrac{3}{2}+5 &= \dfrac{3}{2}+\dfrac{10}{2} \\ &= \dfrac{13}{2}\end{aligned}
\left(\dfrac{13}{2}\right)^{2} = \dfrac{169}{4} (soit 42,25).

5.aQuelle cellule du tableur permet de retrouver la réponse à la question 4.a ?

La colonne D correspond au nombre de départ 3 (D1 = 3) et la ligne 2 aux résultats : la réponse se trouve en cellule D2 (qui affiche 121).

5.bQuelle formule a pu être saisie dans la cellule A2 pour la copier-glisser sur la ligne 2 ?

=(2*A1+5)^{2} (ou de façon équivalente =(2*A1+5)*(2*A1+5)), qui applique directement les étapes du programme B au nombre de départ saisi en A1.

6.aPour quel nombre de départ le programme B retourne-t-il le nombre zéro ?

Le programme B retourne (2x+5)^{2}. Cette expression est nulle si et seulement si 2x+5=0, soit x=-\dfrac{5}{2}.
Le programme B retourne 0 pour le nombre de départ -2{,}5.

6.bCe nombre de départ est-il rationnel ? Justifier.

Oui : -2{,}5 = -\dfrac{5}{2} s'écrit comme le quotient de deux entiers relatifs (dénominateur non nul), c'est donc bien un nombre rationnel.

6.cCe nombre de départ est-il décimal ? Justifier.

Oui : -2{,}5 = -\dfrac{25}{10} s'écrit comme une fraction décimale (dénominateur une puissance de 10), c'est donc bien un nombre décimal (il possède d'ailleurs une écriture décimale finie).

7.Pour quel(s) nombre(s) de départ le programme A retourne-t-il le même résultat que le programme B ?

Il faut résoudre {(2x+5)(5x-4) = (2x+5)^{2}}, soit {(2x+5)(5x-4)-(2x+5)^{2} = 0}.
En factorisant par (2x+5) : {(2x+5)\big[(5x-4)-(2x+5)\big] = 0}, soit {(2x+5)(3x-9) = 0}.
\begin{aligned}2x+5 &= 0 \\ &\Leftrightarrow x = -2{,}5\end{aligned} ou \begin{aligned}3x-9 &= 0 \\ &\Leftrightarrow x = 3\end{aligned}
Les deux programmes retournent le même résultat pour les nombres de départ -2{,}5 et 3 (vérification : pour {x=3}, les deux programmes donnent 121 ; pour x=-2{,}5, les deux donnent 0).

1.aQuelle est la probabilité que Jeanne touche un bateau au premier essai ?

La grille compte 8\times8=64 cases équiprobables, dont 12 occupées par un bateau (2+3+3+4). La probabilité est \dfrac{12}{64} = \dfrac{3}{16}.

1.bQuelle est la probabilité que Jeanne ne touche aucun bateau ?

Il y a 64-12=52 cases vides, donc P = \dfrac{52}{64} = \dfrac{13}{16}.

1.cUn des bateaux a une chance sur seize d'être touché. De combien de cases est-il composé ?

Une probabilité de \dfrac{1}{16} correspond à \dfrac{4}{64} : ce bateau est donc composé de 4 cases.

1.dJeanne choisit une case de la colonne B. Quelle est la probabilité qu'elle touche un bateau ?

La colonne B compte 8 cases, dont 4 occupées par un bateau (une case du bateau de 4 cases et les trois cases du bateau vertical de 3 cases situé dans cette colonne) : P = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}.

2.Jeanne a touché la case E1 et choisit une case adjacente pour couler le bateau. Quelle est la probabilité qu'elle y parvienne ?

Le bateau touché en E1 est un bateau horizontal de 2 cases (E1-F1). Les cases adjacentes à E1 partageant un côté avec elle sont D1, F1 et E2 (E1 est sur la première ligne, il n'y a pas de case au-dessus) : soit 3 cases possibles.
Une seule d'entre elles, F1, permet de couler le bateau : la probabilité est \dfrac{1}{3}.
(Si l'on considérait aussi les cases ne partageant qu'un coin avec E1 comme « adjacentes », il y aurait 5 cases possibles et la probabilité serait alors \dfrac{1}{5} ; l'interprétation usuelle, retenue ici, ne considère que les cases partageant un côté.)

3.Teddy annonce « À l'eau ! » aux deux premiers essais. Quelle est la probabilité de toucher un bateau au troisième essai ?

Après deux échecs (deux cases vides écartées), il reste 62 cases possibles, dont toujours 12 occupées par un bateau : P = \dfrac{12}{62} = \dfrac{6}{31}.

1.Convertir 95^{\circ}F en degré Celsius.

C = (95-32)\times\dfrac{5}{9} = 63\times\dfrac{5}{9} = \dfrac{315}{9} = 35^{\circ}C.

2.Convertir 5^{\circ}C en degré Fahrenheit.

On résout 5 = (F-32)\times\dfrac{5}{9} d'inconnue F : \begin{aligned}F-32 &= 5\times\dfrac{9}{5} \\ &= 9\end{aligned} donc F = 9+32 = 41^{\circ}F.

3.Existe-t-il des températures pour lesquelles la mesure en degrés Celsius est égale à la mesure en degrés Fahrenheit ?

On cherche x tel que x = (x-32)\times\dfrac{5}{9}, soit \begin{aligned}9x &= 5(x-32) \\ &= 5x-160\end{aligned} soit 4x=-160, donc x=-40.
Il existe une unique température commune : -40^{\circ}C =-40^{\circ}F, ce qui peut se vérifier : \begin{aligned}(-40-32)\times\dfrac{5}{9} &= -72\times\dfrac{5}{9} \\ &= -40\end{aligned}

1.Appliquer cette règle pour calculer le produit 6 \times 8.

Pour représenter 6 à gauche : 5 orteils + 1 doigt levé (g=1). Pour représenter 8 à droite : 5 orteils + 3 doigts levés (d=3).
Dizaines : \begin{aligned}g+d &= 1+3 \\ &= 4\end{aligned} soit 40. Unités : \begin{aligned}(5-g)(5-d) &= 4\times2 \\ &= 8\end{aligned}
Total : 40+8 = 48, ce qui correspond bien à 6\times8=48.

2.aQue représentent dans ce contexte les nombres (5-g) et (5-d) ?

(5-g) et (5-d) représentent respectivement le nombre de doigts baissés (repliés) sur la main gauche et sur la main droite.

2.bDémontrer l'égalité : (5+g)(5+d) = 10(g+d) + (5-g)(5-d).

On développe le membre de gauche : (5+g)(5+d) = 25+5d+5g+gd.
On développe le membre de droite : \begin{aligned}10(g+d)+(5-g)(5-d) &= 10g+10d + (25-5d-5g+gd) \\ &= 25+5g+5d+gd\end{aligned}
Les deux membres sont égaux à {25+5g+5d+gd} : l'égalité est démontrée, pour toutes valeurs de g et d.

2.cConclure quant à la validité de la règle de calcul.

Les nombres représentés par les deux mains sont 5+g et 5+d (5 orteils fixes plus les doigts levés) : leur produit (5+g)(5+d) est exactement le résultat cherché.
D'après l'égalité démontrée, ce produit vaut aussi 10(g+d)+(5-g)(5-d), c'est-à-dire précisément « 10 fois la somme des doigts levés » (le nombre de dizaines) plus « le produit des doigts baissés » (le nombre d'unités), ce qui est exactement la règle énoncée par le professeur.
La règle de calcul est donc valide pour tout couple de nombres entiers entre 5 et 10, puisqu'elle repose sur une identité algébrique vraie pour tous g et d.