CRPE : Externe supplémentaire, session 2024

1.La répartition des salaires mensuels des employés d'une entreprise est présentée dans un diagramme en barres (salaires en euros : 1 200, 1 400, 1 600, 1 800, 2 000, 2 300 et 3 200, d'effectifs respectifs 11, 4, 7, 5, 2, 1 et 1). Affirmation 1 : le salaire médian dans cette entreprise est de 1 800 €.

L'effectif total est {11+4+7+5+2+1+1=31} employés.
Les effectifs cumulés croissants sont : 11 (jusqu'à 1 200 €), 15 (jusqu'à 1 400 €), 22 (jusqu'à 1 600 €), 27 (jusqu'à 1 800 €), 29 (jusqu'à 2 000 €), 30 (jusqu'à 2 300 €), 31 (jusqu'à 3 200 €).
Comme 31 est impair, la médiane est la \dfrac{31+1}{2}=16^{\text{e}} valeur de la série ordonnée.
Cette 16^{\text{e}} valeur se situe dans le groupe des salaires de 1 600 € (effectif cumulé passant de 15 à 22) : la médiane est donc 1 600 €, et non 1 800 €.
Faux.

2.Affirmation 2 : le quotient d'un nombre décimal par un nombre décimal non nul est un nombre décimal.

Contre-exemple : 0{,}1 et 0{,}3 sont des nombres décimaux, et \dfrac{0{,}1}{0{,}3}=\dfrac{1}{3}.
Or \dfrac{1}{3} n'est pas un nombre décimal, car sous forme irréductible son dénominateur (3) admet un facteur premier autre que 2 ou 5.
Faux.

3.Paul mange les deux cinquièmes d'un paquet de 40 gâteaux. Il donne les trois huitièmes de ce qu'il reste à sa sœur. Affirmation 3 : Paul a donné 15 gâteaux à sa sœur.

Paul mange \dfrac{2}{5}\times40=16 gâteaux, il en reste donc 40-16=24.
Il donne à sa sœur \dfrac{3}{8}\times24=9 gâteaux.
Paul a donné 9 gâteaux à sa sœur, et non 15.
Faux.

4.Soient a et b deux nombres entiers. La division euclidienne de a par 13 a pour reste 9, celle de b par 13 a pour reste 4. Affirmation 4 : le nombre a+b est divisible par 13.

Il existe des entiers q_1,q_2 tels que {a=13q_1+9} et b=13q_2+4.
\begin{aligned}a+b &= 13q_1+9+13q_2+4 \\ &= 13(q_1+q_2)+13 \\ &= 13(q_1+q_2+1)\end{aligned}
Comme q_1+q_2+1 est un entier, a+b est bien un multiple de 13.
Vrai.

5.Affirmation 5 : l'image par une fonction linéaire de la somme de deux nombres est égale à la somme des images de ces deux nombres.

Une fonction linéaire s'écrit f(x)=ax pour un réel a fixé.
Pour deux réels x_1 et x_2 : \begin{aligned}f(x_1+x_2) &= a(x_1+x_2) \\ &= ax_1+ax_2 \\ &= f(x_1)+f(x_2)\end{aligned}
Vrai.

1.Une élève lance deux dés cubiques non truqués. Une paire de 1 rapporte 1 000 points, une autre paire rapporte 100 fois la valeur du dé, et un résultat sans paire rapporte 50 points. Le jeu se termine dès que le total atteint au moins 1 000 points. Quelle est la probabilité de terminer le jeu avec un seul lancer ?

Il y a 6\times6=36 tirages équiprobables pour deux dés à 6 faces.
Terminer le jeu en un seul lancer nécessite d'obtenir directement 1 000 points, c'est-à-dire une paire de 1 : un seul tirage favorable, (1;1).
P = \dfrac{1}{36}.

2.aL'élève a réalisé deux lancers et a obtenu exactement 650 points. Expliquer l'ensemble des résultats qu'elle a pu obtenir lors de ces deux lancers.

Les scores possibles pour un lancer sont 50 (résultat sans paire), 200, 300, 400, 500, 600 (paires de 2 à 6) ou 1 000 (paire de 1).
Pour obtenir un total de 650 en deux lancers, la seule combinaison possible est 50+600=650.
L'élève a donc obtenu, dans un ordre ou dans l'autre, un lancer sans paire (50 points) et un lancer avec une paire de 6 (600 points).

2.bQuelle est la probabilité de terminer le jeu avec un troisième lancer ?

Avec 650 points déjà obtenus, le jeu se termine au troisième lancer si ce lancer rapporte au moins {1000-650=350} points.
Les scores d'un lancer supérieurs ou égaux à 350 sont 400, 500, 600 (paires de 4, 5, 6) et 1 000 (paire de 1) : 4 tirages favorables sur 36.
P = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}.

1.Trois programmes (touches a, b, c) orientent le lutin puis avancent de 20 pas : touche a \rightarrow orientation 90^{\circ} (droite), touche b \rightarrow orientation -90^{\circ} (gauche), touche c \rightarrow orientation 0^{\circ} (haut). Parmi trois propositions de figures, une seule ne peut pas être réalisée par un enchaînement des touches a, b, c. Laquelle ? Expliquer.

Les touches a, b et c ne permettent de tracer des segments que vers la droite, la gauche ou le haut : aucune de ces trois touches ne permet d'avancer vers le bas.
Un enchaînement de touches a, b, c ne peut donc produire qu'une figure dont l'altitude ne diminue jamais.
Or la Proposition 3 comporte un segment orienté vers le bas (une chute), ce qu'aucune des trois touches ne permet de réaliser.
C'est la Proposition 3 qui ne peut pas être obtenue.

2.En prenant 1 cm pour 10 pas, tracer la figure obtenue après l'enchaînement de touches : c c c a a c c b b.

3.On ajoute un quatrième programme, touche d : orientation 180^{\circ} (bas), avancer de 20 pas. Donner un enchaînement de touches permettant d'obtenir un rectangle de longueur 80 pas et dont les diagonales mesurent 100 pas. Expliquer le raisonnement.

Notons ABCD ce rectangle, de longueur \begin{aligned}AB &= CD \\ &= 80\end{aligned} pas et de diagonale \begin{aligned}AC &= BD \\ &= 100\end{aligned} pas.
Le triangle ABC est rectangle en B (angle du rectangle), donc d'après le théorème de Pythagore :
AC^{2} = AB^{2}+BC^{2}
\begin{aligned}BC^{2} &= AC^{2}-AB^{2} \\ &= 100^{2}-80^{2} \\ &= 10\,000-6\,400 \\ &= 3\,600\end{aligned}
\begin{aligned}BC &= \sqrt{3\,600} \\ &= 60\end{aligned} pas : la largeur du rectangle est donc de 60 pas.
Chaque touche ne fait avancer le lutin que de 20 pas à la fois : il faut donc 4 appuis successifs pour tracer un côté de 80 pas, et 3 appuis successifs pour un côté de 60 pas.
Un enchaînement possible est : a a a a c c c b b b b d d d (80 pas à droite, 60 pas vers le haut, 80 pas à gauche, 60 pas vers le bas, ce qui referme bien le rectangle).

A.1.aUne dalle en forme de prisme droit de hauteur 15 cm a un volume de 9,825 m^{3}. Sa base est le polygone ABED, avec ABCD rectangle (DC = 10 m, AD = 5 m) et D, C, E alignés. Justifier que l'aire du polygone ABED est 65,5 m^{2}.

Le volume d'un prisme droit est donné par V = \text{aire de la base}\times\text{hauteur}.
Ici, 9{,}825 = \text{aire}_{ABED}\times0{,}15 (hauteur 15 cm =0{,}15 m).
\text{aire}_{ABED} = \dfrac{9{,}825}{0{,}15} = 65,5 m^{2}, conforme à l'énoncé.

A.1.bEn déduire la longueur du segment [CE].

Le polygone ABED est un trapèze rectangle, réunion du rectangle ABCD (aire 10\times5=50 m^{2}) et du triangle rectangle BCE (rectangle en C, de base CE et de hauteur \begin{aligned}BC &= AD \\ &= 5\end{aligned} m).
\text{aire}_{ABCD}+\text{aire}_{BCE} = \text{aire}_{ABED}
50 + \dfrac{CE\times5}{2} = 65{,}5
\dfrac{CE\times5}{2} = 15{,}5, donc CE\times5 = 31
CE = \dfrac{31}{5} = 6,2 m.

A.2Claire se fait livrer 12 m^{3} de béton, coule la dalle de sa terrasse, puis veut couler avec le reste une dalle en forme de pavé droit de longueur 5 m et de largeur 3 m. Peut-elle obtenir une dalle de hauteur 15 cm ?

Béton restant après la terrasse : {12-9{,}825 = 2{,}175} m^{3}.
Volume nécessaire pour un pavé de 5 m \times 3 m \times 0{,}15 m : \begin{aligned}V &= 5\times3\times0{,}15 \\ &= 2{,}25\end{aligned} m^{3}.
Comme 2{,}25 > 2{,}175, il manque du béton.
Non, Claire ne peut pas obtenir une dalle de 15 cm de hauteur avec le béton restant (la hauteur maximale possible est \dfrac{2{,}175}{5\times3}\approx0{,}145 m, soit 14,5 cm).

B.1L'entreprise TOUBETON vend le m^{3} de béton 130 € HT, avec une TVA de 20 %. Donner une formule à saisir en C2 pour obtenir le prix TTC, qui s'actualise automatiquement en cas de changement du prix HT.

Une augmentation de 20 % correspond à une multiplication par 1{,}2 : formule =B2*1,2 en cellule C2 (ou de façon équivalente =B2+20%*B2).

B.2Donner une formule à saisir en E2, puis à recopier vers le bas, pour obtenir le prix total (produit du volume par le prix TTC au m^{3}, plus les frais de livraison).

=A2*C2+D2, formule à étirer de E2 vers le bas.

B.3Pour une livraison de 3 m^{3} de béton, que représentent, en pourcentage arrondi à l'unité, les frais de livraison par rapport au prix total ?

Prix total pour 3 m^{3} : \begin{aligned}3\times156+58 &= 468+58 \\ &= 526\end{aligned} €.
Part des frais de livraison : \dfrac{58}{526}\approx0{,}1103, soit environ 11 %.

B.4Un camion-toupie a une contenance maximale de 7 m^{3}. Quel sera le prix total payé par Claire pour se faire livrer les 12 m^{3} de béton ?

Un seul camion-toupie (7 m^{3} maximum) ne suffit pas pour transporter 12 m^{3} : il faut deux camions-toupies, donc deux fois les frais de livraison.
Prix total = 12\times156 + 2\times58 = 1\,872+116 = 1 988 €.

C.1Claire achète un mélange composé de 120 kg de sable et de 180 kg de gravier. Quelle est la proportion de sable dans ce mélange, en pourcentage ?

Masse totale du mélange : {120+180=300} kg.
Proportion de sable : \dfrac{120}{300} = 0{,}4 = 40 %.

C.2La granulosité souhaitée impose 55 % de sable dans le mélange. Quelle quantité de sable Claire doit-elle ajouter ?

Notons m la masse totale de sable après ajout. On veut \dfrac{m}{m+180} = 0{,}55.
m = 0{,}55(m+180), soit {m-0{,}55m = 0{,}55\times180}, donc 0{,}45m = 99
\begin{aligned}m &= \dfrac{99}{0{,}45} \\ &= 220\end{aligned} kg de sable au total.
Claire dispose déjà de 120 kg : elle doit donc ajouter 220-120 = 100 kg de sable.

C.3Il est conseillé d'ajouter 250 kg de ciment par tonne de mélange (sable et gravier). Le ciment est vendu par sacs de 35 kg à 7,75 € le sac. Quel sera le prix payé par Claire pour son ciment ?

Après l'ajout de sable (question précédente), le mélange pèse {220+180 = 400} kg.
Ciment nécessaire : 250 kg pour 1\,000 kg de mélange, soit \dfrac{250\times400}{1\,000} = 100 kg de ciment.
Nombre de sacs de 35 kg : \dfrac{100}{35}\approx2{,}86, arrondi à l'entier supérieur (il faut couvrir la totalité des 100 kg) : 3 sacs.
Prix payé : 3\times7{,}75 = 23,25 €.

1.aL'hexagone ci-contre (figure 1) est le motif de base d'un pavage, construit à partir du pentagone ABCDE noté M ; les pentagones M, M1, M2, M3 sont superposables et disposés autour du segment central [AB]. Par quelle transformation peut-on obtenir le motif M3 à partir du motif élémentaire M ? En préciser les caractéristiques.

M3 occupe, dans l'hexagone, la position symétrique de M par rapport à la droite (AB), les deux pentagones partageant le côté [AB].
Le pentagone M possède lui-même un axe de symétrie perpendiculaire à (AB) en son milieu (ses deux sommets voisins de [AB] ont des angles égaux, tout comme ses deux sommets suivants) : la symétrie axiale d'axe (AB) et la symétrie centrale de centre le milieu de [AB] envoient donc M sur la même figure.
M3 est l'image de M par la symétrie axiale d'axe la droite (AB), ce qui équivaut ici à la symétrie centrale de centre le milieu du segment [AB].

1.bPar quelle transformation peut-on obtenir le motif M1 à partir du motif élémentaire M ? En préciser les caractéristiques.

M1 est accolé à M le long du côté commun [BC] (C étant le sommet de M dont l'angle intérieur est droit).
Comme tous les côtés du pentagone sont de même longueur, en particulier CB=CD, et que l'angle intérieur de M en C (angle \widehat{BCD}) est droit, la rotation de centre C et d'angle 90^{\circ} envoie le sommet D de M exactement sur le sommet B de M.
M1 est l'image de M par la rotation de centre C et d'angle 90^{\circ} dans le sens direct (cette rotation amène le côté [CD] de M sur le côté [CB], désormais partagé avec M1).

2.aDans une figure séparée (figure 2), le pentagone ABCDE a ses cinq côtés de même longueur, avec AB = 5 cm et les angles \widehat{ABC}, \widehat{AED} droits. Déterminer la mesure de l'angle \widehat{CAB} en justifiant.

Dans le triangle ABC, \begin{aligned}AB &= BC \\ &= 5\end{aligned} cm et l'angle \widehat{ABC} est droit : ABC est un triangle rectangle isocèle en B.
Les deux angles aigus d'un triangle rectangle isocèle mesurent chacun 45^{\circ}.
L'angle \widehat{CAB} mesure donc 45^{\circ}.

2.bOn admet que \widehat{CAD}=41^{\circ}. Déterminer la mesure des cinq angles du pentagone ABCDE.

Par le même raisonnement qu'en 2.a, le triangle AED (rectangle isocèle en E, \begin{aligned}AE &= ED \\ &= 5\end{aligned} cm) donne \begin{aligned}\widehat{DAE} &= \widehat{ADE} \\ &= 45\end{aligned}^{\circ}.
Les triangles rectangles ABC et AED sont isométriques (angle droit compris entre deux côtés de même longueur 5 cm) : leurs hypoténuses sont donc égales, AC=AD.
Le triangle ACD est donc isocèle en A, d'angle au sommet \widehat{CAD}=41^{\circ} : ses deux angles à la base valent \begin{aligned}\widehat{ACD} &= \widehat{ADC} \\ &= \dfrac{180-41}{2} \\ &= 69{,}5\end{aligned}^{\circ}.
Angle en A : \widehat{EAB} = \widehat{DAE}+\widehat{CAD}+\widehat{CAB} = 45+41+45 = 131^{\circ}.
Angles en B et E (donnés droits) : \widehat{ABC}=\widehat{AED} = 90^{\circ}.
Angle en C : \widehat{BCD} = \widehat{BCA}+\widehat{ACD} = 45+69{,}5 = 114,5^{\circ}.
Angle en D : \widehat{CDE} = \widehat{ADC}+\widehat{ADE} = 69{,}5+45 = 114,5^{\circ}.

2.cQuelle est la somme des angles du pentagone ABCDE ?

131+90+114{,}5+114{,}5+90 = 540^{\circ}.

2.dDémontrer que la somme des angles d'un pentagone simple (non croisé) est égale à 540^{\circ}.

Depuis l'un quelconque de ses sommets, on peut tracer deux diagonales qui partagent tout pentagone simple en exactement 3 triangles.
La somme des angles du pentagone est égale à la somme des angles de ces 3 triangles (chaque angle du pentagone se retrouve, entier, réparti entre un ou plusieurs de ces triangles).
Or la somme des angles d'un triangle vaut toujours 180^{\circ}, donc la somme des angles du pentagone vaut 3\times180 = 540^{\circ}.