CRPE : Groupement 1, session 2024

A.1Déterminer une valeur approchée par excès au millimètre près de la longueur minimale de l'étiquette qui fait le tour du pluviomètre.

Cette étiquette doit faire le tour du cylindre (diamètre 8{,}4 cm) : sa longueur minimale est donc égale au périmètre du cercle de base.
Périmètre = \pi\times8{,}4 \approx 26{,}389 cm.
Arrondie par excès au millimètre près, la longueur minimale de l'étiquette est de 26,4 cm.

A.2Déterminer la valeur exacte, puis une valeur arrondie au centilitre du volume en litres du pluviomètre.

Le pluviomètre est assimilé à un cylindre de rayon \begin{aligned}r &= \dfrac{8{,}4}{2} \\ &= 4{,}2\end{aligned} cm et de hauteur h=15 cm.
\begin{aligned}V &= \pi\times r^{2}\times h \\ &= \pi\times4{,}2^{2}\times15 \\ &= \pi\times264{,}6\end{aligned}
Valeur exacte : V=264{,}6\pi cm^{3}, soit V=0{,}2646\pi L (car 1 L =1\,000 cm^{3}).
Arrondi au centilitre, V\approx 0,83 L.

A.3Identifier la courbe qui correspond au pluviomètre de Jules et celle qui correspond au pluviomètre d'Inès.

Le pluviomètre de Jules est un cylindre, donc à section constante : le volume d'eau est proportionnel à la hauteur, ce qui donne une évolution linéaire (une droite) : c'est la Courbe n^{\circ}3.
Le pluviomètre d'Inès (la partie haute de la bouteille, bouchon en bas) a une section plus étroite près du bouchon puis qui s'élargit progressivement vers le haut (l'épaulement de la bouteille) : le volume croît donc d'abord lentement avec la hauteur, puis de plus en plus vite : c'est la Courbe n^{\circ}1.

B.1Déterminer celle des deux villes qui a connu les plus fortes précipitations mensuelles en moyenne.

Moyenne à Rennes : \begin{aligned}\dfrac{65+103+24+122+53+44+19+27+57+134}{10} &= \dfrac{648}{10} \\ &= 64{,}8\end{aligned} mm.
Comme 70{,}6 > 64{,}8, c'est la ville de Lyon qui a connu les plus fortes précipitations mensuelles en moyenne durant cette période.

B.2Calculer et comparer les étendues des précipitations mensuelles à Rennes et à Lyon.

Étendue à Rennes : 134-19=115 mm.
Étendue à Lyon : 179-18=161 mm.
Comme 161>115, l'étendue des précipitations mensuelles est plus grande à Lyon qu'à Rennes.

B.3L'affirmation suivante est-elle exacte ? « Dans la commune de Lyon, il y a 5 mois de l'année scolaire pendant lesquels les précipitations mensuelles ont été supérieures ou égales à 70,6 mm ».

La médiane des précipitations à Lyon est de 58 mm : par définition, cela signifie seulement que, sur les 10 valeurs, 5 sont supérieures ou égales à 58 mm (et 5 sont inférieures ou égales à 58 mm).
Rien ne permet d'affirmer que ces 5 valeurs sont aussi toutes supérieures ou égales à 70{,}6 mm, qui est strictement supérieur à la médiane : l'affirmation est fausse, elle ne peut pas se déduire des seules informations données par le document 2.

Affirmation 1 : Le nombre 0,28 est un nombre rationnel.

Vrai. Tout nombre décimal peut s'écrire sous forme de fraction : ici \begin{aligned}0{,}28 &= \dfrac{28}{100} \\ &= \dfrac{7}{25}\end{aligned} qui est bien un quotient de deux entiers : 0{,}28 est donc un nombre rationnel.

Affirmation 2 : Pour deux nombres réels strictement positifs a et b, le quotient de a par b est strictement inférieur au nombre a.

Faux. Contre-exemple : pour a=2 et b=1 (deux réels strictement positifs), le quotient de a par b vaut \dfrac{2}{1}=2, qui n'est pas strictement inférieur à a=2.

Affirmation 3 : Le produit de deux entiers naturels impairs est un entier naturel impair.

Tout entier naturel impair s'écrit sous la forme 2k+1, avec k entier naturel. Posons N=2k+1 et N'=2k'+1.
N\times N' = (2k+1)(2k'+1) = 4kk'+2k+2k'+1 = 2(2kk'+k+k')+1.
Le nombre 2(2kk'+k+k')+1 est de la forme (double d'un entier) +1 : il est donc impair.
Vrai.

Affirmation 4 : La droite (d) passe par les points de coordonnées (1 ; 0,5) et (0 ; 2). Pour tout nombre réel x, f(x)=2x-1,5.

La droite (d) passe par le point de coordonnées (0~;~2), donc on doit avoir f(0)=2.
Or, avec la formule proposée, \begin{aligned}f(0) &= 2\times0-1{,}5 \\ &= -1{,}5 \\ &\neq 2\end{aligned}
Faux.

Affirmation 5 : Deux cercles de centre A, de rayons 7,8 cm et 2,4 cm ; A,D,B alignés, A,E,C alignés, DE = 2,9 cm. La longueur BC arrondie au millimètre est égale à 9,4 cm.

Les points A, D et B sont alignés, et les points A, E et C sont alignés, dans cet ordre.
\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{2{,}4}{7{,}8} et \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{2{,}4}{7{,}8}, car \begin{aligned}AD &= AE \\ &= 2{,}4\end{aligned} cm (rayon de (C_2)) et \begin{aligned}AB &= AC \\ &= 7{,}8\end{aligned} cm (rayon de (C_1)).
Comme \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}, or, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, {\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}}, soit \dfrac{2{,}9}{BC}=\dfrac{2{,}4}{7{,}8}, d'où \begin{aligned}BC &= \dfrac{2{,}9\times7{,}8}{2{,}4} \\ &= 9{,}425\end{aligned}
Arrondie au millimètre, BC\approx 9,4 cm : l'affirmation est vraie.

A.Construire un agrandissement de coefficient 2 d'un patron d'un tel dé en attribuant un numéro à chacune des faces.

B.1Donner tous les résultats possibles de cette expérience aléatoire.

En additionnant les nombres (de 1 à 6) obtenus sur les deux dés, tous les entiers de 2 à 12 sont possibles : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

B.2Déterminer la probabilité de l'événement : « La somme obtenue est égale à 4 ».

Il y a 6\times6=36 issues équiprobables (les deux dés étant équilibrés).
La somme vaut 4 dans les cas (1;3), (2;2) et (3;1), soit 3 issues favorables.
P(\text{somme}=4) = \dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}.

B.3.aQuelle somme a la plus grande probabilité d'apparaître ?

En dressant le tableau à double entrée des sommes, on constate que la somme 7 est celle qui apparaît le plus souvent (elle correspond à 6 des 36 issues, contre au plus 5 pour toute autre somme).

B.3.bQuelle est cette probabilité ?

P(\text{somme}=7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}.

C.Proposer un exemple d'événement dont la probabilité est égale à 1/6, dans le contexte du jeu avec l'écart entre les deux nombres.

Le tableau à double entrée des écarts (valeur absolue de la différence entre les deux nombres) montre que l'écart est nul pour 6 issues sur 36 (les doubles (1;1), (2;2), ..., (6;6)), soit une probabilité de \dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}.
On peut donc proposer l'événement « obtenir un écart nul » (c'est-à-dire un double), de probabilité \dfrac{1}{6}. (Un autre exemple valable est « obtenir un écart égal à 3 », également réalisé par 6 issues sur 36.)

A.1.aJustifier que Lola a bien parcouru la distance affichée dans le tableau (825 m).

La piste mesure 200 m et compte 8 plots équidistants : l'écart entre deux plots consécutifs est donc de {\dfrac{200}{8}=25} m.
Lola a parcouru 4 tours complets, soit 4\times200=800 m, plus 1 plot supplémentaire dans le tour incomplet, soit 25 m de plus.
Elle a donc bien parcouru 800+25= 825 m.

A.1.bDéterminer la vitesse moyenne de Lola en m/min.

v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{825}{5} = 165 m/min.

A.2Déterminer la vitesse moyenne de Joris en km/h.

Joris a parcouru \begin{aligned}3\times200+4\times25 &= 600+100 \\ &= 700\end{aligned} m, soit 0{,}7 km, en 5 minutes, soit \dfrac{5}{60} heure.
v = \dfrac{0{,}7}{\frac{5}{60}} = 0{,}7\times\dfrac{60}{5} = 0{,}7\times12 = 8,4 km/h.

A.3Exprimer, en pourcentage arrondi à l'unité, la distance supplémentaire parcourue par Lola par rapport à celle parcourue par Joris.

\begin{aligned}\dfrac{825-700}{700} &= \dfrac{125}{700} \\ &\approx 0{,}1786\end{aligned} soit environ 18 % (arrondi à l'unité) de distance supplémentaire parcourue par Lola par rapport à Joris.

B.1Donner une formule qui peut être saisie dans la cellule D2 puis recopiée vers le bas.

=200*B2+25*C2 (nombre de tours complets \times 200 m, plus nombre de plots franchis \times 25 m), formule à recopier vers le bas.

B.2Donner une formule qui peut être saisie dans la cellule E2 puis recopiée vers le bas.

=12*D2/1000 (le coefficient 12 correspond à \dfrac{60}{5}, la conversion d'une distance sur 5 minutes en vitesse horaire, déjà rencontrée à la question A.2), formule à recopier vers le bas.

B.3Déterminer la distance moyenne parcourue par les élèves de cette classe.

Effectif total : 2+1+4+2+3+6+1+3+2+1=25 élèves.
Somme des distances : 550\times2+575\times1+625\times4+650\times2+675\times3+700\times6+750\times1+775\times3+825\times2+850\times1 = 17\,275.
Distance moyenne = \dfrac{17\,275}{25} = 691 m.

C.1.aOn suppose que la longueur du rectangle est de 20 m. Montrer que la largeur du rectangle est alors de 12 m.

Comme \dfrac{L}{l}=\dfrac{5}{3}, on a l=\dfrac{3}{5}L. Pour {L=20} m, l=\dfrac{3}{5}\times20= 12 m.

C.1.bDéterminer un arrondi au mètre de la longueur de la piste.

La piste est composée de deux longueurs L du rectangle et de deux demi-cercles de diamètre l (formant, ensemble, un cercle complet de diamètre l).
Longueur = 2L+\pi l = 2\times20+\pi\times12 = 40+12\pi \approx 77{,}70 m.
Arrondie au mètre, la longueur de la piste est d'environ 78 m.

C.2Déterminer la longueur et la largeur du rectangle afin que la piste ait une longueur totale de 200 m. Arrondir au centimètre chaque dimension.

Notons L la longueur du rectangle (en m) ; on a toujours l=\dfrac{3}{5}L.
La longueur de la piste est \begin{aligned}2L+\pi l &= 2L+\dfrac{3\pi}{5}L \\ &= L\left(2+\dfrac{3\pi}{5}\right)\end{aligned}
On résout L\left(2+\dfrac{3\pi}{5}\right)=200, soit \begin{aligned}L &= \dfrac{1\,000}{10+3\pi} \\ &\approx 51{,}481\end{aligned}
Arrondie au centimètre, L\approx 51,48 m.
l = \dfrac{3}{5}L \approx 30,89 m (arrondie au centimètre).

A.1Montrer que l'élève doit construire 12 carrés pour réaliser le tour d'un géoplan de 25 picots.

Un géoplan de 25 picots est une grille de 5\times5 picots (5 picots par ligne et par colonne).
Sur la première ligne et sur la dernière ligne, on place chacune 5-1=4 carrés (autant que d'intervalles entre les picots d'une ligne), soit 4+4=8 carrés.
Les carrés des deux coins de chaque colonne extrême sont déjà comptés avec les lignes : il reste donc 4-2=2 carrés à ajouter sur la première colonne, et autant sur la dernière colonne, soit 2+2=4 carrés supplémentaires.
Au total : 8+4= 12 carrés.

A.2Déterminer le nombre de carrés nécessaires pour réaliser le tour d'un géoplan de 81 picots.

Un géoplan de 81 picots est une grille de 9\times9 picots.
Sur la première et la dernière ligne : 9-1=8 carrés chacune, soit {8+8=16} carrés.
Sur la première et la dernière colonne, en retirant les carrés de coin déjà comptés : 8-2=6 carrés chacune, soit 6+6=12 carrés.
Au total : 16+12= 28 carrés.

A.3Justifier que le nombre de carrés nécessaires pour réaliser le tour d'un géoplan de n^{2} picots est donné par l'expression 4n - 8.

A.4On dispose d'un nombre d'élastiques permettant de construire 107 carrés. Déterminer le nombre maximal de picots de ce géoplan.

On résout 4n-8\leq107, soit 4n\leq115, donc \begin{aligned}n &\leq \dfrac{115}{4} \\ &= 28{,}75\end{aligned}
Comme n est un entier naturel, le plus grand géoplan réalisable correspond à n=28.
Le nombre maximal de picots est donc n^{2}=28^{2}= 784 picots.

B.1Construire la figure réalisée par l'élève en vraie grandeur.

B.2.aDéterminer l'aire en cm^{2} de cette figure.

La figure est un trapèze rectangle : ses deux côtés verticaux (parallèles) mesurent respectivement 3 cm (petite base) et 12 cm (grande base), séparés par une hauteur (horizontale) de 9 cm.
Aire = \dfrac{(3+12)\times9}{2} = 67,5 cm^{2}.

B.2.bDéterminer la valeur exacte du périmètre de cette figure.

Trois côtés de la figure valent 9 cm (haut), 3 cm (droite) et 12 cm (gauche).
Il reste la diagonale, hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent chacun 12-3=9 cm : sa longueur est \sqrt{9^{2}+9^{2}} = 9\sqrt{2} cm (théorème de Pythagore).
Le périmètre est donc 9+3+12+9\sqrt{2} = (24+9\sqrt{2}) cm (valeur exacte).

B.3En prenant 3 cm pour 70 pas, déterminer les valeurs à attribuer aux lettres A, B et C.

Le script part du point (-140~;~140) orienté à 90^{\circ} (vers la droite) et avance de 210 pas : ce déplacement correspond au côté horizontal du haut, de longueur 3\times70=210 pas (à l'échelle de 3 cm pour 70 pas).
Après avoir tourné de 90^{\circ}, il avance de 70 pas : ce déplacement correspond au petit côté vertical de droite (1 unité, soit 70 pas).
Pour s'orienter ensuite le long de la diagonale, il faut tourner de A = 45^{\circ}.
La diagonale mesure 9\sqrt{2} cm, soit, à l'échelle de 70 pas pour 3 cm, \begin{aligned}9\sqrt{2}\times\dfrac{70}{3} &= 210\sqrt{2} \\ &\approx 296{,}98\end{aligned} soit environ B = 297 pas (valeur approchée à l'unité).
Il faut ensuite tourner de C = 135^{\circ} pour s'orienter à nouveau vers le haut avant le dernier « avancer de 280 pas », qui correspond au grand côté vertical de gauche (4 unités, soit 4\times70=280 pas) refermant la figure sur son point de départ.