CRPE : Groupement 1, session 2025

1.Déterminer l'organisme le plus avantageux financièrement pour 24 élèves.

Coût avec l'organisme A : \begin{aligned}1\,500+24\times100 &= 1\,500+2\,400 \\ &= 3\,900\end{aligned} €.
Coût avec l'organisme B : \begin{aligned}2\,000+24\times85 &= 2\,000+2\,040 \\ &= 4\,040\end{aligned} €.
Comme 3\,900<4\,040, l'organisme A propose le devis le plus avantageux pour 24 élèves.

2.aDonner les expressions de f(x) et de g(x).

f(x)=1\,500+100x et {g(x)=2\,000+85x}.

2.bRésoudre l'équation f(x)=4\,300 et interpréter la solution.

f(x)=4\,300 équivaut à {1\,500+100x=4\,300}, soit 100x=2\,800, d'où x=28.
Pour 28 élèves inscrits, le voyage coûte exactement 4 300 € avec l'organisme A.

2.cDéterminer le nombre minimal d'élèves à partir duquel l'organisme B est plus avantageux.

On cherche les valeurs de x pour lesquelles g(x)<f(x), soit {2\,000+85x<1\,500+100x}.
2\,000-1\,500 < 100x-85x, soit {500<15x}, d'où x>\dfrac{500}{15}=\dfrac{100}{3}\approx33{,}33.
Comme x est un nombre entier, l'organisme B devient plus avantageux à partir de 34 élèves.

3.aDéterminer, sous forme de fraction irréductible, la proportion prise en charge par les familles.

La mairie finance \dfrac{2}{5} du coût total, il reste donc 1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5} à financer.
La coopérative prend en charge 50 % de ce reste, soit \dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{10} du coût total.
La part des familles est donc 1-\dfrac{2}{5}-\dfrac{3}{10} = \dfrac{10}{10}-\dfrac{4}{10}-\dfrac{3}{10} = \dfrac{3}{10} du coût total.

3.bCalculer le montant par élève financé par la coopérative (44 élèves, organisme B).

Coût total : \begin{aligned}g(44) &= 2\,000+44\times85 \\ &= 2\,000+3\,740 \\ &= 5\,740\end{aligned} €.
Part de la coopérative : {\dfrac{3}{10}\times5\,740 = 1\,722} €.
Par élève : \dfrac{1\,722}{44} \approx 39{,}14, soit environ 39 € (arrondi à l'euro).

1.Quelle est la probabilité d'obtenir une somme égale à 3 ?

Chaque jeton donne 0 ou 1 avec la même chance : il y a {2\times2\times2=8} issues équiprobables pour les trois jetons.
Seule l'issue où les trois jetons affichent 1 donne une somme de 3.
P(\text{somme}=3) = \dfrac{1}{8}.

2.Jeanne dit : « on est sûr que deux jetons au moins donneront le même résultat ». A-t-elle raison ?

Chaque jeton ne peut afficher que l'une de deux valeurs possibles (0 ou 1).
Avec trois jetons répartis entre seulement deux valeurs possibles, deux d'entre eux au moins tombent nécessairement sur la même valeur (sans quoi il faudrait au moins trois valeurs différentes disponibles).
Jeanne a raison : c'est vrai pour n'importe quel résultat des trois lancers, pas seulement en moyenne.

3.Olivier dit : « on a une chance sur deux d'obtenir trois faces identiques ». A-t-il raison ?

Sur les 8 issues équiprobables, seules deux donnent trois faces identiques : (0,0,0) et (1,1,1).
\begin{aligned}P(\text{3 faces identiques}) &= \dfrac{2}{8} \\ &= \dfrac{1}{4}\end{aligned} qui n'est pas égal à \dfrac{1}{2}.
Olivier n'a pas raison.

A.1Calculer le volume de la fosse creusée.

La fosse est un parallélépipède rectangle de dimensions 30 m \times15 m \times3 m : V = 30\times15\times3 = 1 350 m^{3}.

A.2Déterminer le volume de terre à évacuer après le foisonnement de 25 %.

Le volume augmente de 25 %, il est donc multiplié par 1{,}25 : 1\,350\times1{,}25 = 1 687,5 m^{3}.

A.3Calculer le nombre minimal de bennes nécessaires (30 m^{3} par benne).

\dfrac{1\,687{,}5}{30} = 56{,}25.
Comme 56 bennes ne suffisent pas à transporter les 0,25 benne restante, il faut 57 bennes.

B.1Déterminer le pourcentage d'augmentation du volume d'eau dû à la chaleur (arrondi au centième).

Taux d'augmentation = \dfrac{564\,000-562\,100}{562\,100} = \dfrac{1\,900}{562\,100} \approx 0{,}003381.
En pourcentage, cela représente environ 0,34 % (arrondi au centième).

B.2Déterminer la hauteur de l'eau dans la piscine chauffée à 25^{\circ}C (arrondie au cm).

Le volume d'eau est 564\,000 L = 564 m^{3} (car 1\,000 L =1 m^{3}).
La piscine a pour longueur 25 m et largeur 12,5 m, donc \begin{aligned}h &= \dfrac{V}{L\times l} \\ &= \dfrac{564}{25\times12{,}5} \\ &= \dfrac{564}{312{,}5} \\ &= 1{,}8048\end{aligned} m.
Arrondie au centimètre, la hauteur d'eau est d'environ 1,80 m.

C.1Déterminer la vitesse moyenne d'un élève effectuant 16 longueurs en dix minutes (en m/min puis en km/h).

Distance parcourue : 16\times25 = 400 m en 10 minutes.
Vitesse : v = \dfrac{400}{10} = 40 m/min.
En kilomètres par heure : 40 m/min {= 0{,}04} km/min = 0{,}04\times60 = 2,4 km/h.

C.2Déterminer le nombre de longueurs complètes effectuées par un élève nageant à 0,6 m/s pendant 10 minutes.

Vitesse : 0{,}6 m/s = 0{,}6\times60 = 36 m/min.
Distance parcourue en 10 minutes : \begin{aligned}d &= 36\times10 \\ &= 360\end{aligned} m.
Nombre de longueurs : \dfrac{360}{25} = 14{,}4, soit 14 longueurs complètes.

C.3.aIndiquer une formule à saisir en B3 puis à recopier vers la droite.

=B2*25 (le nombre de longueurs de chaque élève, ligne 2, multiplié par 25 m), formule à recopier vers la droite.

C.3.bCalculer, sous forme de fraction irréductible, la proportion d'élèves ayant parcouru 12 longueurs ou plus.

Les neuf résultats sont : 15, 14, 10, 11, 12, 14, 11, 13, 16 (élèves 1 à 9).
Ceux qui ont parcouru 12 longueurs ou plus sont les élèves 1, 2, 5, 6, 8 et 9, soit 6 élèves sur 9.
La proportion est \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}.

C.3.cDéterminer la médiane du nombre de longueurs et interpréter cette valeur.

Classons les neuf valeurs par ordre croissant : 10, 11, 11, 12, 13, 14, 14, 15, 16.
Il y a 9 valeurs (nombre impair) : la médiane est la 5^{\text{e}} valeur de la série ordonnée, soit 13 longueurs.
Au moins la moitié des élèves du groupe ont parcouru 13 longueurs ou moins, et au moins la moitié en ont parcouru 13 ou plus.

C.3.dDéterminer le nombre moyen de longueurs effectuées par élève (arrondi au dixième).

Somme des longueurs : 15+14+10+11+12+14+11+13+16 = 116.
Moyenne = \dfrac{116}{9} \approx 12{,}89, soit environ 12,9 longueurs (arrondi au dixième).

C.3.eCalculer le nombre de longueurs que l'élève absent aurait dû parcourir pour une moyenne de 13 sur 10 élèves.

Pour que la moyenne de 10 élèves soit 13, la somme totale des longueurs doit valoir 13\times10 = 130.
La somme des 9 élèves présents est 116, donc l'élève absent doit compléter avec 130-116 = 14 longueurs.

1.Donner une valeur de a pour laquelle \dfrac{a}{45} est un nombre entier naturel.

En choisissant a=45, on obtient \dfrac{45}{45}=1, qui est bien un entier naturel.

2.Déterminer toutes les valeurs de b pour lesquelles \dfrac{45}{b} est un nombre entier naturel.

\dfrac{45}{b} est un entier naturel si, et seulement si, b est un diviseur positif de 45.
La décomposition en produit de facteurs premiers de 45 est 3^{2}\times5, dont les diviseurs sont obtenus en combinant les exposants de 3 (0, 1 ou 2) et de 5 (0 ou 1).
Les valeurs possibles sont donc {b\in\{1\,;\,3\,;\,5\,;\,9\,;\,15\,;\,45\}}.

3.Donner une valeur de c pour laquelle \dfrac{c}{45} est un nombre décimal non entier naturel.

En choisissant c=9, on obtient \begin{aligned}\dfrac{9}{45} &= \dfrac{1}{5} \\ &= 0{,}2\end{aligned} qui est un nombre décimal mais pas un entier naturel.

4.Donner une valeur de d pour laquelle \dfrac{45}{d} est un nombre décimal non entier naturel.

En choisissant d=2 (qui n'est pas un diviseur de 45), on obtient \dfrac{45}{2}=22{,}5, qui est un nombre décimal mais pas un entier naturel.

5.Donner une valeur de e pour laquelle \dfrac{e}{45} est un nombre rationnel non décimal.

Un quotient d'entiers est décimal seulement si, une fois la fraction rendue irréductible, son dénominateur ne contient que des facteurs premiers 2 et 5.
Comme 45=3^{2}\times5, il suffit que le facteur 9 ne se simplifie pas entièrement avec e pour que le nombre 3 subsiste au dénominateur.
En choisissant e=5, on obtient {\dfrac{5}{45}=\dfrac{1}{9}}, un nombre rationnel dont l'écriture décimale ne se termine jamais (non décimal).

Remarque préalable sur l'aire et le périmètre de chaque pièce.

Chacune des onze pièces est obtenue à partir du même triangle équilatéral en remplaçant chacun de ses trois côtés soit par un arc bombé vers l'extérieur (qui ajoute une aire), soit par un arc creusé vers l'intérieur (qui retire la même aire), soit en le laissant rectiligne : tous les arcs ayant la même longueur et le même rayon.
L'aire d'une pièce dépend donc uniquement du nombre de côtés bombés moins le nombre de côtés creusés (à surface de segment circulaire égale pour chaque arc) : plus ce solde est élevé, plus l'aire est grande.
Le périmètre d'une pièce dépend uniquement du nombre total de côtés courbes (bombés ou creusés), puisque chaque côté courbe a la même longueur, différente de celle d'un côté rectiligne.

1.Indiquer la figure qui a la plus grande aire.

La figure C est celle dont les trois côtés sont bombés vers l'extérieur : c'est donc la figure qui a la plus grande aire.

2.Indiquer la figure qui a la plus petite aire.

La figure H est celle dont les trois côtés sont creusés vers l'intérieur : c'est donc la figure qui a la plus petite aire.

3.Indiquer quatre figures qui ont le même périmètre et des aires différentes.

Les figures C, H, I et J ont chacune leurs trois côtés courbes (aucun côté rectiligne) : elles ont donc toutes le même périmètre.
Leurs aires sont en revanche différentes, puisque leur solde de côtés bombés moins creusés diffère (3, -3, -1 et +1 respectivement pour C, H, I et J) : ce sont bien quatre figures de même périmètre et d'aires différentes.

4.Indiquer trois paires de figures qui ont la même aire mais des périmètres différents.

1.Montrer que le triangle ASC est rectangle isocèle en S.

D'une part, [AC] est une diagonale du carré ABCD de côté 4 cm ; dans le triangle ABC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore, \begin{aligned}AC^{2} &= AB^{2}+BC^{2} \\ &= 4^{2}+4^{2} \\ &= 32\end{aligned}
D'autre part, les quatre faces latérales de la pyramide sont des triangles équilatéraux isométriques, donc \begin{aligned}SA &= SC \\ &= 4\end{aligned} cm, d'où \begin{aligned}SA^{2}+SC^{2} &= 4^{2}+4^{2} \\ &= 32\end{aligned}
On a donc l'égalité AC^{2}=SA^{2}+SC^{2}.
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ASC est rectangle en S ; comme de plus SA=SC, il est isocèle en S.

2.Pour chacune des figures 1, 2 et 3, indiquer si elle représente un patron de la pyramide SABCD.

3.Déterminer les valeurs de M, N, P, R et T dans le script Scratch (échelle : 1 cm pour 20 pas).

Le bloc « carré » doit tracer un carré de côté 4 cm, soit 4\times20=80 pas par côté, en tournant de 90^{\circ} à chaque sommet : M = 80 et N = 90.
Un raisonnement par coordonnées (en suivant la position et le cap du lutin à chaque instruction) montre que le premier « avancer » du bloc « arêtes latérales » correspond à un côté du triangle équilatéral joignant un sommet du carré à l'apex du triangle attenant, donc de longueur 4\times20=80 pas : P = 80.
Ce même raisonnement montre que la première rotation du bloc « arêtes latérales » doit valoir R = 60, exactement l'angle interne d'un triangle équilatéral, pour orienter le lutin vers cet apex avant d'y avancer (ce qui se vérifie en suivant pas à pas les positions successives du lutin : le trajet retombe alors exactement sur le sommet suivant du carré).
Comme il y a quatre triangles équilatéraux à tracer (un par côté du carré) : T = 4.