CRPE : Groupement 3, session 2025

1.Affirmation 1 : la médiane de la série 4 – 16 – 8 – 15 – 10 – 17 – 10 – 6 – 12 – 9 – 14 est égale à 11.

En rangeant les onze valeurs de cette série par ordre croissant, on obtient : 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 10 ; 12 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17.
Comme il y a un nombre impair (onze) de valeurs, la médiane est la valeur centrale, c'est-à-dire la 6^{\text{e}} valeur de cette série ordonnée, qui vaut 10.
Faux, la médiane de cette série est égale à 10 (et non à 11).

2.Affirmation 2 : Noah Lyles, ayant réalisé un temps de 9,79 s sur le 100 m, a couru à une vitesse moyenne supérieure à 37 km/h.

La vitesse moyenne est v=\dfrac{100}{9{,}79} m/s.
En convertissant en km/h (on multiplie par 3,6) : \begin{aligned}v &= \dfrac{100\times3{,}6}{9{,}79} \\ &= \dfrac{360}{9{,}79} \\ &\approx 36{,}77\end{aligned} km/h.
Comme 36{,}77 < 37, Faux : Noah Lyles a couru à une vitesse moyenne inférieure à 37 km/h (environ 36,8 km/h).

3.Affirmation 3 : l'aire d'un carré est proportionnelle à la longueur de son côté.

L'aire d'un carré de côté c vaut c^{2}, qui n'est pas une fonction linéaire de c.
Par exemple, pour c=1, l'aire vaut 1 (rapport aire sur côté =1) ; pour c=2, l'aire vaut 4 (rapport aire sur côté =2) : ce rapport n'est pas constant.
Faux, l'aire d'un carré n'est pas proportionnelle à la longueur de son côté (c'est une fonction quadratique du côté, pas une fonction linéaire).

4.Affirmation 4 : avec les droites (BC) et (DE) sécantes en A, les droites (BD) et (CE) parallèles, AB = 3 cm, BC = 5 cm et CE = 12 cm, on a BD = 4,4 cm.

Les points A, B, C sont alignés (sur la droite (BC)) et les points A, D, E sont alignés (sur la droite (DE)), avec \begin{aligned}AC &= AB+BC \\ &= 3+5 \\ &= 8\end{aligned} cm.
Or, d'après le théorème de Thalès (les droites (BD) et (CE) étant parallèles) : \begin{aligned}\dfrac{AB}{AC} &= \dfrac{AD}{AE} \\ &= \dfrac{BD}{CE}\end{aligned}
BD = CE\times\dfrac{AB}{AC} = 12\times\dfrac{3}{8} = 4,5 cm.
Faux, on trouve BD = 4,5 cm (et non 4,4 cm).

Écrireune résolution de l'énigme en détaillant chaque étape : trouver l'entier N tel que 1\,000<N<4\,000, multiple de 3, dont le chiffre des centaines est le double de celui des unités, dont le nombre de centaines est un multiple de 9, qui n'est pas divisible par 4, et dont le chiffre des unités est 4.

1.À l'aide des données du graphique, calculer la masse moyenne de déchets ménagers collectés par habitant entre 2004 et 2020, arrondie au kilogramme.

Les neuf valeurs relevées sur le graphique (en kg par habitant, tous les deux ans de 2004 à 2020) sont : 411, 423, 457, 452, 458, 428, 438, 444 et 496.
Moyenne = \dfrac{411+423+457+452+458+428+438+444+496}{9} = \dfrac{4\,007}{9} \approx 445{,}2.
La masse moyenne de déchets ménagers collectés par habitant est d'environ 445 kg.

2.En s'appuyant sur l'infographie, calculer la part de l'ensemble des déchets produits par les ménages dans la production totale de déchets, en pourcentage arrondi à l'unité.

D'après l'infographie, les déchets des ménages (ordures ménagères et déchèteries/encombrants) représentent 20{,}1+13{,}4=33{,}5 Mt, sur un total de 310{,}5 Mt.
Part = \dfrac{33{,}5}{310{,}5} \approx 0{,}1079, soit environ 11 %.

3.aCalculer, en mètre cube, le volume de déchets verts produits par un lotissement de soixante personnes en 2023.

Masse de déchets verts produite par ce lotissement : 60\times88 = 5\,280 kg = 5{,}28 t.
Comme 1 m^{3} de déchets verts pèse 0{,}2 t, le volume correspondant est V = \dfrac{5{,}28}{0{,}2} = 26,4 m^{3}.

3.bCalculer la masse de compost obtenu par ce lotissement pour l'année 2023, en kg.

Masse de compost = 5\,280\times\dfrac{55}{100} = 2 904 kg.

A.1Montrer que la probabilité que le produit obtenu soit égal à 35 est \dfrac{1}{60}.

Le nombre 35 ne se décompose en produit d'un facteur du dé à 6 faces (de 1 à 6) et d'un facteur du dé à 10 faces (de 1 à 10) que sous la forme 5\times7 (les autres décompositions de 35, comme 1\times35 ou 7\times5, font intervenir un facteur strictement supérieur à 6 pour le dé à 6 faces).
Il y a donc une seule issue favorable (5 sur le dé à 6 faces et 7 sur le dé à 10 faces), sur un total de 6\times10=60 issues équiprobables.
P(\text{produit}=35) = \dfrac{1}{60}.

A.2Donner la probabilité que le produit obtenu soit égal à 16.

Les décompositions de 16 en produit d'un facteur de 1 à 6 par un facteur de 1 à 10 sont : 2\times8 et 4\times4, soit 2 issues favorables.
P(\text{produit}=16) = \dfrac{2}{60} = \dfrac{1}{30}.

A.3Donner la probabilité que le produit obtenu soit un multiple de 3.

Le produit n'est pas un multiple de 3 lorsque ni l'un ni l'autre facteur n'est un multiple de 3 : sur le dé à 6 faces, 4 valeurs sur 6 ne sont pas des multiples de 3 (1, 2, 4, 5) ; sur le dé à 10 faces, 7 valeurs sur 10 ne le sont pas (1, 2, 4, 5, 7, 8, 10).
\begin{aligned}P(\text{ni l'un ni l'autre multiple de 3}) &= \dfrac{4}{6}\times\dfrac{7}{10} \\ &= \dfrac{28}{60}\end{aligned}
P(\text{produit multiple de 3}) = 1-\dfrac{28}{60} = \dfrac{32}{60} = \dfrac{8}{15}.

B.1L'élève obtient le nombre 10 avec le premier dé et 3 avec le second dé. Quelle est la décomposition attendue ?

\dfrac{10}{3} = \dfrac{9}{3}+\dfrac{1}{3} = 3+\dfrac{1}{3}.

B.2Déterminer la probabilité que l'entier obtenu dans la décomposition soit égal à 0.

L'entier de la décomposition est nul lorsque le numérateur (résultat du dé à 10 faces) est strictement inférieur au dénominateur (résultat du dé à 6 faces).
En dénombrant tous les couples (numérateur, dénominateur) qui conviennent, on en trouve 15 sur les 60 couples possibles.
P = \dfrac{15}{60} = \dfrac{1}{4}.

B.3Déterminer la probabilité que la fraction obtenue soit égale à un nombre entier.

La fraction obtenue est un nombre entier lorsque le dénominateur (dé à 6 faces) divise le numérateur (dé à 10 faces). En dénombrant tous les couples qui conviennent, on en trouve 23 sur les 60 couples possibles.
P = \dfrac{23}{60}.

1.aMontrer que le volume du cuilleron de la louche utilisée, arrondi au dixième de cm^{3}, est 32,7 cm^{3}.

Le cuilleron est une demi-sphère de diamètre 5 cm, donc de rayon {r=2{,}5} cm.
\begin{aligned}V &= \dfrac{1}{2}\times\dfrac{4}{3}\pi r^{3} \\ &= \dfrac{2}{3}\pi\times2{,}5^{3} \\ &= \dfrac{2}{3}\pi\times15{,}625 \\ &\approx 32{,}72\end{aligned} cm^{3}.
Arrondi au dixième, V\approx 32,7 cm^{3}, conforme à l'énoncé.

1.bDéterminer la hauteur minimale h du moule de type A, arrondie au millimètre, permettant d'y verser une louche pleine de cire.

Le moule de type A est un cylindre de rayon R=2{,}5 cm (même rayon que la demi-sphère), donc de volume \begin{aligned}V_{\text{cyl}} &= \pi R^{2}h \\ &= \pi\times2{,}5^{2}\times h \\ &= 6{,}25\pi h\end{aligned}
On veut V_{\text{cyl}}\geq V_{\text{cuilleron}}, soit {6{,}25\pi h \geq \dfrac{2}{3}\pi\times2{,}5^{3}}.
En simplifiant par \pi\times2{,}5^{2} : \begin{aligned}h &\geq \dfrac{2}{3}\times2{,}5 \\ &= \dfrac{5}{3} \\ &\approx 1{,}667\end{aligned} cm.
La hauteur minimale, arrondie au millimètre, est donc h \approx 1,7 cm (17 mm).

1.cTracer à main levée un patron du moule de type A de hauteur h, avec les dimensions arrondies au millimètre.

2.aDéterminer la masse de cire à faire fondre pour remplir le cuilleron de la louche, arrondie au gramme.

Comme 1 cm^{3} =1 mL, le cuilleron a un volume non arrondi de 32{,}72 mL (valeur précise obtenue à la question 1.a).
Par proportionnalité (90 g de cire fondue pour 100 mL) : masse {= 32{,}72\times\dfrac{90}{100} \approx 29{,}45} g.
Il faut faire fondre environ 29 g de cire (arrondi au gramme).

2.bAvec 1 kg de cire, combien de bougies cylindriques (moule de type A) peut-on fabriquer ?

Chaque bougie nécessite une louche pleine de cire, soit environ 29{,}45 g (valeur non arrondie de la question 2.a).
\dfrac{1\,000}{29{,}45} \approx 33{,}95 : avec 1\,000 g de cire, on peut donc fabriquer 33 bougies (33 louches pleines représentent environ 33\times29{,}45\approx972 g, alors qu'une 34^{\text{e}} louche pleine ferait dépasser les 1\,000 g disponibles).
(En réutilisant la valeur arrondie au gramme de la question 2.a, soit 29 g, le calcul \dfrac{1\,000}{29}\approx34{,}48 donnerait 34 bougies : cet écart illustre l'effet d'un arrondi intermédiaire propagé dans un calcul, d'où l'intérêt de conserver la valeur non arrondie pour ce type de calcul.)

3.aCalculer la longueur de la diagonale de la face carrée du moule de type B, arrondie au millimètre.

La face carrée a pour côté {c=4} cm (arête du moule), donc sa diagonale mesure \begin{aligned}c\sqrt{2} &= 4\sqrt{2} \\ &\approx 5{,}657\end{aligned} cm.
Arrondie au millimètre, la diagonale mesure environ 5,7 cm.

3.bDéterminer la valeur arrondie au millimètre de la hauteur du moule de type B.

Notons S le sommet de la pyramide et H le pied de la hauteur issue de S : H est alors le centre de la base carrée, c'est-à-dire le milieu des diagonales.
Dans le triangle AHS, rectangle en H, d'après le théorème de Pythagore :
SA^{2} = AH^{2}+HS^{2}
\begin{aligned}HS^{2} &= SA^{2}-AH^{2} \\ &= 4^{2}-\left(\dfrac{1}{2}\times4\sqrt{2}\right)^{2} \\ &= 16-\left(2\sqrt{2}\right)^{2} \\ &= 16-8 \\ &= 8\end{aligned}
\begin{aligned}HS &= \sqrt{8} \\ &= 2\sqrt{2} \\ &\approx 2{,}828\end{aligned} cm.
La hauteur du moule de type B est donc d'environ 2,8 cm (arrondie au millimètre).

3.cUn moule de type B peut-il recevoir une louche pleine de cire ? Justifier la réponse.

Volume du moule B (pyramide) : V_{B} = \dfrac{1}{3}\times\text{aire de la base}\times HS = \dfrac{1}{3}\times4^{2}\times2\sqrt{2} = \dfrac{32\sqrt{2}}{3} \approx 15{,}1 cm^{3}.
Comme 15{,}1 < 32{,}7 (volume du cuilleron de la louche, question 1.a), le moule de type B ne peut pas recevoir une louche pleine de cire : son volume est trop petit, la cire déborderait.

4.aCompléter les lignes L1 et L2 du bloc « triangle » pour qu'il permette de tracer un triangle équilatéral de côté 40 pas.

Un triangle équilatéral a 3 côtés : L1 : répéter 3 fois.
À chaque sommet, le stylo tourne de l'angle extérieur, soit 360\div3=120^{\circ} : L2 : tourner de 120 degrés.

4.bCompléter les lignes L3, L4 et L5 du script pour qu'il trace le patron du moule de type B (10 pas représentent 1 cm).

Le patron de la pyramide B est un carré central (côté 4 cm) portant un triangle équilatéral sur chacun de ses 4 côtés.
Un carré a 4 côtés : L3 : répéter 4 fois.
Le côté du carré mesure 4 cm, soit {4\times10=40} pas (10 pas représentant 1 cm) : L4 : avancer de 40 pas.
Un carré possède 4 angles droits : L5 : tourner de 90 degrés.
À chaque répétition, le bloc « triangle » (déjà défini avec un côté de 40 pas) trace le triangle attaché au côté courant, avant que le script n'avance de ce même côté puis ne tourne vers le côté suivant du carré.

5.aDonner une formule qui peut être saisie en B5 puis recopiée vers la droite en C5, pour calculer le nombre total de bougies de chaque type.

=SOMME(B2:B4), formule à recopier vers la droite en C5.

5.bDonner une formule qui peut être saisie dans la cellule D2 puis recopiée vers le bas, pour déterminer la longueur de mèche commandée pour chaque classe.

=(B2*3+C2*4)*1,05 (nombre de bougies de type A multiplié par 3 cm, plus nombre de bougies de type B multiplié par 4 cm, le tout majoré de 5 %), formule à recopier vers le bas.

5.cQuelle longueur de mèche totale la directrice doit-elle commander pour l'école ?

Nombre total de bougies de type A : 12+10+7=29, nécessitant 29\times3=87 cm de mèche.
Nombre total de bougies de type B : 13+15+17=45, nécessitant {45\times4=180} cm de mèche.
Longueur nécessaire pour l'école : {87+180=267} cm.
En ajoutant la majoration de 5 % : 267\times1{,}05 = 280,35 cm de mèche à commander.