CRPE : Externe supplémentaire, session 2026

1.La sortie prévue nécessite un déplacement de 150 km aller-retour. Quelle compagnie de transport propose le tarif le plus avantageux ?

Le trajet aller-retour représente {2\times150 = 300} km.
Compagnie A (TTC) : 350 + 1{,}80\times300 = 350+540 = 890 €.
Compagnie B (TTC) : 290 + 2{,}45\times300 = 290+735 = 1\,025 €.
Compagnie C : le tarif fixe est de 585 € HT, avec une TVA de 10\,\%, soit 585\times1{,}10 = 643{,}50 € TTC.
Comme 643{,}50 < 890 < 1\,025, c'est la compagnie C qui propose le tarif le plus avantageux.

2.Quatre accompagnateurs dont la directrice encadrent la sortie, avec la compagnie de transport la plus avantageuse retenue. À combien s'élèvera le budget global TTC pour les 40 élèves et les adultes ?

Transport (compagnie C) : 643{,}50 € TTC.
Musée : 4\times35 + 40\times23 = 140+920 = 1\,060 € TTC.
Repas : 4\times7{,}95 + 40\times4{,}55 = 31{,}80+182 = 213{,}80 € TTC.
Budget global : 643{,}50+1\,060+213{,}80 = 1\,917{,}30 € TTC.

3.La mairie subventionne la sortie à hauteur de 8 € par élève participant. À combien s'élève la participation de la coopérative, sachant qu'elle prend en charge 20 % du montant restant ?

Subvention de la mairie : 8\times40 = 320 €.
Montant restant après subvention : 1\,917{,}30-320 = 1\,597{,}30 €.
Participation de la coopérative : 0{,}20\times1\,597{,}30 = 319{,}46 €.

Affirmation 1 : la somme de deux nombres rationnels non entiers est un nombre rationnel non entier.

Contre-exemple : \dfrac{1}{4} et \dfrac{3}{4} sont deux nombres rationnels non entiers.
Or \begin{aligned}\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4} &= \dfrac{4}{4} \\ &= 1\end{aligned} qui est un nombre entier.
Faux.

Affirmation 2 : les points A, B, D sont alignés et les points A, C, E sont alignés, avec AB=5 cm, BD=15 cm, AC=7 cm, AE=21 cm. Affirmation : les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

Les points A, B, D sont alignés, avec B entre A et D ; les points A, C, E sont alignés, avec C entre A et E.
\begin{aligned}\dfrac{AB}{AD} &= \dfrac{AB}{AB+BD} \\ &= \dfrac{5}{5+15} \\ &= \dfrac{5}{20} \\ &= \dfrac{1}{4}\end{aligned}
\begin{aligned}\dfrac{AC}{AE} &= \dfrac{7}{21} \\ &= \dfrac{1}{3}\end{aligned}
Comme \dfrac{AB}{AD} \neq \dfrac{AC}{AE}, d'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (BC) et (DE) ne sont pas parallèles.
Faux.

Affirmation 3 : quel que soit le nombre entier choisi par l'utilisateur, l'exécution du script Scratch affiche toujours pendant deux secondes un multiple de 8.

Notons x le nombre entier contenu dans la variable réponse. Le script calcule successivement :
Étape1 = (x+2)\times(x+2) = (x+2)^{2}
Étape2 = (x-2)\times(x-2) = (x-2)^{2}
Résultat = Étape1 - Étape2 {= (x+2)^{2}-(x-2)^{2}}
En utilisant l'identité {a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)} avec a=x+2 et b=x-2 :
Résultat = \big[(x+2)-(x-2)\big]\times\big[(x+2)+(x-2)\big] = 4\times2x = 8x.
Comme x est un nombre entier, 8x est bien toujours un multiple de 8.
Vrai.

A.1Montrer que la longueur de la palissade C_1 est environ égale à 15,7 km.

La palissade C_1 est un cercle de rayon R_1 = 2{,}5 km.
Son périmètre est 2\times\pi\times R_1 = 2\times\pi\times2{,}5 = 5\pi \approx 15{,}7 km.

A.2En une journée, les Romains construisaient 650 m de palissade. Combien de jours ont été nécessaires pour achever la construction de la palissade C_1 ?

650 m = 0{,}65 km.
Nombre de jours nécessaires : {\dfrac{5\pi}{0{,}65} \approx 24{,}2}.
Comme 24 jours pleins ne suffisent pas à achever la palissade, il faut arrondir à l'entier supérieur : il aura fallu 25 jours.

A.3Calculer l'aire de la surface qu'occupaient les Romains entre les palissades C_1 et C_2, arrondie au km^{2}.

Aire du disque délimité par C_2 (rayon R_2=3{,}4 km) : \begin{aligned}\pi\times R_2^{2} &= \pi\times3{,}4^{2} \\ &= 11{,}56\pi\end{aligned} km^{2}.
Aire du disque délimité par C_1 : \begin{aligned}\pi\times R_1^{2} &= \pi\times2{,}5^{2} \\ &= 6{,}25\pi\end{aligned} km^{2}.
Aire occupée par les Romains : \begin{aligned}11{,}56\pi - 6{,}25\pi &= 5{,}31\pi \\ &\approx 16{,}68\end{aligned} soit environ 17 km^{2}.

B.1Décomposer 62 426 en produit de facteurs premiers.

62\,426 = 2\times31\,213 = 2\times7\times4\,459 = 2\times7^{2}\times637 = 2\times7^{3}\times91 = 2\times7^{4}\times13.

B.2Une décomposition en produit de facteurs premiers de 8 086 est 2\times13\times311. En déduire la liste des diviseurs communs à 62 426 et 8 086.

Les seuls facteurs premiers communs à 62\,426=2\times7^{4}\times13 et {8\,086=2\times13\times311} sont 2 et 13.
Les diviseurs communs à 62\,426 et 8\,086 sont donc exactement les diviseurs de 2\times13=26, à savoir 1, 2, 13 et 26.

B.3Déterminer le nombre maximal de troupes qui auraient pu être composées. Combien y aurait-il eu de fantassins et de cavaliers dans chaque troupe ?

Le nombre maximal de troupes est le plus grand diviseur commun à 62\,426 et 8\,086, soit 26 troupes.
Fantassins par troupe : \dfrac{62\,426}{26} = 2\,401.
Cavaliers par troupe : \dfrac{8\,086}{26} = 311.

1.Quelles sont les sommes possibles pour Soan suite aux lancers des deux dés à six faces ?

Soan peut obtenir tous les nombres entiers de 2 à 12.

2.Quelle est la probabilité que Soan obtienne une somme strictement supérieure à 10 ?

Sur les 6\times6=36 tirages équiprobables, les sommes strictement supérieures à 10 sont 11 et 12, obtenues par les couples (5;6), (6;5) et (6;6), soit 3 tirages favorables.
P = \dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}.

3.Quelle est la probabilité que Thaïs obtienne une somme qui soit un multiple de 3 ?

Thaïs lance le dé à quatre faces (numéroté de 1 à 4) et le dé à huit faces (numéroté de 1 à 8), soit 4\times8=32 tirages équiprobables.
Les sommes multiples de 3 possibles sont 3, 6, 9 et 12. En dénombrant les couples correspondants dans le tableau à double entrée, on trouve 11 tirages favorables.
P = \dfrac{11}{32}.

4.Soan dit « J'ai plus de chance d'obtenir une somme égale à 8 que Thaïs ». A-t-il raison ?

Pour Soan : les couples donnant 8 sont (2;6), (3;5), (4;4), (5;3) et (6;2), soit 5 tirages sur 36, donc P_{\text{Soan}} = \dfrac{5}{36}.
Pour Thaïs : les couples donnant 8 sont (1;7), (2;6), (3;5) et (4;4), soit 4 tirages sur 32, donc \begin{aligned}P_{\text{Thaïs}} &= \dfrac{4}{32} \\ &= \dfrac{1}{8}\end{aligned}
Or \dfrac{5}{36}\approx0{,}139 et \dfrac{1}{8} = 0{,}125, donc P_{\text{Soan}} > P_{\text{Thaïs}}.
Soan a raison : il a effectivement un peu plus de chance qu'elle d'obtenir une somme égale à 8.

A.1Déterminer le volume du solide A en cm^{3}.

Chaque cube unité a pour volume {1^{3} = 1} cm^{3}.
En dénombrant directement les cubes empilés sur le schéma, le solide A en compte 27.
Volume du solide A : 27\times1 = 27 cm^{3}.

A.2Comparer les volumes des solides A, B et C.

En dénombrant de même les cubes des solides B et C sur les schémas : le solide B en compte 26, et le solide C en compte 45.
On a donc V_B = 26 cm^{3}, V_A = 27 cm^{3} et V_C = 45 cm^{3}, soit {V_B < V_A < V_C}.

A.3On considère que la structure du solide C n'est pas modifiable. Quel nombre minimal de cubes unités faut-il ajouter au solide C pour le compléter et former un cube, que l'on appelle solide D ?

A.4Combien faut-il de solides D pour former un cube dont le volume est un litre ?

Le solide D est un cube d'arête 5 cm, de volume 5^{3} = 125 cm^{3}.
Or 1 litre = 1 dm^{3} = 1\,000 cm^{3}.
Nombre de solides D nécessaires : \dfrac{1\,000}{125} = 8 solides D.

B.1De combien de cubes aura-t-on besoin pour former le motif à l'étape n^{\circ}4 ?

Le nombre de cubes suit le schéma : étape 1 \rightarrow 2 = 1^{2}+1, étape 2 \rightarrow {5 = 2^{2}+1}, étape 3 \rightarrow 10 = 3^{2}+1.
Le nombre de cubes à l'étape n est donc n^{2}+1.
À l'étape 4 : 4^{2}+1 = 17 cubes.

B.2De combien de cubes aura-t-on besoin pour former le motif à l'étape n^{\circ}50 ?

À l'étape 50 : 50^{2}+1 = 2\,501 cubes.

B.3Quel est le numéro de l'étape pour laquelle il y a 626 cubes ? Justifier.

On cherche n tel que n^{2}+1 = 626, soit n^{2} = 625.
Comme 25^{2} = 625, on a n = 25.
Il y a 626 cubes à l'étape n^{\circ}25.

B.4Peut-on avoir 172 cubes dans un motif ? Justifier.

On cherche n tel que n^{2}+1 = 172, soit n^{2} = 171.
Or 13^{2} = 169 et 14^{2} = 196 : aucun entier au carré ne donne 171, donc 171 n'est pas un carré parfait.
Non, il n'est pas possible d'avoir un motif de 172 cubes.