CRPE : Groupement 2, session 2026

A.1Vérifier que l'expression développée et réduite de l'aire de l'espace de jeux en fonction du nombre x est : 24x+40.

Notons x=EI (en mètres). Le potager IHGD est composé de deux carrés identiques de côté x, donc ID=2x et DG=x.
La hauteur du rectangle ABCD est donc \begin{aligned}AD &= AI+ID \\ &= 4+2x\end{aligned} et sa longueur est \begin{aligned}DC &= DG+GC \\ &= x+10\end{aligned}
L'aire du rectangle ABCD est (4+2x)(x+10), et l'aire du potager (deux carrés de côté x) est 2x^{2}.
\begin{aligned}(4+2x)(x+10) &= 4x+40+2x^{2}+20x \\ &= 2x^{2}+24x+40\end{aligned}
L'aire de l'espace de jeux est donc 2x^{2}+24x+40-2x^{2} = 24x+40, ce qui vérifie bien la formule annoncée.

A.2.aOn suppose que l'aire de l'espace de jeux est égale à 94 m^{2}. Calculer la valeur de x exprimée en mètre.

24x+40=94
24x=54
x=\dfrac{54}{24}= 2,25 m.

A.2.bEn déduire l'aire totale du rectangle ABCD en m^{2}.

\begin{aligned}AD &= 4+2x \\ &= 4+4{,}5 \\ &= 8{,}5\end{aligned} m et \begin{aligned}DC &= x+10 \\ &= 12{,}25\end{aligned} m.
Aire =8{,}5\times12{,}25= 104,125 m^{2}.

A.3.aMontrer que la longueur de cette règle doit être de 37 cm afin de respecter une distance égale entre chaque fraisier.

On cherche un diviseur commun à 185 et 444 (en centimètres), strictement supérieur à 10.
185=5\times37 et \begin{aligned}444 &= 4\times111 \\ &= 2^{2}\times3\times37\end{aligned}
Le seul facteur premier commun aux deux décompositions est 37 ; comme 37 est premier, le seul diviseur commun aux deux nombres qui soit supérieur à 10 est 37.
La règle doit donc mesurer 37 cm.

A.3.bEn déduire le nombre de fraisiers que les élèves pourront planter.

Le long du côté LM (185 cm), le maillage de 37 cm en 37 cm place \begin{aligned}\dfrac{185}{37}+1 &= 5+1 \\ &= 6\end{aligned} fraisiers.
Le long du côté LP (444 cm), il en place \begin{aligned}\dfrac{444}{37}+1 &= 12+1 \\ &= 13\end{aligned}
Au total : 6\times13= 78 fraisiers.

B.1.aLe prix d'achat du plant de fraisier a subi une première augmentation de 2 % puis une seconde augmentation de 3 %. Calculer le pourcentage d'augmentation globale, sous la forme p\,\%.

Une augmentation de 2 % correspond à une multiplication par 1,02, et une augmentation de 3 % correspond à une multiplication par 1,03.
Le coefficient multiplicateur global est 1{,}02\times1{,}03=1{,}0506.
L'augmentation globale est donc de 5,06 % (valeur exacte).

B.1.bSachant que le prix initial du plant de fraisier était de 1,20 €, calculer le prix après ces deux augmentations. Arrondir le résultat au centime d'euro.

Prix final =1{,}20\times1{,}0506=1{,}26072.
Arrondi au centime, le prix final est de 1,26 €.

B.2.aCalculer la proportion de fraises consacrée à la confection de confiture. Donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

Un neuvième de la masse n'est pas consommable, il reste donc 1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9} de la masse.
Parmi ces fraises restantes, un quart sert à la confiture, soit une proportion globale de \dfrac{1}{4}\times\dfrac{8}{9}=\dfrac{8}{36}= \dfrac{2}{9} (fraction irréductible) de la récolte initiale.

B.2.bOn suppose que 3 kilogrammes de fraises sont consacrés à la confection de confiture. Calculer la masse de la récolte initiale de fraises en kilogramme.

Si M désigne la masse de la récolte initiale (en kg), on a \dfrac{2}{9}M=3.
M=3\times\dfrac{9}{2}=\dfrac{27}{2}= 13,5 kg.

C.1Montrer que la longueur OS est égale à 40 cm.

Le rayon du grand cône est \begin{aligned}OB &= \dfrac{84}{2} \\ &= 42\end{aligned} cm.
Les points S, C, O sont alignés (sur l'axe des cônes) et les points S, A, B sont alignés ; de plus, les droites (AC) et (OB) sont parallèles : les triangles SCA et SOB sont donc en configuration de Thalès.
Or, d'après le théorème de Thalès, \dfrac{SC}{SO} = \dfrac{CA}{OB}
Or OC=22 cm correspond à la distance entre les deux bases sur l'axe, donc SC=SO-22.
\begin{aligned}\dfrac{SO-22}{SO} &= \dfrac{18{,}9}{42} \\ &= 0{,}45\end{aligned}
SO-22 = 0{,}45\times SO
0{,}55\times SO = 22
SO = \dfrac{22}{0{,}55} = 40 cm.

C.2Calculer la valeur exacte du volume du grand cône en cm^{3}.

\begin{aligned}V_{\text{grand}} &= \dfrac{1}{3}\times\pi\times OB^{2}\times OS \\ &= \dfrac{1}{3}\times\pi\times42^{2}\times40\end{aligned}
= \dfrac{1}{3}\times\pi\times1\,764\times40 = 23\,520\pi cm^{3} (valeur exacte).

C.3Calculer la valeur du volume de la bassine de confiture arrondie au cm^{3}. On donnera la valeur approchée en litre, arrondie au centilitre.

Le petit cône a pour hauteur \begin{aligned}SC &= SO-OC \\ &= 40-22 \\ &= 18\end{aligned} cm et pour rayon CA=18{,}9 cm.
\begin{aligned}V_{\text{petit}} &= \dfrac{1}{3}\times\pi\times18{,}9^{2}\times18 \\ &= \dfrac{1}{3}\times\pi\times357{,}21\times18 \\ &= 2\,143{,}26\pi\end{aligned} cm^{3}.
Le volume de la bassine est \begin{aligned}V &= V_{\text{grand}}-V_{\text{petit}} \\ &= 23\,520\pi-2\,143{,}26\pi \\ &= 21\,376{,}74\pi\end{aligned} cm^{3}.
V\approx 67 157 cm^{3} (arrondi au cm^{3}).
Comme 1 L =1\,000 cm^{3}, {V\approx67{,}157} L, soit environ 67,16 L (arrondi au centilitre).

1.Donner une formule qui peut être saisie dans la cellule D3 puis étirée vers le bas pour effectuer automatiquement le calcul de la durée de course en secondes.

=B3*60+C3 (nombre de minutes multiplié par 60, plus le nombre de secondes), formule à étirer vers le bas.

2.aCalculer la valeur de la cellule G3 arrondie au centième.

La vitesse moyenne (en m/s) est le quotient de la distance par la durée : v=\dfrac{600}{270}\approx 2,22 m/s.

2.bCalculer la valeur exacte de la cellule H3.

Pour convertir une vitesse de m/s en km/h, on multiplie par 3,6 : \dfrac{600}{270}\times3{,}6 = \dfrac{20}{9}\times3{,}6 = \dfrac{72}{9} = 8 km/h (valeur exacte).

3.Un autre élève a effectué 8 tours à une vitesse moyenne de 9,8 km/h. Calculer la durée de la course réalisée par l'élève en l'exprimant en minute seconde arrondie à la seconde.

D'après le tableau, un tour de stade mesure 200 m (600 m pour 3 tours, 800 m pour 4 tours, etc.).
La distance parcourue est donc {8\times200=1\,600} m, soit 1,6 km.
La durée en heures est \begin{aligned}t &= \dfrac{1{,}6}{9{,}8} \\ &= \dfrac{8}{49}\end{aligned} h, soit en secondes \begin{aligned}t &= \dfrac{8}{49}\times3\,600 \\ &= \dfrac{28\,800}{49} \\ &\approx 587{,}76\end{aligned} s.
Comme 587{,}76 = 9\times60+47{,}76, la course a duré environ 9 min 48 s (arrondie à la seconde).

4.aCalculer la vitesse moyenne en m/s réalisée par un élève de cycle 3 en précisant le calcul effectué.

Effectif total : {2+5+8+12+13+10+7+3=60} élèves.
Somme des vitesses pondérées par les effectifs : 2{,}35\times2+2{,}4\times5+2{,}43\times8+2{,}5\times12+2{,}54\times13+2{,}67\times10+2{,}78\times7+2{,}9\times3=154{,}02.
Vitesse moyenne =\dfrac{154{,}02}{60}= 2,567 m/s environ (soit 2,57 m/s arrondie au centième).

4.bDéterminer la médiane et en donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.

Il y a n=60 valeurs (nombre pair) : la médiane est la moyenne des 30^{\text{e}} et 31^{\text{e}} valeurs de la série ordonnée.
Effectifs cumulés croissants : 2, 7, 15, 27, 40, 50, 57, 60 (pour les vitesses de 2,35 à 2,9 m/s).
Les 30^{\text{e}} et 31^{\text{e}} valeurs appartiennent toutes deux au groupe « 2,54 m/s » (rangs 28 à 40) : la médiane est 2,54 m/s.
Au moins la moitié des élèves de cycle 3 ont couru à une vitesse moyenne inférieure ou égale à 2,54 m/s, et au moins la moitié à une vitesse supérieure ou égale à 2,54 m/s.

A.1Donner le nombre d'issues de cette expérience aléatoire.

Le dé cubique a 6 issues possibles et le dé tétraédrique en a 4 : il y a donc {6\times4=} 24 issues possibles (équiprobables, les deux dés étant équilibrés).

A.2.aCalculer la probabilité de l'évènement A : « Obtenir un nombre supérieur ou égal à 30 ». Donner la réponse sous la forme d'une fraction irréductible.

Le nombre est supérieur ou égal à 30 dès que le chiffre des dizaines (indiqué par le dé cubique) vaut 3, 4, 5 ou 6, quel que soit le chiffre des unités : 4\times4=16 issues favorables.
P(A)=\dfrac{16}{24}= \dfrac{2}{3}.

A.2.bCalculer la probabilité de l'évènement B : « Obtenir un multiple de 3 ». Donner la réponse sous la forme d'une fraction irréductible.

Les nombres à deux chiffres obtenus (de 11 à 64) qui sont multiples de 3 sont : 12, 21, 24, 33, 42, 51, 54 et 63, soit 8 issues favorables.
P(B)=\dfrac{8}{24}= \dfrac{1}{3}.

B.1Citer un évènement impossible lié à cette expérience aléatoire.

Le produit des deux nombres obtenus vaut au maximum 6\times4=24 : l'évènement « obtenir un produit supérieur ou égal à 25 » (par exemple, obtenir 25) est donc impossible.

B.2On considère l'évènement C : « Obtenir un nombre pair multiple de 3 ». Calculer la probabilité de l'évènement C. Donner la réponse sous la forme d'une fraction irréductible.

Un nombre à la fois pair et multiple de 3 est un multiple de 6.
En dressant le tableau des 24 produits possibles, les produits multiples de 6 sont : 6 (obtenu par 2\times3, 3\times2 et 6\times1), 12 (obtenu par 3\times4, 4\times3 et 6\times2), 18 (obtenu par 6\times3) et 24 (obtenu par 6\times4), soit 8 issues favorables au total.
P(C)=\dfrac{8}{24}= \dfrac{1}{3}.

1.Parmi les trois figures ci-dessous, quelle est celle qui est construite par le programme ci-dessus ?

Le sous-programme Motif (répéter 3 fois : avancer de 30 pas, tourner de 120^{\circ}) referme un triangle équilatéral de côté 30 : après ces trois répétitions, le stylo revient exactement à son point de départ, avec la même orientation qu'au début du triangle.
Dans la boucle principale (répéter 6 fois), chaque triangle est donc tracé à partir du point où s'est arrêté le précédent ; puis le stylo avance de 30 pas supplémentaires (ligne 8), soit une distance égale au côté du triangle, dans la même direction : ce déplacement retrace exactement le premier côté du triangle qui vient d'être dessiné, et amène le stylo directement au point de départ du triangle suivant.
Les six triangles sont donc accolés bord à bord, sans espace ni chevauchement, formant une frise continue de triangles : c'est la figure 2.

2.Quelle modification doit-on apporter à la ligne 8 du script pour obtenir la figure ci-dessous ?

La figure ci-dessous est composée de 6 triangles équilatéraux partageant tous le même sommet, comme les pétales d'une fleur, et non alignés côte à côte.
Il faut donc que le stylo reste au même point entre deux triangles, en pivotant seulement d'un sixième de tour avant de tracer le triangle suivant.
Il faut remplacer la ligne 8 (« avancer de 30 pas ») par la commande « tourner de 60 degrés » (dans un sens ou dans l'autre) : 6\times60^{\circ}=360^{\circ}, ce qui fait tourner les six triangles autour du point de départ commun pour former la figure en fleur.

1.Soit un triangle NEF tel que NE = 2,04 m, EF = 9,6 dm et NF = 180 cm. Affirmation 1 : Le triangle NEF est rectangle en F.

Convertissons toutes les longueurs dans la même unité : NE=2{,}04 m =204 cm, EF=9{,}6 dm =96 cm, NF=180 cm.
D'une part, \begin{aligned}NE^{2} &= 204^{2} \\ &= 41\,616\end{aligned}
D'autre part, \begin{aligned}EF^{2}+NF^{2} &= 96^{2}+180^{2} \\ &= 9\,216+32\,400 \\ &= 41\,616\end{aligned}
On a donc l'égalité NE^{2}=EF^{2}+NF^{2}.
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle NEF est rectangle en F (NE étant le plus grand côté).
Affirmation vraie.

2.Affirmation 2 : 6x^{2}-15x=0 admet comme unique solution 2,5.

6x^{2}-15x=x(6x-15).
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un au moins des facteurs est nul : x=0 ou 6x-15=0, soit x=0 ou x=2{,}5.
L'équation admet deux solutions, 0 et 2,5, et non une unique solution.
Affirmation fausse.

3.Affirmation 3 : \dfrac{147}{14} est un nombre décimal.

\begin{aligned}\dfrac{147}{14} &= \dfrac{7\times21}{7\times2} \\ &= \dfrac{21}{2} \\ &= 10{,}5\end{aligned}
10,5 possède une écriture décimale finie : c'est bien un nombre décimal.
Affirmation vraie.

4.Affirmation 4 : pour tout entier relatif n, 2n^{2}+4n-16 est un nombre pair.

2n^{2}+4n-16=2(n^{2}+2n-8).
Comme n est un entier relatif, {n^{2}+2n-8} est également un entier relatif.
2n^{2}+4n-16 s'écrit donc comme le double d'un entier : ce nombre est pair, quelle que soit la valeur de n.
Affirmation vraie.

5.Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=-2x+3. Affirmation 5 : La représentation graphique de la fonction f est la droite d.

Sur le graphique, la droite d passe par les points de coordonnées (0~;~3) et (2~;~0).
Son coefficient directeur est donc \begin{aligned}\dfrac{0-3}{2-0} &= -\dfrac{3}{2} \\ &= -1{,}5\end{aligned}
Or la fonction f(x)=-2x+3 a pour coefficient directeur -2.
Comme -1{,}5\neq-2, la droite d n'est pas la représentation graphique de f (on vérifie par exemple que \begin{aligned}f(2) &= -2\times2+3 \\ &= -1\end{aligned} alors que d passe par le point (2~;~0)).
Affirmation fausse.