CRPE : Groupement 3, session 2026

1.Quels sont les autres pays dont le nombre de médailles d'or représente strictement plus de la moitié du nombre de médailles remportées en natation sportive ?

Pour chaque pays, on compare le nombre de médailles d'or à la moitié du nombre total de médailles remportées en natation sportive.
Pour la Hongrie : la moitié du total est \dfrac{3}{2}=1{,}5, et le nombre de médailles d'or est 2, donc 2>1{,}5.
Pour la Suède : la moitié du total est \dfrac{2}{2}=1, et le nombre de médailles d'or est 2, donc 2>1.
Pour l'Afrique du Sud en revanche, la moitié du total est \dfrac{2}{2}=1, ce qui est égal (et non strictement supérieur) au nombre de médailles d'or : ce pays ne convient donc pas. Aucun autre pays du tableau ne convient.
Les autres pays concernés sont la Hongrie et la Suède.

2.Quelle formule peut-on saisir dans la cellule G2 et recopier vers le bas jusqu'à la cellule G20 pour calculer le pourcentage de médailles d'or parmi celles remportées dans chaque délégation ?

=C2/F2 (nombre de médailles d'or divisé par le nombre total de médailles de la délégation), cellule à mettre au format pourcentage, formule à recopier vers le bas jusqu'en G20.

3.Calculer la proportion de médailles gagnées par les Etats-Unis par rapport au nombre total de médailles remportées en natation sportive, sous la forme p\,\%, p arrondi au dixième.

Les États-Unis ont remporté 28 médailles sur un total de 105 médailles remportées en natation sportive.
\dfrac{28}{105}\times100 \approx 26{,}67
Arrondi au dixième, les États-Unis ont remporté environ 26,7 % des médailles.

4.Quelle est la probabilité pour que le sportif australien interviewé ait remporté une médaille d'argent ?

L'Australie a remporté {7+8+3=18} médailles au total, dont 8 médailles d'argent.
P = \dfrac{8}{18} = \dfrac{4}{9} (fraction irréductible, en simplifiant par 2).

5.Le journaliste affirme que les nageurs américains ont remporté plus d'un quart de l'ensemble des médailles d'or des épreuves de natation sportive des Jeux Olympiques. A-t-il raison ?

Les nageurs américains ont remporté 8 médailles d'or, sur un total de 35 médailles d'or.
Un quart de 35 vaut \dfrac{35}{4} = 8{,}75.
Comme 8<8{,}75, les nageurs américains n'ont pas remporté plus d'un quart des médailles d'or : le journaliste a tort.

A.1Montrer que le triangle RGC est un triangle rectangle.

D'une part, \begin{aligned}CR^{2} &= 25^{2} \\ &= 625\end{aligned}
D'autre part, \begin{aligned}CG^{2}+GR^{2} &= 15^{2}+20^{2} \\ &= 225+400 \\ &= 625\end{aligned}
On a donc l'égalité CR^{2} = CG^{2}+GR^{2}.
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle RGC est rectangle en G.

A.2Démontrer que la longueur du parcours de la régate est égale à 96 km.

Les points G, C, B_{1} sont alignés, et les points R, C, B_{2} sont alignés : les angles \widehat{GCR} et \widehat{B_1CB_2} sont donc opposés par le sommet, donc égaux.
Le triangle CB_1B_2 (rectangle en B_1) et le triangle CGR (rectangle en G) ont ainsi chacun un angle droit et un autre angle égal (en C) : ils sont donc semblables.
Le rapport de cette similitude est \begin{aligned}k &= \dfrac{B_1B_2}{GR} \\ &= \dfrac{12}{20} \\ &= \dfrac{3}{5}\end{aligned} (les côtés B_1B_2 et GR étant opposés au même angle en C).
On en déduit \begin{aligned}CB_1 &= \dfrac{3}{5}\times CG \\ &= \dfrac{3}{5}\times15 \\ &= 9\end{aligned} km et \begin{aligned}CB_2 &= \dfrac{3}{5}\times CR \\ &= \dfrac{3}{5}\times25 \\ &= 15\end{aligned} km.
La longueur totale du parcours est GC+CB_1+B_1B_2+B_2C+CR+RG = 15+9+12+15+25+20 = 96 km.

A.3Calculer la distance en cm, arrondie au mm, entre les points R et G sur un plan à l'échelle \dfrac{1}{150\,000}.

RG=20 km =2\,000\,000 cm.
À l'échelle \dfrac{1}{150\,000}, la distance sur le plan est \dfrac{2\,000\,000}{150\,000} \approx 13{,}333 cm.
Arrondie au millimètre, cette distance est de 13,3 cm.

B.1Calculer la vitesse moyenne du bateau A en km/h.

La durée du trajet du bateau A est 14\text{h}54-8\text{h}30 = 6\text{h}24, soit {6+\dfrac{24}{60} = 6{,}4} heures.
v = \dfrac{96}{6{,}4} = 15 km/h.

B.2Déterminer le classement final.

Le bateau A navigue à 15 km/h et le bateau C à 14{,}5 km/h.
Le bateau B navigue à 3{,}9 m/s, soit 3{,}9\times3{,}6 = 14{,}04 km/h.
Comme {15>14{,}5>14{,}04}, et tous les bateaux parcourant la même distance de 96 km, le classement final est : 1er le bateau A, 2e le bateau C, 3e le bateau B.

B.3Quelle est l'heure d'arrivée du bateau B, en heures et en minutes ?

Le bateau B navigue à 3{,}9 m/s sur un parcours de 96 km =96\,000 m.
La durée du trajet est \dfrac{96\,000}{3{,}9}\approx24\,615 secondes, soit \dfrac{24\,615}{3600}\approx6{,}84 heures, c'est-à-dire environ 6 h 50 min.
Le bateau étant parti à 8 h 30, il arrive donc vers 15 h 20 (arrondi à la minute).

C.Quelle est la durée minimale nécessaire pour que les deux signaux lumineux soient de nouveau émis simultanément ?

Les durées entre deux signaux consécutifs sont 12 s (phare de Granville) et 18 s (phare des îles Chausey) : les deux signaux seront de nouveau émis simultanément après un nombre de secondes multiple à la fois de 12 et de 18, c'est-à-dire leur PPCM.
12 = 2^{2}\times3 et 18 = 2\times3^{2}, donc \text{PPCM}(12,18) = 2^{2}\times3^{2} = 36.
Les deux signaux lumineux seront de nouveau émis simultanément après 36 secondes.

1.Affirmation 1 : si AM = MB alors M est le milieu de [AB].

Faux. L'égalité AM=MB signifie seulement que M est équidistant de A et de B : M peut se trouver n'importe où sur la médiatrice du segment [AB], pas nécessairement sur la droite (AB).
Contre-exemple : si M est le sommet d'un triangle isocèle de base [AB] (avec M en dehors de la droite (AB)), alors AM=MB, mais M n'appartient pas au segment [AB] : M n'est donc pas le milieu de [AB].

2.Affirmation 2 : la probabilité de l'événement « la carte est un Valet ou un Cœur » est \dfrac{3}{8}.

Il y a 4 valets dans le jeu (un par famille) et 8 cartes de cœur.
La carte « Valet de Cœur » appartient aux deux catégories : il faut donc la retirer une fois pour ne pas la compter deux fois.
Le nombre de cas favorables est {4+8-1=11}, donc {P(\text{Valet ou Cœur}) = \dfrac{11}{32}}.
Or \dfrac{11}{32} \neq \dfrac{3}{8} (qui vaut \dfrac{12}{32}). Faux.

3.Affirmation 3 : la valeur exacte de l'ordonnée du point A est \dfrac{7}{3}.

Au point d'intersection A des droites C_f et C_g, on a f(x)=g(x), soit {-2x+3 = 7x}.
3 = 9x, donc x = \dfrac{1}{3}.
L'ordonnée du point A est alors g\left(\dfrac{1}{3}\right) = 7\times\dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}.
Vrai.

4.Affirmation 4 : le carré d'un nombre entier impair est un nombre entier impair.

Soit un entier impair quelconque, noté 2n+1 avec n entier.
Son carré vaut \begin{aligned}(2n+1)^{2} &= 4n^{2}+4n+1 \\ &= 2(2n^{2}+2n)+1\end{aligned}
Cette expression est de la forme 2k+1 (avec k=2n^{2}+2n entier), donc impaire.
Vrai.

5.Affirmation 5 : le nombre rentré au départ pour obtenir ce résultat est décimal.

Le programme calcule {\text{résultat} = \dfrac{8x+10}{2}}, où x est le nombre choisi au départ (demandé par le bloc « Choisir un nombre »).
On obtient 8, donc \dfrac{8x+10}{2} = 8, soit 8x+10=16, donc 8x=6.
\begin{aligned}x &= \dfrac{6}{8} \\ &= \dfrac{3}{4} \\ &= 0{,}75\end{aligned}
Or 0{,}75 est bien un nombre décimal. Vrai.

A.1Calculer la valeur exacte en centimètre du diamètre d'une roue de vélo.

26\times2{,}54 = 66,04 cm (valeur exacte).

A.2Quelle distance en kilomètre l'élève a-t-il parcourue, sachant que son compteur indique 6 124 tours de roue ?

La circonférence d'une roue est {\pi\times66{,}04 \approx 207{,}47} cm.
Pour 6\,124 tours de roue, la distance parcourue est 6\,124\times207{,}47 \approx 1\,270\,552 cm, soit environ 12{,}70552 km.
Arrondie au dixième, la distance parcourue est d'environ 12,7 km.

B.1Calculer la somme d'argent que l'école remportera si les promesses de dons se concrétisent.

La distance totale parcourue par l'ensemble des élèves est \begin{aligned}9\times126+11\times120+12\times140+15\times34 &= 1134+1320+1680+510 \\ &= 4\,644\end{aligned} km.
La somme récoltée, à raison de 1{,}25 € par kilomètre, est 4\,644\times1{,}25 = 5 805 €.

B.2Un enseignant affirme que moins de deux cinquièmes des élèves ont parcouru 12 kilomètres ou plus. L'affirmation est-elle vraie ?

Le nombre d'élèves ayant parcouru 12 km ou plus est 140+34=174, sur un effectif total de {126+120+140+34=420} élèves.
La proportion correspondante est \dfrac{174}{420} \approx 0{,}414.
Or \dfrac{2}{5} = 0{,}4, et 0{,}414>0{,}4 : c'est donc plus de deux cinquièmes des élèves (et non moins) qui ont parcouru 12 km ou plus.
L'affirmation est fausse.

B.3Quelle est, en kilomètre, la distance moyenne parcourue par un élève de l'école ?

Distance moyenne = \dfrac{4\,644}{420} \approx 11{,}057, soit environ 11,06 km (arrondi au centième).

B.4Donner, en kilomètre, la distance médiane parcourue par les élèves de l'école.

Il y a 420 élèves (effectif pair) : la médiane est la moyenne des 210^{\text{e}} et 211^{\text{e}} valeurs de la série ordonnée.
Effectifs cumulés croissants : 126 (jusqu'à 9 km), 246 (jusqu'à 11 km), 386 (jusqu'à 12 km), 420 (jusqu'à 15 km).
Les 210^{\text{e}} et 211^{\text{e}} valeurs se situent toutes deux dans le groupe « 11 km » (rangs 127 à 246) : la médiane est donc 11 km.

C.1Calculer l'aire de la surface de bois à acheter en m^{2}.

Les trois panneaux en bois sont : les deux panneaux latéraux, situés aux deux extrémités de l'abri, de dimensions 1{,}4 m \times 1{,}2 m chacun, et le panneau du fond, de dimensions 5 m \times 1{,}2 m.
Aire des deux panneaux latéraux : {2\times1{,}4\times1{,}2 = 3{,}36} m^{2}.
Aire du panneau du fond : 5\times1{,}2 = 6 m^{2}.
Aire totale de bois à acheter : 3{,}36+6 = 9,36 m^{2}.

C.2Montrer que le volume intérieur de l'abri, arrondi à l'unité, est égal à 12 m^{3}.

La partie supérieure (vue de côté) se décompose en un rectangle de 0{,}8 m \times 0{,}6 m et un quart de disque de rayon 0{,}6 m.
Aire du rectangle : 0{,}8\times0{,}6 = 0{,}48 m^{2}. Aire du quart de disque : {\dfrac{1}{4}\times\pi\times0{,}6^{2} = 0{,}09\pi} m^{2}.
Aire totale de la section supérieure : 0{,}48+0{,}09\pi m^{2}, d'où un volume, sur la longueur de 5 m, de {5\times(0{,}48+0{,}09\pi) = 2{,}4+0{,}45\pi} m^{3}.
Volume de la partie inférieure, pavé droit de dimensions 1{,}4\times1{,}2\times5 : {1{,}4\times1{,}2\times5 = 8{,}4} m^{3}.
Volume total : \begin{aligned}8{,}4+2{,}4+0{,}45\pi &= 10{,}8+0{,}45\pi \\ &\approx 10{,}8+1{,}41 \\ &\approx 12{,}21\end{aligned} m^{3}.
Arrondi à l'unité, le volume intérieur de l'abri est bien égal à 12 m^{3}, conforme à l'énoncé.