Spécial Automatismes : Première Spécialité 2026 (corrigé)

Q1.Calculer \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} \times 4.

\begin{aligned}\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\times4 &= \dfrac{1}{2}+\dfrac{12}{2} \\ &= \dfrac{13}{2}\end{aligned}

Q2.La partie visible d'un iceberg (150 km^{3}) représente 10 % du volume total. Quel est ce volume total ?

0{,}10\times V = 150 \iff V = \dfrac{150}{0{,}10} = 1\,500 km^{3}.

Q3.Le prix d'un article est multiplié par 0,845. Que représente cette évolution ?

0{,}845 = 1-0{,}155 : le coefficient multiplicateur correspond à une évolution de taux -15{,}5\%, donc une baisse de 15,5 %.

Q4.Donner le tableau de signes de A(x) = (x + 5)(x + 8).

A(x) est un produit de deux facteurs de degré 1, de racines -8 et -5, à coefficient dominant positif : A(x) est positif sauf entre les racines, où il est négatif.

Q5.Un singe choisit une lettre au hasard. Calculer P_M(V) (voyelle sachant lettre du mot SINGE).

Le mot SINGE comporte 5 lettres dont 2 voyelles (I, E). Par équiprobabilité : P_M(V) = \dfrac{2}{5}.

Q6.La droite représentant f passe par (0 ; 30) et (3 ; 0). Donner l'expression de f.

Ordonnée à l'origine 30, coefficient directeur \dfrac{0-30}{3-0}=-10 : f(x)=-10x+30.

Q7.Développer et réduire (x + 2)^{2} - (1 - x)^{2}.

\begin{aligned}(x+2)^{2}-(1-x)^{2} &= (x^{2}+4x+4)-(1-2x+x^{2}) \\ &= 6x+3\end{aligned}

Q8.Résoudre 2(x - 4) - (2x + 1) = 0.

\begin{aligned}2(x-4)-(2x+1) &= 2x-8-2x-1 \\ &= -9\end{aligned} L'équation -9=0 est fausse quel que soit x : aucune solution.

Q9.Calculer E = (2 \times 3^{2})/(27 \times 2^{3}).

\begin{aligned}E &= \dfrac{2\times3^{2}}{3^{3}\times2^{3}} \\ &= \dfrac{2^{0}\times3^{0}}{2^{2}\times3^{1}} \\ &= \dfrac{1}{4\times3} \\ &= \dfrac{1}{12}\end{aligned}

Q1.Donner une forme factorisée de 9x^{2} - \dfrac{1}{9}.

\begin{aligned}9x^{2}-\dfrac{1}{9} &= (3x)^{2}-\left(\dfrac13\right)^{2} \\ &= \left(3x-\dfrac13\right)\left(3x+\dfrac13\right)\end{aligned} (différence de carrés).

Q2.Calculer E = (x - y)/(zt) pour x=3, y=-2, z=-3, t=-4.

\begin{aligned}E &= \dfrac{3-(-2)}{(-3)\times(-4)} \\ &= \dfrac{5}{12}\end{aligned}

Q3.On donne une fonction f telle que f(-4)=1{,}5 et f(-1)=-2. Déterminer le signe de A=\dfrac{f(-4)}{f(-1)}.

f(-4)=1{,}5>0 et f(-1)=-2<0, donc A=\dfrac{1{,}5}{-2}<0.

Q4.Résoudre l'inéquation -2x + 2 \geq 0.

\begin{aligned}-2x+2 &\geq 0 \\ &\iff -2x \\ &\geq -2 \\ &\iff x \\ &\leq 1\end{aligned} (l'inégalité change de sens en divisant par -2). S=]-\infty;1].

Q5.On donne le tableau de signes d'une fonction f : f s'annule en x=-3 et x=2, elle est positive à l'extérieur de l'intervalle [-3;2] et négative à l'intérieur. Donner une expression possible de f(x).

f s'annule en -3 et 2, est positive à l'extérieur et négative entre les racines : coefficient dominant positif, soit f(x)=(x-2)(x+3).

Q6.Le prix d'un article baisse de 50 % puis augmente de 40 %. Quelle est l'évolution équivalente ?

Coefficient multiplicateur global : \begin{aligned}0{,}5\times1{,}4 &= 0{,}7 \\ &= 1-0{,}30\end{aligned} soit une baisse de 30 %.

Q7.40 % des adhérents sont des hommes et il y a 30 femmes. Quel est le nombre total d'adhérents ?

60 % des adhérents sont des femmes, soit 30 : \dfrac{30}{0{,}6}=50 adhérents au total.

Q8.Simplifier, pour a \neq 0, l'expression (a \times a^{5})/a^{2}.

\begin{aligned}\dfrac{a\times a^{5}}{a^{2}} &= \dfrac{a^{6}}{a^{2}} \\ &= a^{4}\end{aligned}

Q1.Une fonction f est représentée sur [-5 ; 4] par une courbe en trait plein (tracé polygonal passant approximativement par les points (-5;-3), (-4;1), (-3;5), (-2;4,5), (-1;2,7), (0;2,8), (1;1,5), (1,8;-1), (2,3;-4), (3;-3,5), (3,5;-1) et (4;2)). Combien de solutions admet l'équation f(x) = -1 sur [-5 ; 4] ?

La droite horizontale d'équation y=-1 coupe la courbe de f à chaque fois que celle-ci passe par l'ordonnée -1.
En suivant le tracé, on repère un premier passage entre les abscisses -5 et -4 (la courbe monte de -3 à 1), un deuxième vers x=1{,}8 (minimum local touchant y=-1) et un troisième vers x=3{,}5 (second minimum local touchant y=-1).
L'équation f(x)=-1 admet donc trois solutions.

Q2.Multiplier un nombre par 0,6 revient à le diminuer de :

0{,}6 = 1-0{,}4 : multiplier par 0{,}6 correspond à une baisse de 40\,\%.

Q3.Dans un repère, une droite passe par les points (0 ; 2) et (8 ; -0,67). Donner son équation réduite.

Ordonnée à l'origine 2, coefficient directeur \dfrac{-0{,}67-2}{8-0} \approx \dfrac{-1}{3} : y=-\dfrac13x+2.

Q4.Un club de sport compte 200 adhérents répartis selon le tableau suivant : Enfant-Volley 80, Enfant-Basket 50, Enfant-Total 130 ; Adulte-Volley 30, Adulte-Basket 40, Adulte-Total 70 ; Total-Volley 110, Total-Basket 90, Total 200. On choisit un adhérent au hasard et on note E « la personne est un enfant » et V « la personne pratique le volley-ball ». Calculer P_E(V).

\begin{aligned}P_E(V) &= \dfrac{\text{effectif Enfant et Volley}}{\text{effectif Enfant}} \\ &= \dfrac{80}{130} \\ &= \dfrac{8}{13}\end{aligned}

Q5.À l'aide d'un arbre pondéré à deux évènements A et B (avec P(A)=0{,}4, P(\overline{A})=0{,}6 ; P_A(B)=0{,}3, P_A(\overline{B})=0{,}7 ; P_{\overline{A}}(B)=0{,}1, P_{\overline{A}}(\overline{B})=0{,}9), calculer P(B).

D'après la formule des probabilités totales, \begin{aligned}P(B) &= P(A)\times P_A(B) + P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B) \\ &= 0{,}4\times0{,}3 + 0{,}6\times0{,}1 \\ &= 0{,}12+0{,}06 \\ &= 0{,}18\end{aligned}

Q6.On représente une fonction affine f (droite passant par (-3 ; 3,5) et (3 ; -2,5)) et une fonction polynôme du second degré g (parabole de sommet (1 ; -2) passant par (-3 ; 3,5) et (3 ; 0,5)). Donner l'ensemble S des solutions de l'inéquation f(x) < g(x).

La droite a pour équation f(x)=-x+0{,}5 et la parabole g(x)=0{,}5(x-1)^{2}-2.
En résolvant f(x)=g(x), on trouve x=-2 et x=2 : ce sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes.
Entre les deux intersections, la droite est au-dessus de la parabole (donc f(x)>g(x)) ; à l'extérieur, c'est l'inverse.
L'ensemble des solutions de f(x)<g(x) est donc S=\,]-\infty;-2[\,\cup\,]2;+\infty[.

Q7.Pour y réel non nul, on définit x par x = 3+\dfrac5y. Exprimer y en fonction de x.

\begin{aligned}x &= 3+\dfrac5y \\ &\iff x-3 \\ &= \dfrac5y \\ &\iff y \\ &= \dfrac{5}{x-3}\end{aligned}

Q8.Une série statistique a pour valeurs 0, 10, 20, 30, 100 avec les effectifs respectifs 3, 1, 2, 2, 2. On note Me sa médiane et x̄ sa moyenne. Comparer Me et x̄.

L'effectif total est 3+1+2+2+2=10. La série ordonnée est : 0;0;0;10;20;20;30;30;100;100.
La médiane est la moyenne des 5^{\text{e}} et 6^{\text{e}} valeurs, soit \dfrac{20+20}{2}=20.
La moyenne vaut \begin{aligned}\overline{x} &= \dfrac{0\times3+10\times1+20\times2+30\times2+100\times2}{10} \\ &= \dfrac{310}{10} \\ &= 31\end{aligned}
Comme 20<31, on a Me<\overline{x}.

Q1.D'après l'arbre (P(A)=0{,}4 ; P_A(B)=0{,}2 ; P_{\overline{A}}(B)=0{,}7), calculer P(\overline{A}\cap B).

\begin{aligned}P(\overline{A}\cap B) &= P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B) \\ &= 0{,}6\times0{,}7 \\ &= 0{,}42\end{aligned}

Q2.150 élèves suivant la spécialité représentent \dfrac{3}{5} des élèves de première. Quel est l'effectif total ?

\begin{aligned}\dfrac35\times x &= 150 \\ &\iff x \\ &= 150\times\dfrac53 \\ &= 250\end{aligned}

Q3.Calculer A/B + 1 pour A=\dfrac{1}{3} et B=\dfrac{5}{6}.

\begin{aligned}\dfrac{A}{B}+1 &= \dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{5}{6}}+1 \\ &= \dfrac13\times\dfrac65+1 \\ &= \dfrac25+1 \\ &= \dfrac75\end{aligned}

Q4.Une droite a pour équation y=\dfrac13x+1. Donner les coordonnées de deux points par lesquels elle passe.

Cette droite passe par exemple par (0;1) et par (3;2) (coefficient directeur \frac13).

Q5.Développer (x^{3} - 1)^{2}.

\begin{aligned}(x^{3}-1)^{2} &= (x^{3})^{2}-2\times x^{3}\times1+1^{2} \\ &= x^{6}-2x^{3}+1\end{aligned}

Q6.Quelle est l'évolution globale d'une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 50 % ?

Coefficient multiplicateur global : \begin{aligned}1{,}2\times0{,}5 &= 0{,}6 \\ &= 1-0{,}4\end{aligned} soit une baisse de 40 %.

Q7.Un sondage indique que, parmi les élèves de plus de 16 ans d'un lycée, 10 au total ont été interrogés, dont 6 suivent la spécialité mathématiques. On interroge un élève de plus de 16 ans au hasard. Quelle est la probabilité qu'il suive la spécialité mathématiques ?

6 élèves de plus de 16 ans suivent la spécialité, sur 10 élèves de plus de 16 ans au total : \dfrac{6}{10}=\dfrac35.

Q8.Isoler y dans x = 5/(2 + y).

\begin{aligned}x &= \dfrac{5}{2+y} \\ &\iff x(2+y) \\ &= 5 \\ &\iff 2+y \\ &= \dfrac5x \\ &\iff y \\ &= \dfrac5x-2\end{aligned}

Q1.Développer (3x - 2)^{2}.

\begin{aligned}(3x-2)^{2} &= (3x)^{2}-2\times3x\times2+2^{2} \\ &= 9x^{2}-12x+4\end{aligned}

Q2.Une droite (\Delta) passe par les points (0;2) et (2;0). Donner son équation réduite.

Ordonnée à l'origine 2, coefficient directeur \dfrac{0-2}{2-0}=-1 : y=-x+2.

Q3.75 % des élèves étudient le grec, les 9 autres le latin. Quel est l'effectif de la classe ?

25 % (soit \frac14) des élèves étudient le latin, donc l'effectif total est 9\times4=36.

Q4.Un prix augmente de 15 %. Par quel coefficient a-t-il été multiplié ?

Augmenter de 15 % revient à multiplier par \dfrac{100+15}{100}=1{,}15.

Q5.Donner la valeur la plus proche de \dfrac{150000}{3200}.

3\,200\approx3\,000, donc \begin{aligned}\dfrac{150\,000}{3\,200} &\approx \dfrac{150}{3} \\ &= 50\end{aligned}

Q6.Une vidéo de 1 min 40 s contient 2 400 images. Combien d'images par seconde ?

1 min 40 s = 100 s, donc \dfrac{2\,400}{100}=24 images/seconde.

Q7.Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole représentant f(x)=0{,}5(x-3)^{2}+10.

Cette expression est la forme canonique d'une fonction du second degré : le sommet est le point (3;10).

Q8.Calculer A = (10^{201} \times 10^{-4})/(10^{2})^{100}.

(10^{2})^{100}=10^{200}, donc \begin{aligned}A &= 10^{201-4-200} \\ &= 10^{-3} \\ &= 0{,}001\end{aligned}

Q1.Un article coûte 40 € et subit une augmentation de 30 %. Combien coûte-t-il après cette augmentation ?

L'augmentation vaut 0{,}30\times40=12 €, donc le nouveau prix est 40+12=52 €.

Q2.Résoudre l'équation (-0{,}5x+3)(-5x-4)=0.

Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul : \begin{aligned}-0{,}5x+3 &= 0 \\ &\iff x \\ &= \dfrac{3}{0{,}5} \\ &= 6\end{aligned} et \begin{aligned}-5x-4 &= 0 \\ &\iff x \\ &= \dfrac{-4}{5} \\ &= -0{,}8\end{aligned} Les solutions sont 6 et -0,8.

Q3.Un entraîneur choisit 8 joueurs dans une équipe, ce qui représente 20 % de l'effectif. Combien y a-t-il de joueurs dans l'équipe ?

20 % correspond à \dfrac15 de l'effectif : si \dfrac15 de l'équipe représente 8 joueurs, l'effectif total est 8\times5=40.

Q4.L'énergie cinétique d'un objet est donnée par E_C=\dfrac12mv^{2}. Exprimer la vitesse v en fonction de E_C et m.

\begin{aligned}E_C &= \dfrac12mv^{2} \\ &\iff v^{2} \\ &= \dfrac{2E_C}{m} \\ &\iff v \\ &= \sqrt{\dfrac{2E_C}{m}}\end{aligned} (la vitesse étant positive).

Q5.On donne la courbe de la fonction inverse f(x) = 1/x sur \mathbb{R}*. Déterminer l'ensemble des solutions de l'inéquation \dfrac1x \geqslant 2.

Sur ]0;+\infty[, \begin{aligned}\dfrac1x &\geqslant 2 \\ &\iff 1 \\ &\geqslant 2x \\ &\iff x \\ &\leqslant \dfrac12\end{aligned} donc x\in\,]0;\dfrac12] (par lecture graphique : la branche de la courbe pour x>0 est au-dessus de la droite y=2 uniquement entre 0 exclu et \dfrac12 inclus).
Sur ]-\infty;0[, \dfrac1x est toujours strictement négatif, donc jamais \geqslant2.
L'ensemble des solutions est donc \left]0;\dfrac12\right].

Q6.Calculer 2^{9}\times5^{7}.

\begin{aligned}2^{9}\times5^{7} &= 2^{2}\times2^{7}\times5^{7} \\ &= 2^{2}\times(2\times5)^{7} \\ &= 4\times10^{7}\end{aligned}

Q7.Une droite (d) est tracée dans un repère : elle passe approximativement par les points (0 ; 5,2) et (8,6 ; 0), avec une pente négative. Donner son équation réduite parmi : y=-5{,}2x+8{,}6 ; y=0{,}6x+5{,}2 ; y=5{,}2x+8{,}6 ; y=-0{,}6x+5{,}2.

La droite a une pente négative et coupe l'axe des ordonnées entre 5 et 6 : la seule expression compatible est y=-0{,}6x+5{,}2.

Q8.Donner la forme factorisée de 16x^{2}-(x+1)^{2}.

On reconnaît une identité remarquable a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) avec a=4x et b=x+1 : \begin{aligned}16x^{2}-(x+1)^{2} &= (4x-(x+1))(4x+(x+1)) \\ &= (3x-1)(5x+1)\end{aligned}