Spécial Automatismes : Première Spécifique 2026 (corrigé)

Q1.A - B est strictement positif. Que peut-on en déduire ?

A-B>0 \iff A>B.

Q2.Calculer C = \dfrac{1}{2} + 3 \times \dfrac{5}{6}.

\begin{aligned}C &= \dfrac{1}{2}+3\times\dfrac{5}{6} \\ &= \dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{6} \\ &= \dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2} \\ &= \dfrac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

Q3.Simplifier D = 3 \times 2^{5} \times 2^{3}.

\begin{aligned}D &= 3\times2^{5}\times2^{3} \\ &= 3\times2^{5+3} \\ &= 3\times2^{8}\end{aligned}

Q4.Donner un ordre de grandeur de E = 999 \times 1001.

999\approx1\,000 et 1001\approx1\,000, donc E\approx1\,000\times1\,000=1\,000\,000.

Q5.Développer (x + 2)^{2}.

\begin{aligned}(x+2)^{2} &= x^{2}+2\times x\times2+2^{2} \\ &= x^{2}+4x+4\end{aligned}

Q6.Résoudre 3x - 5 = x + 3.

\begin{aligned}3x-5 &= x+3 \\ &\iff 2x \\ &= 8 \\ &\iff x \\ &= 4\end{aligned}

Q7.Une boîte de 60 chocolats contient 40 % de chocolats au lait. Combien y en a-t-il ?

0{,}40\times60 = 24.

Q8.Quel est le taux d'évolution équivalent à une baisse de 10 % suivie d'une baisse de 20 % ?

Coefficient multiplicateur global : \begin{aligned}0{,}90\times0{,}80 &= 0{,}72 \\ &= 1-0{,}28\end{aligned} soit une baisse de 28 %.

Q9.La droite représentée passe par (0 ; 3) et a un coefficient directeur -2. Donner son équation réduite.

Ordonnée à l'origine 3, coefficient directeur -2 : y=-2x+3.

Q10.Exprimer v en fonction de E et m dans E = (\dfrac{1}{2})mv^{2}.

\begin{aligned}E &= \dfrac12mv^{2} \\ &\iff v^{2} \\ &= \dfrac{2E}{m} \\ &\iff v \\ &= \sqrt{\dfrac{2E}{m}}\end{aligned} (car v\geq0).

Q11.On donne une fonction h dont la courbe représentative coupe la droite horizontale d'équation y=2 en exactement trois points, d'abscisses -2, 2 et 3. Résoudre l'équation h(x)=2.

D'après les données de l'énoncé, la droite horizontale y=2 coupe la courbe en trois points, d'abscisses -2, 2 et 3 : \mathcal{S}=\{-2\,;\,2\,;\,3\}.

Q12.Comparer moyenne et médiane des séries (9;11;13) et (9;10;11;13;17).

Moyennes : \dfrac{9+11+13}{3}=11 et \dfrac{9+10+11+13+17}{5}=12 : les moyennes sont différentes.
Médianes : la médiane de (9;11;13) est 11, celle de (9;10;11;13;17) (rangée) est aussi 11 : les médianes sont égales.

Q1.Calculer \dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{10}.

\begin{aligned}\dfrac25-\dfrac{3}{10} &= \dfrac{4}{10}-\dfrac{3}{10} \\ &= \dfrac{1}{10}\end{aligned}

Q2.Parmi les fonctions suivantes, laquelle est une fonction affine (donc représentée par une droite) : f(x)=\dfrac52x-5, g(x)=x^2-3, ou h(x)=\dfrac{2}{x} ?

Une fonction affine est de la forme x\mapsto ax+b et se représente par une droite. C'est le cas de f(x)=\dfrac52x-5 (a=\dfrac52, b=-5) ; g est une fonction carrée (parabole) et h est une fonction inverse (hyperbole). C'est donc f.

Q3.Une droite a pour équation réduite y=-\dfrac12x+1. Quel est son coefficient directeur, et la fonction associée est-elle croissante ou décroissante ?

Le coefficient directeur est -\dfrac12. Comme ce coefficient est négatif, la fonction associée est décroissante.

Q4.Un automobiliste roule à 60 km/h pendant 2 h 30 min. Quelle distance parcourt-il ?

2 h 30 min = 2{,}5 h, donc 60\times2{,}5 = 150 km.

Q5.Un article à 200 € augmente de 20 %. Quel calcul donne le nouveau prix ?

Augmenter de 20 % revient à multiplier par \dfrac{100+20}{100}=1{,}2 : 200\times1{,}2.

Q6.Développer et réduire (2x - 5)^{2}.

\begin{aligned}(2x-5)^{2} &= (2x)^{2}-2\times2x\times5+5^{2} \\ &= 4x^{2}-20x+25\end{aligned}

Q7.Calculer la résistance R = U^{2}/P pour U = 20 V et P = 80 W.

\begin{aligned}R &= \dfrac{20^{2}}{80} \\ &= \dfrac{400}{80} \\ &= 5\end{aligned}

Q8.Quel est le plus petit des nombres A=\dfrac{1}{8}, B=\dfrac{1}{9}, C=\dfrac{1}{12}, D=0,1 ?

D=\dfrac{1}{10} : les quatre nombres ont pour numérateur 1, donc le plus petit est celui de plus grand dénominateur, soit C=\dfrac{1}{12}.

Q1.Calculer A = 4 - 2 \times \dfrac{1}{3}.

\begin{aligned}A &= 4-2\times\dfrac13 \\ &= \dfrac{12}{3}-\dfrac23 \\ &= \dfrac{10}{3}\end{aligned}

Q2.Calculer B = 2 \times 5^{2} + 3.

\begin{aligned}B &= 2\times25+3 \\ &= 50+3 \\ &= 53\end{aligned}

Q3.Calculer 25 % de 250.

\begin{aligned}25\%\times250 &= \dfrac14\times250 \\ &= 62{,}5\end{aligned}

Q4.Un article à 300 € baisse de 15 %. Quel calcul donne le nouveau prix ?

Le coefficient multiplicateur d'une baisse de 15 % est 1-0{,}15=0{,}85 : 300\times0{,}85.

Q5.Une droite (AB) passe par les points A(0;2) et B(4;0). Donner son équation réduite.

Ordonnée à l'origine 2 ; coefficient directeur \dfrac{0-2}{4-0}=-0{,}5 : y=-0{,}5x+2.

Q6.Calculer 2x^{2} - 3x - 4 pour x = -1.

\begin{aligned}2\times(-1)^{2}-3\times(-1)-4 &= 2+3-4 \\ &= 1\end{aligned}

Q7.Développer (x - 4)^{2}.

\begin{aligned}(x-4)^{2} &= x^{2}-2\times x\times4+4^{2} \\ &= x^{2}-8x+16\end{aligned}

Q8.On donne une fonction f définie sur [-6;5] telle que f(x)\geqslant3 exactement pour x\in[-5;-2]. Résoudre l'inéquation f(x)\geqslant3 sur [-6;5].

D'après les données de l'énoncé, l'ensemble des solutions est \mathcal{S}=[-5;-2].

Q9.Résoudre (2x + 4)(-3x - 9) = 0.

\begin{aligned}(2x+4)(-3x-9) &= 0 \\ &\iff 2x+4 \\ &= 0\end{aligned} ou \begin{aligned}-3x-9 &= 0 \\ &\iff x \\ &= -2\end{aligned} ou x=-3 : \mathcal{S}=\{-3;-2\}.

Q10.Isoler m_{1} dans F = G \times (m_{1} \times m_{2})/R^{2}.

\begin{aligned}F &= G\times\dfrac{m_1m_2}{R^{2}} \\ &\iff F\times R^{2} \\ &= G\times m_1\times m_2 \\ &\iff m_1 \\ &= \dfrac{F\times R^{2}}{G\times m_2}\end{aligned}

Q11.D'après l'arbre (P(A)=0{,}2 ; P_A(B)=0{,}3 ; P_{\overline{A}}(B)=0{,}4), calculer P_{\overline{A}}(\overline{B}).

\begin{aligned}P_{\overline{A}}(\overline{B}) &= 1-P_{\overline{A}}(B) \\ &= 1-0{,}4 \\ &= 0{,}6\end{aligned}

Q12.D'après le même arbre, calculer P_A(\overline{B}).

\begin{aligned}P_A(\overline{B}) &= 1-P_A(B) \\ &= 1-0{,}3 \\ &= 0{,}7\end{aligned}

Q1.Écrire \dfrac{2}{5} sous forme décimale.

\dfrac25 = 0{,}4.

Q2.Calculer 30 % de 150.

0{,}30\times150 = 45.

Q3.On donne une fonction f dont la courbe représentative atteint un maximum local de valeur 3 au point d'abscisse 1. Donner un antécédent de 3 par f.

La courbe atteint un maximum local de valeur 3 en x=1 : 1 est bien un antécédent de 3.

Q4.Résoudre 7x + 4 = 5x + 6.

\begin{aligned}7x+4 &= 5x+6 \\ &\iff 2x \\ &= 2 \\ &\iff x \\ &= 1\end{aligned}

Q5.Un article à 50 € baisse de 10 % puis augmente de 10 %. Quel est son prix final ?

\begin{aligned}50\times0{,}9\times1{,}1 &= 50\times0{,}99 \\ &= 49{,}50\end{aligned} €.

Q6.Sur la courbe y = 2x^{2} - x + 3, donner le point d'abscisse -1.

\begin{aligned}y &= 2\times(-1)^{2}-(-1)+3 \\ &= 2+1+3 \\ &= 6\end{aligned} : le point est D(-1;6).

Q7.Calculer le coefficient directeur de la droite passant par A(-1;2) et B(-3;4).

\begin{aligned}\dfrac{4-2}{-3-(-1)} &= \dfrac{2}{-2} \\ &= -1\end{aligned}

Q8.Calculer la médiane de la série 2 ; 3 ; 5 ; 4 ; 2 ; 3.

En ordonnant : 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 4 ; 5. La médiane est la moyenne des 3^{\text{e}} et 4^{\text{e}} valeurs : \dfrac{3+3}{2}=3.

Q1.Calculer \dfrac13\times\dfrac65-\dfrac15.

\begin{aligned}\dfrac13\times\dfrac65-\dfrac15 &= \dfrac{6}{15}-\dfrac15 \\ &= \dfrac{2}{5}-\dfrac15 \\ &= \dfrac15\end{aligned}

Q2.Résoudre dans \mathbb{R} l'équation 3x+2=-5x+4.

\begin{aligned}3x+2 &= -5x+4 \\ &\iff 8x \\ &= 2 \\ &\iff x \\ &= \dfrac28 \\ &= \dfrac14\end{aligned}

Q3.Développer (2x-3)(2x+3).

On reconnaît l'identité remarquable (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} avec a=2x et b=3 : \begin{aligned}(2x-3)(2x+3) &= (2x)^{2}-3^{2} \\ &= 4x^{2}-9\end{aligned}

Q4.Dans un parc animalier, 20 singes représentent 5 % de l'effectif total des animaux. Quel est cet effectif total ?

5\,\% \times \text{effectif} = 20 \iff \text{effectif} = \dfrac{20}{0{,}05} = 400.

Q5.Une voiture parcourt 30 km à une vitesse moyenne de 60 km/h. Quelle est la durée du trajet, en minutes ?

La durée est \dfrac{30}{60}=0{,}5 h =30 min.

Q6.Une entreprise augmente sa production de 5 % par an. Par quel facteur la production initiale a-t-elle été multipliée après 3 ans ?

Chaque année, la production est multipliée par 1{,}05 ; après 3 ans, elle est multipliée par 1{,}05^{3}.

Q7.Dans un repère, une droite (d) est tracée : elle a pour expression 0{,}25x-1. Donner son équation réduite parmi : y=4x-1 ; y=\dfrac14x-1 ; y=x-\dfrac14 ; y=\dfrac14x+1.

Le tracé correspond à \begin{aligned}y &= 0{,}25x-1 \\ &= \dfrac14x-1\end{aligned} Réponse B.

Q8.On considère une fonction f définie sur [-2 ; 3], dont la courbe est une parabole tournée vers le bas, passant par (-2 ; -4), s'annulant en x = -1, atteignant son maximum en x = -0,5 (valeur 2,25), puis s'annulant en x = 2 et valant -4 en x = 3. Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ? A. « f est croissante sur [-2 ; 0] ». B. « f est positive sur [-2 ; 0] ». C. « f est décroissante sur [0 ; 3] ». D. « f est négative sur [0 ; 3] ».

La fonction croît de x=-2 jusqu'au sommet en x=-0{,}5, puis décroît jusqu'à x=3.
Sur [-2;0], f n'est donc pas croissante (elle décroît après x=-0{,}5) : la proposition A est fausse.
f(-2)=-4<0 : f n'est pas positive sur [-2;0], la proposition B est fausse.
Sur [0;3], on est entièrement après le sommet x=-0{,}5 : f y est bien décroissante, la proposition C est vraie.
f(0)=2>0 : f n'est pas négative sur [0;3], la proposition D est fausse.
La bonne affirmation est donc « f est décroissante sur [0 ; 3] ». Réponse C.