Spécial Automatismes : Première Technologique 2026 (corrigé)

Q1.Un objet passe de 100 € à 80 € après une remise. Quel est le pourcentage de cette remise ?

\begin{aligned}\dfrac{100-80}{100} &= 0{,}20 \\ &= 20\%\end{aligned}

Q2.60 % des personnes ont moins de 25 ans, dont 10 % sont mineures. Quelle est la proportion de mineurs dans la salle ?

0{,}6\times0{,}10 = 0{,}06.

Q3.Un prix augmente de 10 % puis diminue de 20 %. Quelle est l'évolution globale ?

Coefficient multiplicateur global : \begin{aligned}1{,}1\times0{,}8 &= 0{,}88 \\ &= 1-0{,}12\end{aligned} soit une baisse de 12 %.

Q4.Sachant que F = 1,8C + 32, donner la température d'ébullition de l'eau (100 ^{\circ}C) en ^{\circ}F.

\begin{aligned}F &= 1{,}8\times100+32 \\ &= 180+32 \\ &= 212\end{aligned} ^{\circ}F.

Q5.Exprimer C en fonction de F à partir de F = 1,8C + 32.

\begin{aligned}F &= 1{,}8C+32 \\ &\iff F-32 \\ &= 1{,}8C \\ &\iff C \\ &= \dfrac{F-32}{1{,}8}\end{aligned}

Q6.Calculer A = \dfrac{\frac{5}{3}}{15}.

\begin{aligned}A &= \dfrac{5}{3}\times\dfrac{1}{15} \\ &= \dfrac{5}{45} \\ &= \dfrac{1}{9}\end{aligned}

Q7.Donner l'équation réduite de la droite (d) passant par les points (-4;4) et (8;-2).

Coefficient directeur : \begin{aligned}\dfrac{-2-4}{8-(-4)} &= \dfrac{-6}{12} \\ &= -0{,}5\end{aligned} En utilisant le point (8;-2) : \begin{aligned}-2 &= -0{,}5\times8+b \Rightarrow b \\ &= 2\end{aligned} Équation : y=-0{,}5x+2.

Q8.Calculer le coefficient directeur de la droite (EF) avec E(20;25) et F(5;15).

\begin{aligned}\dfrac{15-25}{5-20} &= \dfrac{-10}{-15} \\ &= \dfrac{2}{3}\end{aligned}

Q9.On donne une fonction f définie sur [-5;3] telle que f(x)>0 sur [-5;-1[, f(-1)=0, et f(x)<0 sur ]-1;3]. Donner le tableau de signes de f sur [-5;3].

La fonction est positive sur [-5;-1[, s'annule en x=-1, puis reste négative sur ]-1;3].

Q10.Sachant que le troisième quartile de la série est 12, que peut-on dire de la proportion de notes \leq 12 ?

Par définition du troisième quartile, au moins 75 % des valeurs de la série lui sont inférieures ou égales.

Q11.Un diagramme donne la répartition par tranche d'âge des joueurs d'un club : 8,5 % ont entre 6 et 9 ans, 12,5 % ont entre 10 et 14 ans, et 18,9 % ont entre 15 et 24 ans (le reste a plus de 24 ans). Calculer la proportion de joueurs de 24 ans et moins.

8{,}5\%+12{,}5\%+18{,}9\% = 39{,}9\%.

Q12.Dans un club, 500 garçons ont été interrogés ; 200 d'entre eux ne pratiquent aucune activité sportive. On choisit un garçon au hasard parmi ces 500. Quelle est la probabilité qu'il ne pratique aucune activité sportive ?

200 garçons sur 500 ne pratiquent aucune activité sportive : \dfrac{200}{500} = 0{,}4.

Q1.Calculer 5 - \dfrac{3}{2}.

\begin{aligned}5-\dfrac32 &= \dfrac{10}{2}-\dfrac32 \\ &= \dfrac72\end{aligned}

Q2.Simplifier (2^{3})^{-5}.

\begin{aligned}(2^{3})^{-5} &= 2^{3\times(-5)} \\ &= 2^{-15}\end{aligned}

Q3.Un téléphone à 990 € baisse de 20 %. Quel calcul donne le nouveau prix ?

Coefficient multiplicateur d'une baisse de 20 % : 1-0{,}2=0{,}8 : 990\times0{,}8.

Q4.Un dé truqué donne P(5) = P(6) = 0,3. Calculer la probabilité d'obtenir 5 ou 6.

Ces deux évènements étant disjoints : 0{,}3+0{,}3=0{,}6.

Q5.Résoudre (x - 2)(2x + 1) = 0.

\begin{aligned}(x-2)(2x+1) &= 0 \\ &\iff x \\ &= 2\end{aligned} ou x=-\dfrac12.

Q6.Un tableau donne les notes obtenues par 30 élèves à un contrôle : 5 élèves ont eu 7, 7 élèves ont eu 10, 8 élèves ont eu 12, et 10 élèves ont eu 15. Déterminer la médiane de cette série.

Il y a 5+7+8+10=30 élèves : la médiane est la moyenne des 15^{\text{e}} et 16^{\text{e}} valeurs. Les notes 7 occupent les rangs 1–5, les notes 10 les rangs 6–12, les notes 12 les rangs 13–20, les notes 15 les rangs 21–30 : les 15^{\text{e}} et 16^{\text{e}} valeurs valent toutes deux 12, donc la médiane est 12.

Q7.On donne une fonction f définie sur [-4;3] dont la courbe coupe l'axe des abscisses en x=-3 et x=-1, avec f(x)\geqslant0 sur [-4;-3] et sur [-1;3], et f(x)<0 entre les deux. Résoudre l'inéquation f(x)\geqslant0 sur [-4;3].

La fonction est positive sur [-4;-3] puis sur [-1;3] : \mathcal{S}=[-4;-3]\cup[-1;3].

Q8.Sur 500 élèves, 150 pratiquent un sport. Calculer ce pourcentage.

\begin{aligned}\dfrac{150}{500} &= 0{,}3 \\ &= 30\%\end{aligned}

Q1.Un lycée compte 500 élèves, dont 20 % d'externes. Calculer le nombre d'externes.

0{,}20\times500 = 100.

Q2.L'effectif d'un lycée augmente de 5 %. Par quel coefficient est-il multiplié ?

1+\dfrac{5}{100} = 1{,}05.

Q3.Calculer 4 \times \dfrac{2}{3}.

4\times\dfrac23 = \dfrac{8}{3}.

Q4.Parmi les équations suivantes, laquelle admet exactement deux solutions réelles : 2x=-1 ; x^{2}=-1 ; \dfrac{x}{2}=4 ; x^{2}=4 ?

2x=-1 a une solution ; x^{2}=-1 n'en a aucune (un carré est positif) ; \frac{x}{2}=4 a une solution ; x^{2}=4 admet deux solutions, -2 et 2.

Q5.Donner l'équation réduite de la droite passant par les points (0;3) et (1;1).

Ordonnée à l'origine p=3 ; coefficient directeur \begin{aligned}m &= \dfrac{1-3}{1-0} \\ &= -2\end{aligned} : y=-2x+3.

Q6.Calculer l'image de -2 par f(x) = x(3x - 6).

\begin{aligned}f(-2) &= (-2)\times(3\times(-2)-6) \\ &= (-2)\times(-12) \\ &= 24\end{aligned}

Q7.Combien 0 a-t-il d'antécédents par f(x) = x(3x - 6) ?

f(0)=0 et \begin{aligned}f(2) &= 2\times(6-6) \\ &= 0\end{aligned} : le nombre 0 admet deux antécédents, 0 et 2.

Q8.On donne une fonction polynôme du second degré f, dont la représentation graphique est une parabole tournée vers le haut, de racines 2 et 6. Donner le tableau de signes de f.

La parabole est tournée vers le haut (coefficient dominant positif) : f est positive à l'extérieur des racines [2;6] et négative entre elles.

Q9.Une course de 20 tours d'une piste de 4 500 m. Calculer la distance totale.

4\,500 m =4{,}5 km, donc 20\times4{,}5 = 90 km.

Q10.Calculer la moyenne pondérée de \dfrac{10}{20} (coefficient 2) et \dfrac{16}{20} (coefficient 1).

\begin{aligned}\dfrac{2\times10+1\times16}{2+1} &= \dfrac{36}{3} \\ &= 12\end{aligned}

Q11.Un tableau indique que, parmi 90 clients ayant acheté un aspirateur sans fil, 70 ont choisi un modèle sans sac. On choisit au hasard un client parmi ces 90. Quelle est la probabilité qu'il ait acheté un aspirateur avec sac ?

Parmi les 90 clients ayant acheté sans fil, 70 sans sac donc 90-70=20 avec sac : \dfrac{20}{90} = \dfrac{2}{9}.

Q12.Un diagramme circulaire donne la répartition des ventes d'une concession automobile : 50 % de berlines, 25 % de monospaces, 18 % de cabriolets et 7 % de tout-terrain. Quel pourcentage des ventes représentent les cabriolets ?

Les quatre catégories se répartissent 50 % + 25 % + 18 % + 7 % =100\% : les cabriolets représentent 18 % des ventes.

Q1.Calculer (5^{3})^{2}.

\begin{aligned}(5^{3})^{2} &= 5^{3\times2} \\ &= 5^{6}\end{aligned}

Q2.Pour calculer le prix d'un produit après une hausse de 25 %, en une seule opération, par quel nombre faut-il multiplier le prix initial ?

Une hausse de 25\,\% correspond à un coefficient multiplicateur 1+0{,}25=1{,}25.

Q3.Dans un repère, on a tracé la droite passant par l'origine (0 ; 0) et par le point (2 ; 6). Donner une équation de cette droite.

La droite passe par l'origine, son équation est de la forme y=ax avec \begin{aligned}a &= \dfrac{6-0}{2-0} \\ &= 3\end{aligned} : y=3x.

Q4.Dans un lycée, les adhérents de l'association sportive représentent un quart des élèves. Quelle est la proportion d'élèves qui ne sont pas adhérents ?

Si \dfrac14 des élèves sont adhérents, la proportion de non-adhérents est 1-\dfrac14=\dfrac34=75\,\%.

Q5.Calculer \left(1+\dfrac12\right)\times\dfrac23.

\begin{aligned}\left(1+\dfrac12\right)\times\dfrac23 &= \dfrac32\times\dfrac23 \\ &= \dfrac{3\times2}{2\times3} \\ &= 1\end{aligned}

Q6.Développer (2x+3)^{2}.

\begin{aligned}(2x+3)^{2} &= (2x)^{2}+2\times2x\times3+3^{2} \\ &= 4x^{2}+12x+9\end{aligned}

Q7.On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6, toutes équiprobables. Quelle est la probabilité d'obtenir un numéro inférieur ou égal à 2 ?

Les issues favorables sont \{1;2\}, soit 2 issues sur 6 équiprobables : \begin{aligned}P &= \dfrac26 \\ &= \dfrac13\end{aligned}

Q8.On considère la série de nombres 7 ; 3 ; 4 ; 2 ; x. Sa moyenne est égale à 5. Quelle équation permet de déterminer x ?

La série comporte 5 valeurs, donc la moyenne s'écrit \dfrac{7+3+4+2+x}{5}. L'équation à résoudre est \dfrac{7+3+4+2+x}{5}=5.