Fiche de cours Logimaths

Fiche de cours : Automatismes

Calculs, pourcentages et ordres de grandeur (ESM)

I. Calcul et priorités opératoires

Formule Parenthèses \to puissances \to multiplications/divisions \to additions/soustractions (de gauche à droite en cas d'égalité de niveau).

Exemple : \begin{aligned}3+4\times2^2 &= 3+4\times4 \\ &= 3+16 \\ &= 19\end{aligned}

II. Pourcentages et évolutions

Propriété Prendre t\,\% de Q : \dfrac{t}{100}\times Q. Évolution de t\,\% : coefficient multiplicateur CM=1\pm\dfrac{t}{100} (augmentation/diminution).

Exemple : Baisse de 20\,\% sur 150€ : CM=0{,}8, nouveau prix = 150\times0{,}8=120€.

III. Proportionnalité et ordres de grandeur

Méthode Pour un calcul de proportionnalité : utiliser le coefficient de proportionnalité ou un produit en croix. Pour estimer un ordre de grandeur, arrondir chaque valeur à un chiffre significatif avant de calculer.

Exemple : \begin{aligned}203\times48 &\approx 200\times50 \\ &= 10\,000\end{aligned} (ordre de grandeur).

IV. Unités et conversions

Propriété

Vitesse	v=\dfrac{d}{t} (distance/temps)
Vitesse	1 km/h = \dfrac{1}{3{,}6} m/s
Aires	1 m^2 =10\,000 cm^2
Volumes	1 m^3 =1000 L

V. Calcul littéral rapide

Méthode Automatismes à maîtriser : développer (a+b)^2, (a-b)^2, (a+b)(a-b) ; résoudre une équation du premier degré ; résoudre une équation produit nul ; isoler une variable dans une formule.

VI. Puissances et notation scientifique

Formule a^m\times a^n=a^{m+n} ; notation scientifique a\times10^n avec {1\leqslant a<10}.

Exemple : \begin{aligned}2{,}5\times10^3\times4\times10^{-5} &= 10\times10^{-2} \\ &= 0{,}1\end{aligned}

VII. Fractions : opérations rapides

Formule \dfrac ab+\dfrac cd=\dfrac{ad+bc}{bd} \qquad \dfrac ab\times\dfrac cd=\dfrac{ac}{bd}.

VIII. Résoudre rapidement

Méthode Équation \begin{aligned}ax+b &= 0 \\ &\Rightarrow x = -\dfrac ba\end{aligned} Produit nul : \begin{aligned}AB = 0 &\iff A = 0 \end{aligned} ou B=0.

IX. Lecture de graphique et de tableau

Méthode Lire une valeur sur un graphique : repérer l'abscisse, monter jusqu'à la courbe, lire l'ordonnée. Sur un tableau, croiser ligne et colonne.

Lecture graphique : on part de a sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée f(a) du point obtenu.

X. Calcul rapide de moyenne

Formule Moyenne =\dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{effectif total}} (ou moyenne pondérée avec coefficients).

XI. Probabilités simples

Formule P(A)=\dfrac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}} (cas d'équiprobabilité).

XII. Aires et périmètres usuels

Formule Rectangle : L\times l. Triangle : \dfrac{b\times h}2. Disque : \pi r^2. Cercle : 2\pi r.

XIII. Racines carrées : automatismes

Formule \sqrt{a\times b}=\sqrt a\times\sqrt b (a,b\geqslant0) ; \sqrt{25}=5, \sqrt{100}=10 (carrés usuels à connaître).