Fiche de cours : Dérivation
De la pente d'une tangente au tableau de variations : l'outil roi de l'analyse
I. La fonction dérivée et les formules
| La fonction f(x) | Sa dérivée f′(x) | Valable pour |
|---|---|---|
| k (un nombre) | 0 | \forall x \in \mathbb{R} |
| x | 1 | \forall x \in \mathbb{R} |
| kx | k | \forall x \in \mathbb{R} |
| x^2 | 2x | \forall x \in \mathbb{R} |
| x^3 | 3x^2 | \forall x \in \mathbb{R} |
| x^n | nx^{n-1} | \forall x \in \mathbb{R} |
| \dfrac{1}{x} | -\dfrac{1}{x^2} | \forall x \neq 0 |
| \sqrt{x} | \dfrac{1}{2\sqrt{x}} | \forall x > 0 |
Les deux dernières lignes se retiennent mal ? Bonne nouvelle : elles se retrouvent à partir de {(x^n)' = nx^{n-1}}. Les deux dépliants ci-dessous le montrent.
Une puissance négative, c'est l'inverse :
\dfrac{1}{a^n} = a^{-n} donc \dfrac{1}{x} = x^{-1}
Et une racine carrée, c'est la puissance un demi :
\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}
La formule {(x^n)' = nx^{n-1}} reste vraie quand n est négatif ou fractionnaire (on l'admet en 1ère). C'est tout ce qu'il faut pour retrouver les deux formules.
👆 ▶ Retrouver \left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2} tout seul
1. On écrit \dfrac{1}{x} sous forme de puissance :
\dfrac{1}{x} = x^{-1}
2. On applique {(x^n)' = nx^{n-1}} avec {n = -1} :
\begin{aligned}\left(x^{-1}\right)' &= -1 \times x^{-1-1} \\ &= -1 \times x^{-2}\end{aligned}
3. On repasse en fraction, avec le même rappel qu'à l'étape 1 :
-x^{-2} = -\dfrac{1}{x^2}
Conclusion : \left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}. Le signe moins n'est pas un piège : il vient du {n = -1}. Et il est logique, car \dfrac{1}{x} est décroissante : sa dérivée doit être négative.
👆 ▶ Retrouver (\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} tout seul
1. On écrit la racine sous forme de puissance :
\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}
2. On applique {(x^n)' = nx^{n-1}} avec {n = \dfrac{1}{2}} :
\begin{aligned}\left(x^{\frac{1}{2}}\right)' &= \dfrac{1}{2} \times x^{\frac{1}{2}-1} \\ &= \dfrac{1}{2} \times x^{-\frac{1}{2}}\end{aligned}
3. On repasse en racine : la puissance négative redevient un inverse.
\begin{aligned}x^{-\frac{1}{2}} &= \dfrac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{x}}\end{aligned}
4. On rassemble les deux morceaux :
\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
Conclusion : (\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}. On voit aussi pourquoi il faut x > 0 : en 0, on diviserait par 2\sqrt{0} = 0. C'est le cas de la tangente verticale du chapitre précédent.
II. Les opérations
- (u + v)' = u' + v' et (ku)' = ku' (on dérive terme à terme) ;
- (uv)' = u'v + uv' (⚠️ PAS u'v' !) ;
- \left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2} et \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} (v ne s'annulant pas).
g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3} donne \begin{aligned}g'(x) &= \dfrac{2(x - 3) - (2x + 1)}{(x - 3)^2} \\ &= \dfrac{-7}{(x - 3)^2}\end{aligned} Toujours négatif, g décroît sur chaque intervalle de son domaine.
III. La tangente
Trois lectures : f'(a) est sa pente, f(a) son point d'ancrage, et une tangente horizontale correspond à f'(a) = 0 (les sommets et creux de la courbe).
IV. Signe de f′ et variations
- f' \geq 0 sur I ⟺ f croissante sur I ;
- f' \leq 0 sur I ⟺ f décroissante sur I ;
- si f′ s'annule en changeant de signe en a, f admet un extremum local en a (maximum si + puis −, minimum si − puis +).
f croît sur ]-\infty\,;\,-1] jusqu'au maximum local f(-1) = 3, décroît jusqu'au minimum local f(1) = -1, puis recroît.
- là où la ligne de f′ porte un +, la flèche du dessous monte ;
- là où elle porte un −, la flèche du dessous descend ;
- là où elle porte un 0 avec changement de signe, la flèche tourne : c'est un extremum.
- Ligne du haut : les x. On pose les bornes du domaine, puis les valeurs qui annulent f′, dans l'ordre croissant.
- Ligne du milieu : le signe de f′. Un 0 sous chaque racine, puis le signe sur chaque intervalle (pour un trinôme : le signe de a à l'extérieur des racines).
- Ligne du bas : les flèches. On les recopie du signe du dessus, sans réfléchir : + ↗, − ↘.
- Puis seulement les valeurs : on calcule f aux bornes et aux extremums, et on les écrit au bout de chaque flèche (en haut si la flèche y arrive, en bas sinon).
🎛️ Le signe de f′ commande : fais-le basculer
Déplace a. Les racines de f′ restent en -1 et 1, donc les colonnes ne bougent pas : seuls les signes changent. Quand a traverse 0, la courbe se retourne et les flèches basculent au même instant, parce que ce sont les mêmes signes qui commandent les deux.