Fiche d'exercices Logimaths | 1ère spécialité
Fiche d'exercices : Généralités sur les suites
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Calculs explicites⭐
Pour chaque suite, calcule u_0, u_1 et u_5 :
- u_n = 4n - 3
- u_n = n^2 - 2n
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. u_0 = -3, u_1 = 1, u_5 = 17.
2. u_0 = 0, u_1 = -1, \begin{aligned}u_5 &= 25 - 10 \\ &= 15\end{aligned}
2. u_0 = 0, u_1 = -1, \begin{aligned}u_5 &= 25 - 10 \\ &= 15\end{aligned}
Exercice 2 : Calculs par récurrence⭐
Soit u_0 = 5 et u_{n+1} = 2u_n - 3.
- Calcule u_1, u_2 et u_3.
- Pourquoi ne peut-on pas calculer u_{50} directement, contrairement à une forme explicite ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. u_1 = 7, u_2 = 11, u_3 = 19.
2. Chaque terme exige le précédent : il faudrait enchaîner les 50 calculs (ou les confier à une boucle Python).
2. Chaque terme exige le précédent : il faudrait enchaîner les 50 calculs (ou les confier à une boucle Python).
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Traduire un énoncé⭐⭐
Écris la relation de récurrence (et le premier terme) pour chaque situation :
- Un abonnement compte 1200 abonnés et en gagne 75 chaque mois.
- Une population de 500 bactéries augmente de 8 % par heure.
- Un bassin de 900 L perd 20 % de son eau puis reçoit 30 L chaque jour.
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. u_0 = 1200,\ u_{n+1} = u_n + 75.
2. u_0 = 500,\ u_{n+1} = 1{,}08\,u_n.
3. u_0 = 900,\ u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 30 (80 % restent, PUIS on ajoute 30 : l'ordre de l'énoncé).
2. u_0 = 500,\ u_{n+1} = 1{,}08\,u_n.
3. u_0 = 900,\ u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 30 (80 % restent, PUIS on ajoute 30 : l'ordre de l'énoncé).
Exercice 4 : Variations par la différence⭐⭐
- Soit u_n = n^2 + 4n. Calcule u_{n+1} - u_n et conclus.
- Soit v_n = 7 - 3n. Même question.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. \begin{aligned}u_{n+1} - u_n &= (n+1)^2 + 4(n+1) - n^2 - 4n \\ &= 2n + 5 > 0\end{aligned} : croissante.
2. v_{n+1} - v_n = -3 < 0 : décroissante (elle perd 3 à chaque rang).
2. v_{n+1} - v_n = -3 < 0 : décroissante (elle perd 3 à chaque rang).
Exercice 5 : Variations par le quotient⭐⭐
Soit u_n = \dfrac{3^n}{5} (termes strictement positifs).
- Calcule \dfrac{u_{n+1}}{u_n}.
- Conclus sur le sens de variation.
- Pourquoi cette méthode serait-elle dangereuse pour une suite à termes négatifs ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. \begin{aligned}\dfrac{u_{n+1}}{u_n} &= \dfrac{3^{n+1}}{3^n} \\ &= 3\end{aligned}
2. Quotient > 1 et termes positifs : croissante.
3. Avec des termes négatifs, « quotient > 1 » signifierait au contraire qu'on descend (multiplier un négatif par 3 le diminue) : la méthode du quotient exige des termes strictement positifs.
2. Quotient > 1 et termes positifs : croissante.
3. Avec des termes négatifs, « quotient > 1 » signifierait au contraire qu'on descend (multiplier un négatif par 3 le diminue) : la méthode du quotient exige des termes strictement positifs.
Exercice 6 : Lecture graphique et conjecture⭐⭐
Soit u_0 = 8 et u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 2.
- Calcule u_1, u_2, u_3 (valeurs décimales).
- Que peut-on conjecturer sur le comportement de la suite ?
- Vérifie que 4 est une « valeur d'équilibre » : que se passe-t-il si u_0 = 4 ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. u_1 = 6, u_2 = 5, u_3 = 4{,}5.
2. La suite décroît et semble se rapprocher de 4 (sans l'atteindre).
3. 0{,}5 \times 4 + 2 = 4 : la suite reste bloquée à 4, c'est le point fixe de la relation.
2. La suite décroît et semble se rapprocher de 4 (sans l'atteindre).
3. 0{,}5 \times 4 + 2 = 4 : la suite reste bloquée à 4, c'est le point fixe de la relation.
Pour aller plus loin
Exercice 7 : La suite et le programme Python⭐⭐⭐
On considère le script :
u = 3 puis for k in range(4): u = 2*u + 1.- Quelle suite ce programme calcule-t-il (premier terme et relation) ?
- Fais tourner le programme à la main : quelle valeur finale de u ?
- Quel terme de la suite obtient-on ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. u_0 = 3 et u_{n+1} = 2u_n + 1.
2. 3 → 7 → 15 → 31 → 63.
3. La relation est appliquée 4 fois : on obtient u_4 = 63 (au passage, on peut conjecturer u_n = 2^{n+2} - 1).
2. 3 → 7 → 15 → 31 → 63.
3. La relation est appliquée 4 fois : on obtient u_4 = 63 (au passage, on peut conjecturer u_n = 2^{n+2} - 1).
Exercice 8 : Synthèse type bac : l'abonnement⭐⭐⭐
Une salle de sport compte 800 abonnés. Chaque année, 70 % des abonnés renouvellent et 240 nouveaux s'inscrivent. On note a_n le nombre d'abonnés l'année n (a_0 = 800).
- Justifie que a_{n+1} = 0{,}7\,a_n + 240.
- Calcule a_1 et a_2.
- Vérifie que 800 est une valeur d'équilibre. Interprète pour le gérant.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. 70 % des a_n restent (0{,}7\,a_n) et 240 arrivent : a_{n+1} = 0{,}7\,a_n + 240.
2. \begin{aligned}a_1 &= 560 + 240 \\ &= 800\end{aligned} et a_2 = 800 aussi !
3. 0{,}7 \times 800 + 240 = 800 : les départs (240) compensent exactement les arrivées (240) : l'effectif est stable. Pour croître, il faudrait recruter plus de 240 nouveaux ou fidéliser au-delà de 70 %.
2. \begin{aligned}a_1 &= 560 + 240 \\ &= 800\end{aligned} et a_2 = 800 aussi !
3. 0{,}7 \times 800 + 240 = 800 : les départs (240) compensent exactement les arrivées (240) : l'effectif est stable. Pour croître, il faudrait recruter plus de 240 nouveaux ou fidéliser au-delà de 70 %.