Exercice 1 : Lire une équation de droite⭐
Soit d : 4x - 3y + 7 = 0.
Donne un vecteur normal et un vecteur directeur de d.
Le point A(2 ; 5) appartient-il à d ?
👆▶ Correction de l'exercice 1
1. Normal \vec{n}(4\,;\,-3) (les coefficients), directeur \vec{u}(3\,;\,4) (le quart de tour (−b ; a)). 2.8 - 15 + 7 = 0 : oui.
Exercice 2 : Construire une équation⭐
Droite passant par A(1 ; 2), de vecteur normal \vec{n}(3\,;\,5).
Droite passant par B(0 ; 4), de vecteur directeur \vec{u}(2\,;\,-1).
👆▶ Correction de l'exercice 2
1.3(x - 1) + 5(y - 2) = 0 soit {3x + 5y - 13 = 0}. 2. Le normal associé est (1 ; 2) : {1(x - 0) + 2(y - 4) = 0} soit x + 2y - 8 = 0.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Parallèles ou perpendiculaires ?⭐⭐
Soient d₁ : 2x + y - 3 = 0, d₂ : {4x + 2y + 1 = 0} et d₃ : x - 2y + 5 = 0.
Montre que d₁ et d₂ sont parallèles.
Montre que d₁ et d₃ sont perpendiculaires.
👆▶ Correction de l'exercice 3
1. Normaux (2 ; 1) et (4 ; 2) colinéaires (facteur 2) : parallèles (et distinctes : les c ne suivent pas le facteur). 2. Normaux (2 ; 1) et (1 ; −2) : produit scalaire 2 - 2 = 0 : perpendiculaires.
Exercice 4 : Équations de cercles⭐⭐
Donne l'équation du cercle de centre Ω(−1 ; 3) et de rayon 4.
Détermine le centre et le rayon du cercle (x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 36.
Le point P(5 ; 4) est-il sur ce second cercle ?
👆▶ Correction de l'exercice 4
1.(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 16. 2. Centre (5 ; −2), rayon 6. 3.0 + 36 = 36 ✔ : oui (P est « au sommet » du cercle).
Le point P(5 ; 4) est exactement à 6 unités au-dessus de Ω'(5 ; −2) : il est donc sur le second cercle.
Vérifie sur la figure que le rayon vaut bien 6 et non 36 : 36, c'est ce qui est écrit dans l'équation, mais c'est r^2.
Exercice 5 : Forme développée : compléter les carrés⭐⭐
Soit E l'ensemble d'équation {x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0}.
Mets l'équation sous forme canonique.
E est-il un cercle ? Si oui, donne centre et rayon.
Même question pour {x^2 + y^2 - 2x + 1 + 8 = 0}.
👆▶ Correction de l'exercice 5
1.(x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 - 12 = 0 soit (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25. 2.Oui : centre (2 ; −3), rayon 5. 3.(x - 1)^2 + y^2 = -8 < 0 : ensemble vide, aucun point (un carré n'est jamais négatif).
Question 2 : le cercle existe bel et bien, on peut le dessiner.
Question 3 : il n'y a rien à dessiner. Une somme de deux carrés ne vaut jamais -8, donc aucun point du plan ne convient. C'est le piège de l'exercice : une équation en x^2 + y^2 n'est pas forcément celle d'un cercle.
Exercice 6 : Projeté orthogonal⭐⭐
Soit d : x - 2y + 1 = 0 et A(4 ; 3).
Justifie que la droite Δ passant par A et perpendiculaire à d a pour points (4 + t ; 3 − 2t).
Détermine le projeté orthogonal H de A sur d.
Déduis-en la distance de A à d.
👆▶ Correction de l'exercice 6
1. Δ suit le vecteur NORMAL de d, \vec{n}(1\,;\,-2) : points (4 + t\,;\,3 - 2t). 2. Sur d : (4 + t) - 2(3 - 2t) + 1 = 0 donne 5t - 1 = 0, t = 0,2 : H(4,2 ; 2,6). 3.\begin{aligned}AH &= \sqrt{0{,}2^2 + 0{,}4^2} \\ &= \sqrt{0{,}2} \\ &\approx 0{,}45\end{aligned}
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Le cercle de diamètre [AB]⭐⭐⭐
A(1 ; 2) et B(7 ; 10).
Détermine le centre et le rayon du cercle de diamètre [AB].
Écris son équation.
Vérifie que C(7 ; 2) est sur ce cercle, et déduis-en la nature du triangle ABC.
👆▶ Correction de l'exercice 7
1. Centre = milieu (4 ; 6) ; \begin{aligned}AB &= \sqrt{36 + 64} \\ &= 10\end{aligned} : rayon 5. 2.(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 25. 3.9 + 16 = 25 ✔ : C est dessus, donc \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0 : le triangle ABC est rectangle en C (angle inscrit dans le demi-cercle).
I est le milieu de [AB], et [AB] est un diamètre : le rayon vaut donc AB/2 = 5.
Le petit carré en C n'est pas un hasard : tout point du cercle voit le diamètre [AB] sous un angle droit. Fais glisser C mentalement le long du cercle, l'angle reste droit.
Exercice 8 : Synthèse type bac⭐⭐⭐
Soit d : 3x + 4y - 12 = 0.
Donne les points d'intersection de d avec les axes.
Calcule la distance de O(0 ; 0) à d (projeté via le normal (3 ; 4)).
Vérifie avec l'aire du triangle formé (deux calculs de la même aire).
👆▶ Correction de l'exercice 8
1. x = 0 → y = 3 : A(0 ; 3) ; y = 0 → x = 4 : B(4 ; 0). 2. Points (3t ; 4t) sur la perpendiculaire par O : 9t + 16t - 12 = 0 donne t = 0,48 : H(1,44 ; 1,92) et \begin{aligned}OH &= \sqrt{1{,}44^2 + 1{,}92^2} \\ &= 2{,}4\end{aligned} 3. Aire du triangle OAB : \dfrac{3 \times 4}{2} = 6 et aussi \begin{aligned}\dfrac{AB \times OH}{2} &= \dfrac{5 \times 2{,}4}{2} \\ &= 6\end{aligned} ✔ (AB = 5 par Pythagore) : tout est cohérent.
[OH] est le plus court chemin de O à la droite : c'est pour cela que l'angle en H est droit.
La vérification par les aires est le vrai enseignement de l'exercice : la même aire, calculée de deux façons, doit donner le même nombre. Si les deux résultats diffèrent, c'est qu'une des deux longueurs est fausse.
