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Fiche d'exercices Logimaths | 1ère spécialité

Fiche d'exercices : Probabilités conditionnelles et indépendance

8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé

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Échauffement

Exercice 1 : Avec un tableau croisé⭐ Dans un lycée de 200 élèves : 120 sont en seconde (dont 80 demi-pensionnaires) et 80 en première (dont 60 demi-pensionnaires). On choisit un élève au hasard. On note S « être en seconde » et D « être demi-pensionnaire ».
  1. Calcule P(S), P(D) et P(S ∩ D).
  2. Calcule P_S(D) puis P_D(S). Compare !
📘 Revoir le cours : I. La probabilité conditionnelle
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. \begin{aligned}P(S) &= \dfrac{120}{200} \\ &= 0{,}6\end{aligned} \begin{aligned}P(D) &= \dfrac{140}{200} \\ &= 0{,}7\end{aligned} \begin{aligned}P(S \cap D) &= \dfrac{80}{200} \\ &= 0{,}4\end{aligned}
2. \begin{aligned}P_S(D) &= \dfrac{80}{120} \\ &= \dfrac{2}{3}\end{aligned} mais \begin{aligned}P_D(S) &= \dfrac{80}{140} \\ &= \dfrac{4}{7}\end{aligned} Le « sachant » change tout.
Exercice 2 : Lire et compléter un arbre⭐ P(A) = 0,3, P_A(B) = 0{,}8 et P_{\bar{A}}(B) = 0{,}5.
  1. Complète les quatre branches manquantes de l'arbre (valeurs).
  2. Calcule P(A ∩ B) et P(\bar{A} \cap B).
📘 Revoir le cours : II. Les arbres pondérés
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. P(\bar{A}) = 0{,}7 ; P_A(\bar{B}) = 0{,}2 ; P_{\bar{A}}(\bar{B}) = 0{,}5 (chaque nœud somme à 1).
2. \begin{aligned}P(A \cap B) &= 0{,}3 \times 0{,}8 \\ &= 0{,}24\end{aligned} et \begin{aligned}P(\bar{A} \cap B) &= 0{,}7 \times 0{,}5 \\ &= 0{,}35\end{aligned}

Le cœur du chapitre

Exercice 3 : Probabilités totales⭐⭐ On garde l'arbre de l'exercice 2.
  1. Calcule P(B).
  2. Calcule P(\bar{B}) de deux façons différentes.
📘 Revoir le cours : III. La formule des probabilités totales
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. \begin{aligned}P(B) &= 0{,}24 + 0{,}35 \\ &= 0{,}59\end{aligned}
2. Par le contraire : 1 - 0{,}59 = 0{,}41 ; ou en additionnant les chemins vers \bar{B} ✔ : \begin{aligned}0{,}3 \times 0{,}2 + 0{,}7 \times 0{,}5 &= 0{,}06 + 0{,}35 \\ &= 0{,}41\end{aligned}
Exercice 4 : Remonter l'arbre⭐⭐ Toujours avec l'arbre des exercices 2 et 3 (P(B) = 0,59).
  1. Calcule P_B(A), la probabilité de A sachant B.
  2. Pourquoi ce calcul s'appelle-t-il « remonter l'arbre » ?
📘 Revoir le cours : I. La probabilité conditionnelle
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. \begin{aligned}P_B(A) &= \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \\ &= \dfrac{0{,}24}{0{,}59} \\ &\approx 0{,}41\end{aligned}
2. L'arbre donne les conditionnelles « dans le sens A → B » ; ici on cherche le sens INVERSE B → A : on repart de la définition avec l'intersection, déjà calculée en descendant.
Exercice 5 : Indépendance⭐⭐
  1. P(A) = 0,6, P(B) = 0,5, P(A ∩ B) = 0,3. A et B sont-ils indépendants ?
  2. P(C) = 0,4, P(D) = 0,3, P(C ∩ D) = 0,18. Et C et D ?
  3. Deux événements incompatibles de probabilités 0,2 et 0,5 peuvent-ils être indépendants ?
📘 Revoir le cours : IV. L'indépendance
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. 0{,}6 \times 0{,}5 = 0{,}3 ✔ : indépendants.
2. \begin{aligned}0{,}4 \times 0{,}3 &= 0{,}12 \\ &\neq 0{,}18\end{aligned} : non.
3. Non : incompatibles donne P(C ∩ D) = 0, mais le produit vaut 0,1 ≠ 0 : impossible.
Exercice 6 : Tirages sans remise⭐⭐ Une urne contient 5 boules rouges et 3 vertes. On tire deux boules SANS remise.
  1. Construis l'arbre (probabilités sur chaque branche).
  2. Calcule la probabilité de deux rouges.
  3. Calcule la probabilité d'exactement une rouge.
📘 Revoir le cours : II. Les arbres pondérés
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. Premier tirage : R à 5/8, V à 3/8. Second niveau (7 boules restantes) : après R : R à 4/7, V à 3/7 ; après V : R à 5/7, V à 2/7.
2. \begin{aligned}\dfrac{5}{8} \times \dfrac{4}{7} &= \dfrac{20}{56} \\ &= \dfrac{5}{14}\end{aligned}
3. Deux chemins (RV et VR) : \begin{aligned}\dfrac{5}{8} \times \dfrac{3}{7} + \dfrac{3}{8} \times \dfrac{5}{7} &= \dfrac{30}{56} \\ &= \dfrac{15}{28}\end{aligned}

Pour aller plus loin

Exercice 7 : Le test de dépistage⭐⭐⭐ Une maladie touche 1 % d'une population. Un test la détecte dans 95 % des cas, mais sonne à tort chez 4 % des personnes saines.
  1. Construis l'arbre et calcule P(T), la probabilité d'un test positif.
  2. Calcule P_T(M) : la probabilité d'être malade sachant le test positif. Surprise ?
  3. Explique ce paradoxe en une phrase.
📘 Revoir le cours : III. La formule des probabilités totales
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. \begin{aligned}P(T) &= 0{,}01 \times 0{,}95 + 0{,}99 \times 0{,}04 \\ &= 0{,}0095 + 0{,}0396 \\ &= 0{,}0491\end{aligned}
2. \begin{aligned}P_T(M) &= \dfrac{0{,}0095}{0{,}0491} \\ &\approx 0{,}19\end{aligned} : moins de 20 % !
3. La maladie est si rare que les faux positifs (4 % d'une ÉNORME population saine) submergent les vrais positifs : d'où les tests de confirmation en médecine.
Exercice 8 : Synthèse type bac : les deux fournisseurs⭐⭐⭐ Un magasin reçoit 70 % de ses articles du fournisseur F₁ (3 % de défauts) et 30 % de F₂ (8 % de défauts). On choisit un article au hasard ; D = « défectueux ».
  1. Calcule P(D).
  2. L'article est défectueux : quelle est la probabilité qu'il vienne de F₂ ?
  3. Les événements « venir de F₁ » et D sont-ils indépendants ?
📘 Revoir le cours : III. La formule des probabilités totales
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. \begin{aligned}P(D) &= 0{,}7 \times 0{,}03 + 0{,}3 \times 0{,}08 \\ &= 0{,}021 + 0{,}024 \\ &= 0{,}045\end{aligned}
2. \begin{aligned}P_D(F_2) &= \dfrac{0{,}024}{0{,}045} \\ &\approx 0{,}53\end{aligned} Plus d'un défaut sur deux vient du petit fournisseur.
3. \begin{aligned}P(F_1) \times P(D) &= 0{,}7 \times 0{,}045 \\ &= 0{,}0315 \\ &\neq 0{,}021\end{aligned} Non (logique : le taux de défauts dépend du fournisseur).
📘 La fiche de cours du chapitre 🧮 M'entraîner en automatismes 🎯 Le QCM du chapitre