Statistiques

Exercice 1 : Moyenne d'une série groupée en classes ⭐ Facile

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1. Vérifier que l'effectif total est 20.
2. Calculer la moyenne en utilisant le centre de chaque classe (5, 15, 25, 35).

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a)4+6+8+2 = \mathbf{20} ✓.

b)Moyenne \begin{aligned} &= \dfrac{4\times5+6\times15+8\times25+2\times35}{20}\\ &= \dfrac{20+90+200+70}{20}\\ &= \dfrac{380}{20}\\ &= \mathbf{19}\end{aligned}

Exercice 2 : Classe médiane ⭐ Facile

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1. Calculer l'effectif total, puis la moitié de cet effectif.
2. Construire les effectifs cumulés croissants.
3. En déduire la classe médiane.

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a)Effectif total \begin{aligned} &= 3+5+10+2\\ &= 20\end{aligned}. Moitié = \mathbf{10}

b)Effectifs cumulés : 3\,;8\,;18\,;20

c)10 se situe entre 8 (fin de la 2^e classe) et 18 (fin de la 3^e classe) : la classe médiane est \mathbf{[20\,;30[}

Exercice 3 : Lire un nuage de points ⭐ Facile

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1. Que peut-on en conclure sur la corrélation ?

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a)La corrélation est faible : un ajustement affine serait peu pertinent.

Exercice 4 : Moyenne ⭐ Facile

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\begin{aligned}\bar{x} &= \dfrac{10+12+14+8+6}{5}\\ &= \dfrac{50}{5}\\ &= \mathbf{10}\end{aligned}

Exercice 5 : Étendue ⭐ Facile

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\begin{aligned}\text{étendue} &= 14 - 6\\ &= \mathbf{8}\end{aligned}

Exercice 6 : Covariance ⭐⭐ Intermédiaire

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1. Calculer \mathrm{Cov}(X,Y).

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a)\begin{aligned}\mathrm{Cov}(X,Y) &= \dfrac13\left[(-1)\times\left(-\dfrac53\right)+0+1\times\dfrac43\right]\\ &= \dfrac13\times3\\ &= \mathbf1\end{aligned}

Exercice 7 : Coefficient directeur de la régression ⭐⭐ Intermédiaire

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1. Calculer m=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{V(X)}.

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a)\begin{aligned}m &= \dfrac1{2/3}\\ &= \mathbf{1{,}5}\end{aligned}

Exercice 8 : Prévision avec la droite d'ajustement ⭐⭐ Intermédiaire

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1. Prévoir y pour x=10.

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a)\begin{aligned}y &= 2\times10+5\\ &= \mathbf{25}\end{aligned}

Exercice 9 : Limites de l'extrapolation ⭐⭐ Intermédiaire

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1. Peut-on faire confiance à une prévision pour x=100 ? Justifier.

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a)Non : x=100 est très en dehors de l'intervalle observé, l'extrapolation est risquée.

Exercice 10 : Ajustement au tableur ⭐⭐ Intermédiaire

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1. Nommer les deux fonctions d'un tableur donnant directement le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la droite de régression.

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a)PENTE et ORDONNEE.ORIGINE.

Exercice 11 : Médiane ⭐⭐ Intermédiaire

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5 valeurs : la médiane est la 3^e, soit \mathbf{10}

Exercice 12 : Moyenne pondérée ⭐⭐ Intermédiaire

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\begin{aligned}\bar{x} &= \dfrac{10\times 2 + 14 + 8}{4}\\ &= \dfrac{42}{4}\\ &= \mathbf{10{,}5}\end{aligned}

Exercice 13 : Ajustement non affine ⭐⭐⭐ Difficile

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1. Que peut-on envisager pour ajuster ce nuage ?

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a)Un changement de variable pour se ramener à un ajustement affine.

Exercice 14 : Résidu ⭐⭐⭐ Difficile

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1. Calculer le résidu.

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a)\hat y(3)=11, donc résidu \begin{aligned} &= 12-11\\ &= \mathbf1\end{aligned}

Exercice 15 : Variance ⭐⭐⭐ Difficile

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Moyenne \bar{x} = 6. \begin{aligned}V &= \dfrac{(4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2}{3}\\ &= \dfrac{4+0+4}{3}\\ &= \mathbf{\dfrac{8}{3}}\end{aligned} (≈ 2,67).

Exercice 16 : Écart-type ⭐⭐⭐ Difficile

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\begin{aligned}\sigma &= \sqrt{V}\\ &= \sqrt{\dfrac{8}{3}} \approx \mathbf{1{,}63}\end{aligned}

Exercice 17 : Variance par tableau d'effectifs ⭐⭐⭐⭐ Expert

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\begin{aligned}\bar{x} &= \dfrac{1\times 2 + 2\times 5 + 3\times 3}{10}\\ &= \dfrac{21}{10}\\ &= 2{,}1\end{aligned}

\begin{aligned}E(X^2) &= \dfrac{1\times 2 + 4\times 5 + 9\times 3}{10}\\ &= 4{,}9\end{aligned}, donc \begin{aligned}V &= 4{,}9 - 2{,}1^2\\ &= 0{,}49\end{aligned} et \sigma = \mathbf{0{,}7}

Exercice 18 : Effet d'un décalage ⭐⭐⭐⭐ Expert

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La moyenne augmente de 5 : nouvelle moyenne \mathbf{15}

Un décalage ne change pas la dispersion : l'écart-type reste \mathbf{2}