Fiche de cours Logimaths

Fonction exponentielle : le cours expliqué pas à pas

Croissance multiplicative et règles

💡 Avant de commencer Version expliquée pas à pas. L'idée clé : l'exponentielle a un double visage : elle modélise les croissances qui se multiplient, et c'est la fonction égale à sa propre dérivée.

Étape 1 : Une croissance qui se multiplie

De l'argent placé à intérêts, une population de bactéries : à chaque étape, on multiplie (et non on ajoute). Ce type de croissance « explosive » est décrit par la fonction exponentielle.

Étape 2 : Sa définition surprenante

Définition L'exponentielle exp est l'unique fonction telle que exp' = exp et exp(0) = 1. On note exp(x) = e^x, avec e ≈ 2,718.

💡 Égale à sa dérivée Sa vitesse de croissance est égale à sa valeur : plus elle est grande, plus elle grandit vite. D'où l'« explosion ».

Étape 3 : Les règles de calcul

À connaître e^a × e^b = e^a+b • e^ae^b = e^a−b • (e^a)ⁿ = e^na • e^x > 0 toujours.

Étape 4 : Résoudre des équations

Méthode L'exponentielle est strictement croissante : e^a = e^b ⟺ a = b. Ex. e^x = e³ → x = 3.

👆 À toi de jouer Simplifie e⁵ : e² et résous e^x = 1.

Voir la réponse

e⁵/e² = e³. e^x = 1 = e⁰ donc x = 0.

🎯 Mémo

L'essentiel Exponentielle = croissance multiplicative, exp' = exp, exp(0)=1, toujours positive. Règles : on additionne/soustrait les exposants.