Fiche de cours Logimaths
Loi de Bernoulli et binomiale : le cours expliqué pas à pas
De l'épreuve simple à la binomiale
💡 Avant de commencer Version expliquée pas à pas. L'idée clé : construire le complexe à partir du simple : la loi binomiale n'est qu'une épreuve à deux issues, répétée.
Étape 1 : L'épreuve la plus simple : succès ou échec
Une épreuve de Bernoulli n'a que deux issues : succès (probabilité p) ou échec (probabilité 1 − p). Ex. lancer une pièce, réussir un tir.
Pour la loi de Bernoulli E(X) = p et V(X) = p(1 − p).
Étape 2 : On répète : le schéma de Bernoulli
Définition On répète n fois la même épreuve, de façon indépendante. Le nombre de succès X suit alors une loi binomiale ℬ(n ; p).
Étape 3 : Calculer une probabilité
Formule P(X = k) = (nombre de chemins) × pk × (1−p)n−k, où le nombre de chemins est le coefficient binomial C(n,k).
Étape 4 : Espérance et variance
À connaître Pour ℬ(n ; p) : E(X) = np et V(X) = np(1 − p).
👆 À toi de jouer Pour ℬ(10 ; 0,3), calcule E(X) et V(X).
Voir la réponse
E(X) = 10×0,3 = 3 ; V(X) = 10×0,3×0,7 = 2,1.🎯 Mémo
L'essentiel Bernoulli = une épreuve à 2 issues (E=p, V=p(1−p)). La répéter n fois → binomiale ℬ(n;p) (E=np, V=np(1−p)).