Fiche de cours Logimaths

Probabilités conditionnelles : le cours expliqué pas à pas

Sachant que, arbres, probabilités totales

💡 Avant de commencer Version expliquée pas à pas. L'idée clé : conditionner (« sachant que »), c'est zoomer sur une partie de la population.

Étape 1 ; « Sachant que » réduit l'univers

Une information (« sachant que la personne est un homme ») ne garde qu'une partie des cas possibles. On recalcule la probabilité dans ce sous-groupe seulement.

Étape 2 : La formule

Définition La probabilité de B sachant A : P_A(B) = P(A ∩ B)P(A) (la part de B à l'intérieur de A).

Étape 3 : L'arbre pondéré

Règle des arbres On multiplie les probabilités le long des branches : P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B). Chaque niveau de branches a une somme égale à 1.

Arbre pondéré à deux niveaux : le chemin en rose (vers A\cap B) a pour probabilité {P(A\cap B) = P(A)\times P_A(B)}. À chaque nœud, la somme des probabilités des branches issues de ce nœud vaut 1.

Étape 4 : La formule des probabilités totales

Idée Pour retrouver P(B), on additionne tous les chemins qui mènent à B : P(B) = P(A)P_A(B) + P(A)P_A(B).

👆 À toi de jouer On donne P(A) = 0,5, P(B) = 0,4, P(A ∩ B) = 0,2. Les événements sont-ils indépendants ?

Voir la réponse

P(A)×P(B) = 0,5×0,4 = 0,2 = P(A ∩ B) → oui, indépendants.

🎯 Mémo

L'essentiel P_A(B) = P(A∩B)/P(A). Arbre : on multiplie le long des branches. Probabilités totales : on additionne les chemins.