Fiche de cours Logimaths
Produit scalaire : le cours expliqué pas à pas
Coordonnées, orthogonalité, angle
💡 Avant de commencer Version expliquée pas à pas. L'idée clé : le produit scalaire vient de la physique (le travail d'une force) et mesure « à quel point deux vecteurs vont dans le même sens ».
Étape 1 : Une idée venue de la physique
Quand tu tires une luge, seule la partie de ta force qui va dans le sens du déplacement est utile. Le produit scalaire mesure justement cet « accord » entre deux vecteurs. Résultat : un nombre (pas un vecteur).
Étape 2 : Le calcul par coordonnées
Formule Pour u(x ; y) et v(x' ; y') : u · v = x x' + y y'. Ex. (2 ; 3) · (1 ; 4) = 2 + 12 = 14.
Étape 3 : Le super-pouvoir : l'orthogonalité
Propriété clé Deux vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires) si et seulement si leur produit scalaire est 0.
💡 Pourquoi 0 ? Perpendiculaires = aucun « accord » de direction : la projection de l'un sur l'autre est nulle, donc le produit scalaire l'est aussi.
Étape 4 : Norme et angle
Autre visage u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(angle). Cette forme permet de calculer un angle.
👆 À toi de jouer Les vecteurs (2 ; −1) et (3 ; 6) sont-ils orthogonaux ?
Voir la réponse
2×3 + (−1)×6 = 6 − 6 = 0 → oui, ils sont orthogonaux.🎯 Mémo
L'essentiel Produit scalaire = un nombre. Par coordonnées : x x' + y y'. Nul ⟺ orthogonaux. Autre forme : ‖u‖‖v‖cos(angle) pour les angles.