Fiche de cours Logimaths
Second degré : le cours expliqué pas à pas
Discriminant, racines, signe du trinôme
💡 Avant de commencer Version expliquée pas à pas. L'idée clé : un même objet a deux visages : l'algèbre (les racines de ax2+bx+c) et la géométrie (les points où la parabole croise l'axe).
Étape 1 : D'où viennent les paraboles ?
Lance un ballon : sa trajectoire est une parabole. Beaucoup de problèmes (aires, trajectoires, optimisation) mènent à une équation ax2 + bx + c = 0. Savoir la résoudre, c'est trouver où la parabole touche le sol.
Étape 2 : Le discriminant, la clé
Définition Pour ax2 + bx + c = 0 (avec a ≠ 0), on calcule le discriminant Δ = b2 − 4ac. C'est son signe qui décide de tout.
Étape 3 : Les trois cas
Selon le signe de Δ
- Δ > 0 : deux solutions x = −b ± √Δ2a (la parabole croise l'axe en 2 points) ;
- Δ = 0 : une solution x = −b2a (elle le touche) ;
- Δ < 0 : aucune solution réelle (elle ne le touche pas).
💡 Le signe « suit » Δ Δ positif → 2 solutions ; Δ nul → 1 ; Δ négatif → 0. Le nombre de solutions suit le discriminant.
Étape 4 : Un exemple complet
x2 − 5x + 6 = 0 : Δ = 25 − 24 = 1 > 0, √Δ = 1, donc x = 5 ± 12 → x = 2 ou x = 3.
Étape 5 : Le signe du trinôme
Règle Un trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe contraire entre les racines. Très utile pour les inéquations.
👆 À toi de jouer Résous 2x2 + 3x − 2 = 0.
Voir la réponse
Δ = 9 + 16 = 25, √Δ = 5, x = (−3 ± 5)/4 → x = 1/2 ou x = −2.🎯 Mémo
L'essentiel Δ = b2 − 4ac décide du nombre de solutions. Racines = points où la parabole croise l'axe. Signe : celui de a à l'extérieur des racines.