Fiche de cours Logimaths

Fiche de cours : Statistiques

Nuage de points, ajustement affine et corrélation (ESM)

I. Rappels : statistiques à une variable

Remarque : Moyenne, médiane, quartiles, écart-type : voir la fiche « Statistiques descriptives » (Seconde) pour les rappels complets.

II. Statistique à deux variables : nuage de points

Définition Pour une série de n couples (x_i,y_i), le nuage de points est l'ensemble des points M_i(x_i;y_i) dans un repère.

III. Point moyen

Définition Le point moyen du nuage est G(\bar x\,;\bar y), où \bar x et \bar y sont les moyennes respectives des x_i et des y_i.

IV. Ajustement affine

Méthode Quand le nuage de points a une forme « allongée », on peut l'ajuster par une droite d'ajustement y=mx+p, qui passe généralement par le point moyen G.

Nuage de points, point moyen G et droite d'ajustement d passant par G.

Propriété La méthode des moindres carrés donne la droite qui minimise la somme des carrés des écarts entre les points du nuage et la droite. Son équation peut être obtenue à la calculatrice ou au tableur (régression linéaire).

Méthode Une fois la droite d'ajustement trouvée, on peut l'utiliser pour faire des prévisions (interpolation si la valeur est dans l'intervalle observé, extrapolation sinon : à utiliser avec prudence).

V. Coefficient de corrélation

Remarque : Le coefficient de corrélation linéaire r (entre -1 et 1) mesure la qualité de l'ajustement affine : plus |r| est proche de 1, plus les points sont alignés ; plus |r| est proche de 0, moins l'ajustement affine est pertinent.

VI. Covariance (introduction)

Définition \mathrm{Cov}(X,Y)=\dfrac1n\displaystyle\sum_i(x_i-\bar x)(y_i-\bar y) mesure la tendance des deux variables à varier ensemble.

VII. Calcul du coefficient directeur de la régression

Formule m=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{V(X)}, puis p=\bar y-m\bar x (la droite passe par le point moyen).

VIII. Prévision avec la droite d'ajustement

Méthode Remplacer x par la valeur souhaitée dans l'équation de la droite d'ajustement pour estimer y.

IX. Limites de l'extrapolation

Remarque : Extrapoler (prévoir en dehors de l'intervalle des données observées) est risqué : rien ne garantit que la tendance se poursuive au-delà des valeurs mesurées.

X. Ajustement non affine

Remarque : Si le nuage n'est pas allongé, on peut parfois se ramener à un ajustement affine par un changement de variable (ex. poser {Y=\ln y}).

XI. Résidus (introduction)

Définition Le résidu d'une observation est l'écart y_i-\hat y_i entre la valeur observée et la valeur ajustée.

XII. Lire un nuage de points

Méthode Avant tout ajustement, observer la forme du nuage : allongé (ajustement affine pertinent), dispersé (corrélation faible), ou courbe (ajustement non affine à envisager).

XIII. Ajustement affine au tableur

Méthode Un tableur calcule directement l'équation de la droite de régression (fonctions PENTE et ORDONNEE.ORIGINE, ou option « ajouter une courbe de tendance »).