Fiche de cours Logimaths | 1ère spécialité
Fiche de cours : Suites arithmétiques, suites géométriques
Les deux familles reines : + r à chaque pas, ou × q à chaque pas
I. Les suites arithmétiques : + r à chaque pas
Définition et terme général
(u_n) est arithmétique de raison r si :
u_{n+1} = u_n + r
Autrement dit : d'un terme au suivant, on ajoute toujours le même nombre.
Terme général :
u_n = u_0 + nr
Et si on part d'un autre terme que u0, disons u_p, il y a n − p pas à faire :
u_n = u_p + (n - p)r
Variations : croissante si r > 0, décroissante si r < 0.
Déroulons depuis u0, un pas à la fois :
| u_1 = u_0 + r | 1 pas |
| u_2 = u_0 + 2r | 2 pas |
| u_3 = u_0 + 3r | 3 pas |
| ⋮ | ⋮ |
| u_n = u_0 + nr | n pas |
Reconnaître une suite arithmétique
On calcule u_{n+1} - u_n : si le résultat est constant (indépendant de n), la suite est arithmétique de raison cette constante.
Sur une liste de valeurs : 5 ; 8 ; 11 ; 14 → écarts constants de 3 : arithmétique. 1 ; 4 ; 9 ; 16 → écarts 3, 5, 7 : non.
Sur une liste de valeurs : 5 ; 8 ; 11 ; 14 → écarts constants de 3 : arithmétique. 1 ; 4 ; 9 ; 16 → écarts 3, 5, 7 : non.
🎮 Entraîne-toi : le terme général arithmétique
u(n) = u(0) + n × r : le point de départ plus n pas.
II. Les suites géométriques : × q à chaque pas
Définition et terme général
(u_n) est géométrique de raison q si :
u_{n+1} = q \times u_n
Autrement dit : d'un terme au suivant, on multiplie toujours par le même nombre.
Terme général :
u_n = u_0 \times q^n
Variations (pour u_0 > 0) : croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1.
C'est la suite des évolutions en pourcentage : « +5 % par an » = géométrique de raison 1,05 ; « −20 % » = raison 0,8.
Le même déroulé, depuis u0 :
| u_1 = u_0 \times q | 1 pas |
| u_2 = u_0 \times q^2 | 2 pas |
| u_3 = u_0 \times q^3 | 3 pas |
| ⋮ | ⋮ |
| u_n = u_0 \times q^n | n pas |
C'est la suite des évolutions en pourcentage : « +5 % par an » = géométrique de raison 1,05 ; « −20 % » = raison 0,8.
⚠️ + r ou × q : le test des écarts et des quotients
Sur 2 ; 6 ; 18 ; 54 : les écarts (4, 12, 36) changent, mais les quotients valent tous 3 : géométrique. Une suite qui n'a ni écart constant ni quotient constant n'est ni arithmétique ni géométrique (exemple : les carrés 1, 4, 9, 16).
🎮 Entraîne-toi : arithmétique, géométrique ou ni ?
Teste les écarts (constants ?) puis les quotients (constants ?).
🎮 Entraîne-toi : le terme général géométrique
u(n) = u(0) × q puissance n : le point de départ multiplié n fois.
III. Le tableau qui compare tout
🔑 L'idée qui unifie tout : (n − k), c'est un NOMBRE DE PAS
Passer d'un terme au suivant, c'est faire un pas. Pour aller de u_k à u_n, on fait donc n − k pas : c'est tout ce que dit l'indice.
Arithmétique : à chaque pas on ajoute r, donc on ajoute r exactement n − k fois.
Géométrique : à chaque pas on multiplie par q, donc on multiplie par q exactement n − k fois.
Il n'y a donc rien à apprendre par cœur dans le tableau ci-dessous : chaque ligne se retrouve en comptant les pas. Dans les formules, l'encadré est toujours le nombre de pas.
Arithmétique : à chaque pas on ajoute r, donc on ajoute r exactement n − k fois.
Géométrique : à chaque pas on multiplie par q, donc on multiplie par q exactement n − k fois.
Il n'y a donc rien à apprendre par cœur dans le tableau ci-dessous : chaque ligne se retrouve en comptant les pas. Dans les formules, l'encadré est toujours le nombre de pas.
| On part de… | Nombre de pas | Arithmétique (raison r) | Géométrique (raison q) |
|---|---|---|---|
| le terme précédent | 1 pas | u_{n+1} = u_n + r | u_{n+1} = q \times u_n |
| u_0 | n pas | u_n = u_0 + \boxed{n}\,r | u_n = u_0 \times q^{\boxed{n}} |
| u_1 | n − 1 pas | u_n = u_1 + \boxed{n-1}\,r | u_n = u_1 \times q^{\boxed{n-1}} |
| u_2 | n − 2 pas | u_n = u_2 + \boxed{n-2}\,r | u_n = u_2 \times q^{\boxed{n-2}} |
| u_k | n − k pas | u_n = u_k + \boxed{n-k}\,r | u_n = u_k \times q^{\boxed{n-k}} |
⚠️ L'erreur classique : partir de u₁ et garder n
Beaucoup d'élèves écrivent {u_n = u_1 + n\,r} quand la suite commence à u_1. C'est faux : de u_1 à u_n il y a n-1 pas, pas n.
Le test qui sauve : remplace n par la valeur du rang de départ. Avec n=1, la bonne formule donne u_1 + 0 \times r = u_1 ✔ ; la fausse donne u_1 + r ✘. Fais ce contrôle à chaque fois.
Le test qui sauve : remplace n par la valeur du rang de départ. Avec n=1, la bonne formule donne u_1 + 0 \times r = u_1 ✔ ; la fausse donne u_1 + r ✘. Fais ce contrôle à chaque fois.
👆 ▶ À toi : (un) est arithmétique, u2 = 7 et r = 5. Calcule u12, puis vérifie
1. Compter les pas de u2 à u12 : 12 - 2 = 10 pas.
2. Ajouter r autant de fois : \begin{aligned}u_{12} &= u_2 + 10 \times 5 \\ &= 7 + 50 \\ &= 57\end{aligned}
Piège évité : u_2 + 12 \times 5 = 67 serait faux, on n'a pas fait 12 pas.
2. Ajouter r autant de fois : \begin{aligned}u_{12} &= u_2 + 10 \times 5 \\ &= 7 + 50 \\ &= 57\end{aligned}
Piège évité : u_2 + 12 \times 5 = 67 serait faux, on n'a pas fait 12 pas.
IV. L'atelier des pas : déplace le point de départ
Comment s'en servir
Choisis la mécanique (+ r ou × q), règle le premier terme et la raison, puis déplace la poignée k : le point de départ bouge, et les arcs comptent les pas qui restent à faire jusqu'au rang n. C'est ce comptage, et lui seul, qui donne l'exposant (ou le coefficient) de la formule.
🎮 Entraîne-toi : partir d'un rang autre que 0
Compte les pas AVANT de calculer.
🎮 Entraîne-toi : combien de pas, combien de termes ?
Ce ne sont pas les mêmes nombres : il y a toujours un terme de plus que de pas.
Nombre de pas
Nombre de termes
V. Variations : ne transpose pas d'une suite à l'autre
Arithmétique : un seul signe à regarder
\begin{aligned}u_{n+1} - u_n &= (u_n + r) - u_n \\ &= r\end{aligned}
La différence ne dépend ni de n, ni de u₀ : c'est toujours r. Donc :
La différence ne dépend ni de n, ni de u₀ : c'est toujours r. Donc :
- r > 0 → suite croissante ;
- r < 0 → suite décroissante ;
- r = 0 → suite constante.
⚠️ Ne transpose pas cette règle à la géométrique
Écrire « q > 1 donc croissante » sans regarder u_0 est l'erreur la plus fréquente du chapitre. Pour une géométrique, le sens de variation dépend de deux signes, pas d'un seul.
Géométrique : deux signes, donc un produit
\begin{aligned}u_{n+1} - u_n &= q\,u_n - u_n \\ &= u_n\,(q-1) \\ &= u_0\,q^{\,n}\,(q-1)\end{aligned}
Le sens de variation est donné par le signe de ce produit, donc par le signe de u_0 et celui de q-1 (et par celui de q^{\,n}, qui n'est constant que si q > 0).
Le sens de variation est donné par le signe de ce produit, donc par le signe de u_0 et celui de q-1 (et par celui de q^{\,n}, qui n'est constant que si q > 0).
| Cas | signe de q-1 | signe de u_0 | Conclusion |
|---|---|---|---|
| q > 1 | + | + | croissante (elle explose vers le haut) |
| q > 1 | + | − | décroissante (elle plonge vers le bas) |
| 0 < q < 1 | − | + | décroissante (elle s'écrase vers 0) |
| 0 < q < 1 | − | − | croissante (elle remonte vers 0) |
| q = 1 | 0 | peu importe | constante |
| q < 0 | − | peu importe | ni croissante ni décroissante : les termes alternent |
⚠️ Le cas oublié : q < 0, la suite n'est PAS monotone
Si q < 0, alors q^{\,n} est positif pour n pair et négatif pour n impair : les termes sautent au-dessus puis au-dessous de l'axe. Elle monte, puis descend, puis remonte… donc elle n'est ni croissante, ni décroissante.
Réponse attendue en devoir : « la suite n'est pas monotone », et non « décroissante » sous prétexte que la raison est négative.
Réponse attendue en devoir : « la suite n'est pas monotone », et non « décroissante » sous prétexte que la raison est négative.
🎮 Entraîne-toi : croissante, décroissante… ou ni l'une ni l'autre ?
Regarde le signe de u₀ autant que celui de la raison.
VI. Les deux sommes à connaître
Somme des entiers, somme des puissances
- 1 + 2 + 3 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2} (la légende de Gauss enfant : on plie la somme en deux) ;
- pour q ≠ 1 : {1 + q + q^2 + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}}.
- arithmétique : (nombre de termes) × \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2} ;
- géométrique : premier terme × \dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}.
Exemple rédigé
\begin{aligned}1 + 2 + \dots + 100 &= \dfrac{100 \times 101}{2} \\ &= 5050\end{aligned}
\begin{aligned}1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10} &= \dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} \\ &= 2^{11} - 1 \\ &= 2047\end{aligned}
⚠️ Compter les termes : de u_3 à u_{12}, il y a 12 − 3 + 1 = 10 termes, pas 9.
\begin{aligned}1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10} &= \dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} \\ &= 2^{11} - 1 \\ &= 2047\end{aligned}
⚠️ Compter les termes : de u_3 à u_{12}, il y a 12 − 3 + 1 = 10 termes, pas 9.
🎮 Entraîne-toi : la somme de Gauss
n(n + 1) divisé par 2 : plie la somme en deux.
VII. Modéliser : absolu ou relatif ?
Le bon modèle en une question
« De combien ça évolue à chaque étape ? »
- D'une quantité fixe (+150 abonnés, −30 litres) : suite arithmétique, croissance linéaire ;
- d'un pourcentage fixe (+3 %, −15 %) : suite géométrique, croissance exponentielle ;
- des deux (−10 % puis +50) : suite arithmético-géométrique {u_{n+1} = au_n + b}, étudiée via une suite auxiliaire (souvent guidée dans les sujets).
⚠️ La croissance géométrique finit toujours par gagner
Un salaire qui gagne 100 € par an (arithmétique) contre un salaire qui gagne 2 % par an (géométrique) : le second paraît plus lent au début, mais les puissances de 1,02 finissent par dépasser n'importe quelle droite. Comparer les deux modèles est un grand classique des sujets.
👆 ▶ À toi : une ville de 20 000 habitants gagne 4 % par an. Modèle, et population dans 2 ans ? Vérifie
Géométrique de raison 1,04 : \begin{aligned}u_2 &= 20\,000 \times 1{,}04^2 \\ &= 21\,632\end{aligned} habitants.