Fiche de cours Logimaths
Variables aléatoires : le cours expliqué pas à pas
Loi, espérance, variance
💡 Avant de commencer Version expliquée pas à pas. L'idée clé : l'espérance est la moyenne à long terme : ce qu'on gagnerait en moyenne en répétant beaucoup de fois.
Étape 1 : Associer un nombre au hasard
Une variable aléatoire X associe un nombre à chaque issue d'une expérience. Ex. à un jeu, X = le gain (parfois +2 €, parfois −1 €).
Étape 2 : Sa loi de probabilité
Définition La loi de X donne, pour chaque valeur possible, sa probabilité. La somme de toutes les probabilités vaut 1.
Étape 3 : L'espérance : la moyenne attendue
Définition E(X) = Σ (valeur × probabilité). C'est la valeur moyenne si on répétait l'expérience un très grand nombre de fois.
💡 Jeu équitable Si E(gain) = 0, le jeu est équitable ; si E < 0, il est perdant sur le long terme (comme au casino).
Étape 4 : Variance et écart-type : la dispersion
Définitions V(X) = E(X2) − E(X)2 mesure l'étalement autour de l'espérance ; l'écart-type σ = √V(X) est dans la même unité que X.
👆 À toi de jouer X vaut 1, 2, 3 avec probabilités 0,5 ; 0,3 ; 0,2. Calcule E(X).
Voir la réponse
E(X) = 1×0,5 + 2×0,3 + 3×0,2 = 0,5 + 0,6 + 0,6 = 1,7.🎯 Mémo
L'essentiel Variable aléatoire = nombre attaché au hasard. Loi : somme des probas = 1. Espérance = moyenne à long terme. Variance/écart-type = dispersion.