Fiche de cours Logimaths

Calcul littéral : le cours expliqué pas à pas

Développer, identités remarquables, factoriser

💡 Avant de commencer Version expliquée pas à pas du cours. On part du concret, on avance du simple au subtil, et on teste avec les « À toi de jouer ». Deux idées guident cette fiche : ancrer dans le concret (ici, des aires) et voir qu'une notion a souvent deux visages (développer / factoriser).

Étape 1 : À quoi servent les lettres ?

Une lettre comme x, c'est simplement un nombre qu'on ne connaît pas encore, ou un nombre qui peut changer. Le calcul littéral permet de dire une chose une seule fois pour tous les nombres à la fois.

💡 L'idée clé Au lieu d'écrire « 2 fois 3 plus 2 fois 5 = 2 fois 8 », puis de recommencer avec d'autres nombres, on écrit une bonne fois : 2(a + b) = 2a + 2b. Une formule = une infinité de calculs.

Étape 2 : Développer, c'est enlever les parenthèses

Définition Développer une expression, c'est la transformer en une somme (sans parenthèses). L'outil de base est la distributivité : k(a + b) = ka + kb.

💡 Vois-le avec une aire Un rectangle de hauteur a et de largeur (b + c) a pour aire a(b + c). Mais on peut le couper en deux rectangles d'aires ab et ac : c'est pareil ! D'où a(b + c) = ab + ac.

Aire totale = a(b + c) = ab + ac.

Double distributivité Pour (a + b)(c + d), chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (4 produits).

Étape 3 : Les 3 identités remarquables

Ce sont trois développements qui reviennent tout le temps : les connaître par cœur fait gagner un temps fou.

À connaître par cœur

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²

💡 Pourquoi le « 2ab » ? Un carré de côté (a + b) se découpe en 4 morceaux : un carré a², un carré b², et deux rectangles ab. D'où a² + 2ab + b² : le « 2 » vient des deux rectangles identiques.

Étape 4 : Factoriser, c'est le chemin inverse

💡 Les deux visages Développer et factoriser sont deux sens du même trajet : a(b+c) ⟷ ab + ac. Développer va vers la somme ; factoriser revient au produit.

Deux techniques

Facteur commun : 6x + 9 = 3(2x + 3) (on met en facteur ce qui est partagé).
Identité remarquable en sens inverse : x² − 9 = (x − 3)(x + 3).

Étape 5 : À quoi ça sert vraiment ?

Factoriser est surtout utile pour résoudre des équations : une expression factorisée s'annule facilement (produit nul). Par exemple (x − 2)(x + 5) = 0 donne immédiatement x = 2 ou x = −5.

👆 À toi de jouer Développe (x + 4)², puis factorise x² − 25.

Voir la réponse

(x + 4)² = x² + 8x + 16 ; x² − 25 = (x − 5)(x + 5).

🚦 Les erreurs à éviter

⚠️ Pièges classiques

(a + b)² ≠ a² + b² : on oublie souvent le 2ab !
Dans la double distributivité, ne pas oublier un des 4 produits.
Attention aux signes avec (a − b)² : le double produit est négatif.

🎯 Mémo

L'essentiel Développer = vers la somme (distributivité, 3 identités). Factoriser = vers le produit (facteur commun, identités à l'envers). Les deux sont réversibles, et factoriser sert à résoudre.