Mascotte Logimaths Logimaths
Fiche d'exercices Logimaths

Les factorisations

5 cas de factorisation + les 3 identités remarquables : Niveau Seconde.

← Retour à la page Seconde

I. Les 5 cas de factorisation

1er cas : on factorise par rapport à un nombre.
Exemple :
  1. 5x - 5 = 5(x-1)
  2. -3x - 6 = -3(x+2)
2e cas : on factorise par rapport à une variable (x, y, z, t…).
Exemple : 5x^2 - 3x = x(5x-3)
3e cas : on factorise par rapport à un nombre et une variable (combine les cas 1 et 2).
Exemple : -10x^2 - 5x = -5x(2x+1)
4e cas : on factorise par rapport à une parenthèse commune.
Exemple :
  1. (2x-1)(3x+2) + (2x-1) = (2x-1)\big[(3x+2) + 1\big] = (2x-1)(3x+3)
  2. (x-1)^2(5x+2) + 3(x-1) = (x-1)\big[(x-1)(5x+2) + 3\big]
5e cas : extension des parenthèses (c'est le 4e cas, mais il faut d'abord faire apparaître la parenthèse commune).
  1. 3(5x-2)(3x-1) - 5x + 2 = 3(5x-2)(3x-1) - (5x-2) = (5x-2)\big[3(3x-1) - 1\big] = (5x-2)(9x-4)
  2. (on remarque que 8x-4=4(2x-1) et -12x+6=-6(2x-1), pour faire apparaître la parenthèse commune (2x-1)) (3x^2-1)(8x-4) + (2x-3)(-12x+6) = 4(3x^2-1)(2x-1) - 6(2x-3)(2x-1) = (2x-1)\big[4(3x^2-1) - 6(2x-3)\big] = (2x-1)(12x^2 - 12x + 14) = 2(2x-1)(6x^2-6x+7)

II. Les identités remarquables

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 (a+b)(a-b) = a^2 - b^2

Sous la forme générale utilisée pour factoriser :

A^2 - B^2 = (A+B)\big(A-(B)\big)

Application (difficulté progressive) :

  1. x^2 - 1^2 = (x+1)(x-1)
  2. x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x+3)(x-3)
  3. (2x)^2 - 1^2 = (2x+1)(2x-1)
  4. (4x)^2 - 1^2 = (4x+1)(4x-1)
  5. (4x-1)^2 - 1^2 = \big[(4x-1)+1\big]\big[(4x-1)-1\big] = (4x)(4x-2) = 8x(2x-1)

Exemples type devoir surveillé :

  1. (4x-2)^2 - (5x+3)^2 = (4x-2+5x+3)\big[(4x-2)-(5x+3)\big] = (9x+1)(-x-5) = -(9x+1)(x+5)
  2. 2(5x-1)(2x+3) + 4x^2 - 9 = 2(5x-1)(2x+3) + (2x+3)(2x-3) = (2x+3)\big[2(5x-1)+(2x-3)\big] = (2x+3)(12x-5)

Fiche d'exercices rédigée par Logimaths.